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一、单选题
1. 已知下列关于$x$的方程：①$\frac{1}{x}=1$；②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$；③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$；④$\frac{x}{a}-3=a+4$；⑤$\frac{2x+3y}{π}+1=0$. 其中是分式方程的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 已知下列关于$x$的方程：①$\frac{1}{x}=1$；②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$；③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$；④$\frac{x}{a}-3=a+4$；⑤$\frac{2x+3y}{π}+1=0$. 其中是分式方程的有(
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.A
解析
【分析】
解题的核心是先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，本题是关于x的方程，因此只需判断每个方程的分母中是否含有未知数x即可，同时要注意π是固定常数，a、b是字母常数（不是未知数），再逐一排查5个方程即可得出结果。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，本题所有方程的未知数为x，其余字母、π均为常数：
①方程$\frac{1}{x}=1$的分母是x，含未知数x，属于分式方程；
②方程$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$的分母为3、4，均为常数，属于整式方程；
③方程$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$的分母为b，b是常数不含未知数x，属于整式方程；
④方程$\frac{x}{a}-3=a+4$的分母为a，a是常数不含未知数x，属于整式方程；
⑤方程$\frac{2x+3y}{π}+1=0$的分母为π，π是固定常数不含未知数，属于整式方程。
综上只有1个分式方程，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义、方程的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将作为常数的字母a、b和圆周率π当成未知数，从而错判其他方程为分式方程，解题时要先明确题目指定的未知数，再结合定义判断。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，本题是关于x的方程，因此只需判断每个方程的分母中是否含有未知数x即可，同时要注意π是固定常数，a、b是字母常数（不是未知数），再逐一排查5个方程即可得出结果。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，本题所有方程的未知数为x，其余字母、π均为常数：
①方程$\frac{1}{x}=1$的分母是x，含未知数x，属于分式方程；
②方程$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$的分母为3、4，均为常数，属于整式方程；
③方程$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$的分母为b，b是常数不含未知数x，属于整式方程；
④方程$\frac{x}{a}-3=a+4$的分母为a，a是常数不含未知数x，属于整式方程；
⑤方程$\frac{2x+3y}{π}+1=0$的分母为π，π是固定常数不含未知数，属于整式方程。
综上只有1个分式方程，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义、方程的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将作为常数的字母a、b和圆周率π当成未知数，从而错判其他方程为分式方程，解题时要先明确题目指定的未知数，再结合定义判断。
【难度系数】
0.7
2. 把分式方程$\frac{2}{2x-4}=\frac{3}{2x}$化为整式方程，方程两边需同时乘以(
A.$2x$
B.$2x-4$
C.$2x(x-2)$
D.$2x(22x-4)$
C
)A.$2x$
B.$2x-4$
C.$2x(x-2)$
D.$2x(22x-4)$
答案
2.C
解析
【分析】
要将分式方程化为整式方程，核心是通过去分母消去分式中的分母，这一步需要方程两边同时乘以所有分母的最简公分母。解题时首先要对每个分母因式分解，再按照最简公分母的确定规则找到对应的公分母即可。
【解析】
首先对两个分母进行因式分解：
第一个分母：$2x-4=2(x-2)$，第二个分母为$2x$。
最简公分母的确定规则：取各分母系数的最小公倍数，所有出现的因式都要取，相同因式取最高次幂。
这里系数2和2的最小公倍数是2，出现的因式为$x$和$(x-2)$，因此最简公分母为$2 × x × (x-2)=2x(x-2)$，所以方程两边需同时乘以$2x(x-2)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 分式方程去分母
【点评】
本题是分式方程相关的基础题型，解题关键是先将可因式分解的分母分解后再找最简公分母，避免直接相乘造成公分母过于复杂的问题，掌握最简公分母的确定方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要将分式方程化为整式方程，核心是通过去分母消去分式中的分母，这一步需要方程两边同时乘以所有分母的最简公分母。解题时首先要对每个分母因式分解，再按照最简公分母的确定规则找到对应的公分母即可。
【解析】
首先对两个分母进行因式分解：
第一个分母：$2x-4=2(x-2)$，第二个分母为$2x$。
最简公分母的确定规则：取各分母系数的最小公倍数，所有出现的因式都要取，相同因式取最高次幂。
这里系数2和2的最小公倍数是2，出现的因式为$x$和$(x-2)$，因此最简公分母为$2 × x × (x-2)=2x(x-2)$，所以方程两边需同时乘以$2x(x-2)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 分式方程去分母
【点评】
本题是分式方程相关的基础题型，解题关键是先将可因式分解的分母分解后再找最简公分母，避免直接相乘造成公分母过于复杂的问题，掌握最简公分母的确定方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x$的方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2x+m}{1-x} =1$有增根，则$m$的值是(
A.0
B.$-3$
C.1
D.$-2$
B
)A.0
B.$-3$
C.1
D.$-2$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的两个核心性质：①增根会使原分式方程的最简公分母为0；②增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题思路如下：第一步先找原方程的最简公分母，确定增根的可能值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原方程的分母为$x-1$和$1-x$，最简公分母为$x-1$，若方程有增根，则最简公分母为0，即$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
2. 去分母化为整式方程：
原方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2x+m}{1-x} =1$可变形为$\frac{1}{x-1} + \frac{2x+m}{x-1} =1$，
两边同时乘最简公分母$x-1$（$x≠1$），去分母得：
$1 + 2x + m = x - 1$
3. 代入增根求m：
把$x=1$代入上述整式方程，得：
$1 + 2×1 + m = 1 - 1$
计算得$3 + m = 0$，解得$m=-3$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程增根的概念；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根应用的典型题型，解题的核心是掌握增根的含义，易错点是去分母时注意符号的变化，掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的两个核心性质：①增根会使原分式方程的最简公分母为0；②增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题思路如下：第一步先找原方程的最简公分母，确定增根的可能值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原方程的分母为$x-1$和$1-x$，最简公分母为$x-1$，若方程有增根，则最简公分母为0，即$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
2. 去分母化为整式方程：
原方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2x+m}{1-x} =1$可变形为$\frac{1}{x-1} + \frac{2x+m}{x-1} =1$，
两边同时乘最简公分母$x-1$（$x≠1$），去分母得：
$1 + 2x + m = x - 1$
3. 代入增根求m：
把$x=1$代入上述整式方程，得：
$1 + 2×1 + m = 1 - 1$
计算得$3 + m = 0$，解得$m=-3$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程增根的概念；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根应用的典型题型，解题的核心是掌握增根的含义，易错点是去分母时注意符号的变化，掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2 400米和1 000米的地方派送快件,甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍,乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点.若设乙快递员的速度是x米/分,则下面所列方程正确的是(
A. $\frac{2000}{1.2x} - \frac{2400}{x} =10$
C. $\frac{2400}{1.2x} - \frac{1000}{x} =10$
C
)A. $\frac{2000}{1.2x} - \frac{2400}{x} =10$
C. $\frac{2400}{1.2x} - \frac{1000}{x} =10$
答案
4.C
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，首先回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度。首先梳理已知条件：设乙速度为x米/分，则甲速度为1.2x米/分；甲的派送路程是2400米，乙的派送路程是1000米。题目给出乙比甲提前10分钟到达，即甲花费的时间比乙多10分钟，我们只需分别表示出甲、乙的派送时间，再根据“甲的时间-乙的时间=10分钟”列方程，对应选项判断即可。
【解析】
1. 确定甲、乙的速度和路程：
设乙快递员的速度为x米/分，由题意得甲的速度为1.2x米/分；甲的派送路程为2400米，乙的派送路程为1000米。
2. 表示甲、乙的派送时间：
根据“时间=路程÷速度”，甲的派送时间为$\frac{2400}{1.2x}$分钟，乙的派送时间为$\frac{1000}{x}$分钟。
3. 根据时间差列方程：
乙比甲提前10分钟到达，说明甲用时比乙多10分钟，因此可列方程：
$\frac{2400}{1.2x} - \frac{1000}{x} = 10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题公式
【点评】
本题是行程问题的常规考法，解题关键是准确梳理两个对象的路程、速度、时间三个量，尤其要注意理清时间的大小关系，避免将方程中被减数和减数的顺序搞反。
【难度系数】
0.7
这是行程类分式方程应用题，首先回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度。首先梳理已知条件：设乙速度为x米/分，则甲速度为1.2x米/分；甲的派送路程是2400米，乙的派送路程是1000米。题目给出乙比甲提前10分钟到达，即甲花费的时间比乙多10分钟，我们只需分别表示出甲、乙的派送时间，再根据“甲的时间-乙的时间=10分钟”列方程，对应选项判断即可。
【解析】
1. 确定甲、乙的速度和路程：
设乙快递员的速度为x米/分，由题意得甲的速度为1.2x米/分；甲的派送路程为2400米，乙的派送路程为1000米。
2. 表示甲、乙的派送时间：
根据“时间=路程÷速度”，甲的派送时间为$\frac{2400}{1.2x}$分钟，乙的派送时间为$\frac{1000}{x}$分钟。
3. 根据时间差列方程：
乙比甲提前10分钟到达，说明甲用时比乙多10分钟，因此可列方程：
$\frac{2400}{1.2x} - \frac{1000}{x} = 10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题公式
【点评】
本题是行程问题的常规考法，解题关键是准确梳理两个对象的路程、速度、时间三个量，尤其要注意理清时间的大小关系，避免将方程中被减数和减数的顺序搞反。
【难度系数】
0.7
5. 巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建,经调查,甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍.若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天,则乙工程队单独完成该工程的时间是(
A.30天
B.35天
C.40天
D.60天
A
)A.30天
B.35天
C.40天
D.60天
答案
5.A
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，核心公式为：工作效率=总工作量÷单独完成工作的时间。我们可以先设乙工程队单独完成工程的时间为未知数，根据甲、乙单独完成时间的倍数关系表示出甲的工作时间，进而得到两队的工作效率；再根据“两队合作20天完成总工程”的等量关系（合作效率×合作时间=总工作量1）列方程求解即可。
【解析】
设乙工程队单独完成该工程需要$x$天，则甲工程队单独完成该工程需要$2x$天。
将总工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{2x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据两队合作20天完成工程，列方程得：
$20×(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x})=1$
化简方程：
$20×\frac{3}{2x}=1$
$\frac{30}{x}=1$
解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$2x=60≠0$，且$x=30$符合工程实际，是原方程的解。
因此乙工程队单独完成该工程需要30天。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题属于工程问题的基础考法，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确表示出各工程队的工作效率，找准工作量的等量关系列方程，求解后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，核心公式为：工作效率=总工作量÷单独完成工作的时间。我们可以先设乙工程队单独完成工程的时间为未知数，根据甲、乙单独完成时间的倍数关系表示出甲的工作时间，进而得到两队的工作效率；再根据“两队合作20天完成总工程”的等量关系（合作效率×合作时间=总工作量1）列方程求解即可。
【解析】
设乙工程队单独完成该工程需要$x$天，则甲工程队单独完成该工程需要$2x$天。
将总工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{2x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据两队合作20天完成工程，列方程得：
$20×(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x})=1$
化简方程：
$20×\frac{3}{2x}=1$
$\frac{30}{x}=1$
解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$2x=60≠0$，且$x=30$符合工程实际，是原方程的解。
因此乙工程队单独完成该工程需要30天。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题属于工程问题的基础考法，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确表示出各工程队的工作效率，找准工作量的等量关系列方程，求解后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 方程$\frac{2x}{x-1}=1$的解是$x=$
1. 方程$\frac{2x}{x-1}=1$的解是$x=$
-1
。答案
1.-1
解析
【分析】
这是分式方程求解的基础题，解题思路分为三步：第一步先确定最简公分母，将分式方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，注意方程每一项都要乘公分母，不能漏乘；第二步解整式方程求出未知数的值；第三步必须检验，将求得的未知数代入原方程的分母，若分母不为0则是原方程的解，若分母为0就是增根，需要舍去。本题中分母为$x-1$，因此最简公分母是$x-1$。
【解析】
解：方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（需满足$x≠1$），可得：
$2x = 1×(x-1)$
展开右边得：$2x = x - 1$
移项得：$2x - x = -1$
合并同类项得：$x = -1$
检验：将$x=-1$代入分母$x-1$，得$-1-1=-2≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式方程的验根
【点评】
本题考查分式方程的基本求解方法，易错点是去分母时漏乘不含分母的项，以及忘记检验根是否为增根，掌握分式方程求解的固定步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
这是分式方程求解的基础题，解题思路分为三步：第一步先确定最简公分母，将分式方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，注意方程每一项都要乘公分母，不能漏乘；第二步解整式方程求出未知数的值；第三步必须检验，将求得的未知数代入原方程的分母，若分母不为0则是原方程的解，若分母为0就是增根，需要舍去。本题中分母为$x-1$，因此最简公分母是$x-1$。
【解析】
解：方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（需满足$x≠1$），可得：
$2x = 1×(x-1)$
展开右边得：$2x = x - 1$
移项得：$2x - x = -1$
合并同类项得：$x = -1$
检验：将$x=-1$代入分母$x-1$，得$-1-1=-2≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式方程的验根
【点评】
本题考查分式方程的基本求解方法，易错点是去分母时漏乘不含分母的项，以及忘记检验根是否为增根，掌握分式方程求解的固定步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
2. 若分式$\frac{2}{3-x}$与$\frac{3}{x+1}$的和为零，则$x$的值是
11
.答案
2.11
解析
【分析】
首先根据题目中“两个分式的和为零”的条件，列出对应的分式方程；接下来按照解分式方程的常规思路处理：先找最简公分母，去分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，再解整式方程求出x的初步值；最后一定要将求得的x代入最简公分母检验，判断是否为增根，确认最终的解。
【解析】
根据题意可列方程：
$\frac{2}{3-x}+\frac{3}{x+1}=0$
方程两边同乘最简公分母$(3-x)(x+1)$去分母，得：
$2(x+1)+3(3-x)=0$
展开括号：
$2x+2+9-3x=0$
合并同类项：
$-x+11=0$
解得：
$x=11$
检验：将$x=11$代入最简公分母$(3-x)(x+1)=(3-11)×(11+1)=-96≠0$，因此$x=11$是原分式方程的解。
【答案】
11
【知识点】
列分式方程、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查分式方程的解法，解题过程中要特别注意，分式方程求解后必须验根，排除增根才能得到正确结果，掌握分式方程的解题步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中“两个分式的和为零”的条件，列出对应的分式方程；接下来按照解分式方程的常规思路处理：先找最简公分母，去分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，再解整式方程求出x的初步值；最后一定要将求得的x代入最简公分母检验，判断是否为增根，确认最终的解。
【解析】
根据题意可列方程：
$\frac{2}{3-x}+\frac{3}{x+1}=0$
方程两边同乘最简公分母$(3-x)(x+1)$去分母，得：
$2(x+1)+3(3-x)=0$
展开括号：
$2x+2+9-3x=0$
合并同类项：
$-x+11=0$
解得：
$x=11$
检验：将$x=11$代入最简公分母$(3-x)(x+1)=(3-11)×(11+1)=-96≠0$，因此$x=11$是原分式方程的解。
【答案】
11
【知识点】
列分式方程、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查分式方程的解法，解题过程中要特别注意，分式方程求解后必须验根，排除增根才能得到正确结果，掌握分式方程的解题步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于x的分式方程$\frac{x - a}{x - 1} = -1$的解是正数，则a的取值范围是
$a＞-1$且$a≠1$
。答案
3.$a＞-1$且$a≠1$
解析
【分析】
解题思路分两步推进：第一步先将分式方程转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的x；第二步结合两个限制条件列不等式求a的范围，一是题目给出的“解是正数”，二是分式方程本身隐含的“分母不为0（避免出现增根）”。要先回忆分式方程的常规求解步骤，明确限制条件的来源，避免漏解。
【解析】
解：给分式方程$\frac{x - a}{x - 1} = -1$两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则分式无意义），得：
$x - a = -(x - 1)$
去括号得：$x - a = -x + 1$
移项、合并同类项得：$2x = a + 1$
系数化为1得：$x = \frac{a+1}{2}$
因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即：
$\frac{a+1}{2} ＞ 0$
解得：$a ＞ -1$
又因为分式分母不能为0，即$x ≠ 1$，所以：
$\frac{a+1}{2} ≠ 1$
解得：$a ≠ 1$
综上，a的取值范围是$a＞-1$且$a≠1$。
【答案】
$a＞-1$且$a≠1$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制，漏掉$a≠1$的情况，求解此类问题时一定要注意排除增根对应的参数取值。
【难度系数】
0.6
解题思路分两步推进：第一步先将分式方程转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的x；第二步结合两个限制条件列不等式求a的范围，一是题目给出的“解是正数”，二是分式方程本身隐含的“分母不为0（避免出现增根）”。要先回忆分式方程的常规求解步骤，明确限制条件的来源，避免漏解。
【解析】
解：给分式方程$\frac{x - a}{x - 1} = -1$两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$，否则分式无意义），得：
$x - a = -(x - 1)$
去括号得：$x - a = -x + 1$
移项、合并同类项得：$2x = a + 1$
系数化为1得：$x = \frac{a+1}{2}$
因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即：
$\frac{a+1}{2} ＞ 0$
解得：$a ＞ -1$
又因为分式分母不能为0，即$x ≠ 1$，所以：
$\frac{a+1}{2} ≠ 1$
解得：$a ≠ 1$
综上，a的取值范围是$a＞-1$且$a≠1$。
【答案】
$a＞-1$且$a≠1$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制，漏掉$a≠1$的情况，求解此类问题时一定要注意排除增根对应的参数取值。
【难度系数】
0.6
