1. 计算 $ x^3 · ( \dfrac{y^3}{x} )^2 $ 的结果是()

A.$ xy^6 $
B.$ xy^5 $
C.$ x^2 y^5 $
D.$ x^{22} y^6 $

1. A

【分析】
这道题考查幂的相关运算与分式运算，解题遵循“先算乘方、再算乘法”的顺序：第一步先计算分式的乘方，依据分式乘方、幂的乘方法则展开；第二步再计算同底数幂的乘除，化简即可得到结果。
【解析】
解：第一步计算乘方部分：
根据分式乘方法则$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$和幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(\dfrac{y^3}{x})^2=\dfrac{(y^3)^2}{x^2}=\dfrac{y^{3×2}}{x^2}=\dfrac{y^6}{x^2}$
第二步计算乘法：
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0)$，可得：
$x^3 · \dfrac{y^6}{x^2} = x^{3-2} · y^6 = xy^6$
因此计算结果为$xy^6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算，分式乘方运算，同底数幂的乘除
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂相关运算法则的应用，运算时注意遵循先乘方后乘除的顺序，牢记指数的变化规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 计算$\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}$的结果是()

A.1
B.-1
C.0
D.$\frac{x+1}{x-1}$

2. B

【分析】
这是一道分式加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，可通过变形将两个分式转化为同分母分式；再按照同分母分式的加减法则（分母不变，分子相加减）计算；最后对结果约分得到最简结果即可。
【解析】
首先对第二个分式变形，将分母统一为$x-1$：
$\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x-1}$
根据同分母分式加减法则计算分子：
$=\frac{1-x}{x-1}$
对分子提取负号后约分：
$=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$（$x≠1$）
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是识别互为相反数的分母，通过变号统一分母后运算，解题时需注意分子变号时符号不要出错，约分后即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

3. 计算$\frac{x-2}{x} ÷ (x - \frac{4}{x})$的结果是()

A.$\frac{x+2}{x}$
B.$\frac{x-2}{x}$
C.$\frac{1}{x-2}$
D.$\frac{1}{x+2}$

3. D

【分析】
这是一道分式混合运算题，解题遵循分式运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算括号外的除法。第一步先对括号内的异分母分式通分，转化为同分母分式相减，再用平方差公式对分子因式分解；第二步将分式除法转化为乘法，最后通过约分化简得到结果，匹配选项即可。
【解析】
解：先计算括号内的运算：
$x - \frac{4}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{4}{x} = \frac{x^2 - 4}{x}$
利用平方差公式因式分解得：$\frac{x^2 - 4}{x} = \frac{(x+2)(x-2)}{x}$
再将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）：
$\frac{x-2}{x} ÷ \frac{(x+2)(x-2)}{x} = \frac{x-2}{x} × \frac{x}{(x+2)(x-2)}$
约去分子分母的公因式$x$和$x-2$（隐含条件$x≠0$且$x≠±2$），得：
原式$=\frac{1}{x+2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式运算规则和因式分解的应用，解题时要注意运算顺序，将除法转化为乘法后再约分，避免直接约分出错，同时要注意分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8

4. 计算$(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x}{x-1}$的结果是()

A.$\dfrac{2}{x+1}$
B.$-\dfrac{2}{x+1}$
C.$\dfrac{2}{x-1}$
D.$-\dfrac{2}{x-1}$

4. B

【分析】
本题是分式混合运算题，按照“先算括号内，再算括号外”的运算顺序思考：第一步处理括号内的异分母分式减法，先通分化为同分母分式再计算；第二步将除法转化为乘法运算，注意1-x和x-1互为相反数，要做好符号转换；最后通过约分得到最简结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：按照分式混合运算法则计算：
1. 先计算括号内的异分母分式减法，最简公分母为$(1-x)(x+1)$：
$\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{(1-x)(x+1)}-\dfrac{1-x}{(1-x)(x+1)}=\dfrac{(x+1)-(1-x)}{(1-x)(x+1)}$
化简分子得：$\dfrac{x+1-1+x}{(1-x)(x+1)}=\dfrac{2x}{(1-x)(x+1)}$
2. 将除法转换为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），并处理符号：
$x-1=-(1-x)$，因此原式可改写为：
$\dfrac{2x}{(1-x)(x+1)}×\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{2x}{(1-x)(x+1)}×\dfrac{-(1-x)}{x}$
3. 约分：约去分子分母的公因式$x$和$(1-x)$，得结果为$-\dfrac{2}{x+1}$
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、异分母分式加减、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式的运算法则，易错点是互为相反数的因式转换时符号出错，掌握通分、约分的基本技巧，注意运算顺序和符号变化即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5. 计算$\frac{1}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x^2 -2x +1} + \frac{2}{x+1}$的结果是()

A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x+1}{x-1}$
C.$1$
D.$\frac{x^2 +4x -1}{x^2 -1}$

5. C

【分析】
这是一道分式混合运算题，解题遵循分式运算顺序：先算除法，再算加法。首先根据分式除法法则，将除法转化为乘法运算；再对各分式的分子、分母因式分解，完成约分；最后将约分得到的分式与后项做加法运算，通分化简后即可得到结果。
【解析】
解：先对原式中多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将除法转换为乘法：
原式$=\frac{1}{(x+1)(x-1)} × (x-1)^2 + \frac{2}{x+1}$
约分后得：
$=\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x+1}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$=\frac{x-1+2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式化简
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式运算规则和因式分解的应用，熟练掌握平方差公式、完全平方公式，按照运算步骤逐步计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

6. 已知$x+y=4,xy=2$,则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值为()

A.5
B.6
C.7
D.8

6. B

【分析】
首先观察所求代数式$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的结构，属于异分母分式相加，第一步先通分整理，得到分子为$x^2+y^2$、分母为$xy$的形式；已知条件给出了$x+y$和$xy$的值，可利用完全平方公式的变形，将$x^2+y^2$转化为用$x+y$和$xy$表示的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对所求代数式进行通分化简：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2 + x^2}{xy}$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将$x+y=4$，$xy=2$代入：
分子$x^2+y^2=4^2 - 2×2=16-4=12$
则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{12}{2}=6$
【答案】
B
【知识点】
分式的运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，能够将所求代数式转化为包含已知条件的形式，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 计算：$\dfrac{x-y}{x}÷(x-\dfrac{2xy-y^2}{x})=$ .

1. $\dfrac{1}{x-y}$

【分析】
这是分式混合运算题，解题遵循“先括号内，后括号外”的运算顺序：第一步先处理括号内的减法，将整式x通分转化为分母为x的分式，再进行分子的加减运算，对分子因式分解简化；第二步将分式除法转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
先计算括号内的式子：
$x-\dfrac{2xy-y^2}{x}=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{2xy-y^2}{x}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x}=\dfrac{(x-y)^2}{x}$
再计算括号外的除法，将除法转化为乘法：
$\dfrac{x-y}{x}÷\dfrac{(x-y)^2}{x}=\dfrac{x-y}{x}×\dfrac{x}{(x-y)^2}$
约分后得：$\dfrac{1}{x-y}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-y}$
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，核心考查分式运算的基本规则，解题时要注意先通分计算括号内的式子，除法转乘法时要注意乘除式的倒数，因式分解的正确使用是快速约分得到结果的关键。
【难度系数】
0.7

2. 如果分式$\frac{3a}{a^2 - b^2}$和$\frac{1}{2(a - b)^2}$经过通分后分母变成$2(a - b)^2(a + b)$，那么分式$\frac{3a}{a^2 - b^2}$的分子应变为。

2. $6a(a-b)$

【分析】
解决这道题的思路是：首先回忆分式通分的依据是分式的基本性质，通分时分子和分母要乘以同一个不为0的整式，保证分式的值不变。第一步先对第一个分式的分母进行因式分解，再对比原分母和题目给出的通分后公分母，确定原分母需要乘的整式，最后将原分子乘同一个整式就能得到变形后的分子。
【解析】
第一步，因式分解分式$\frac{3a}{a^2 - b^2}$的分母：
根据平方差公式，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
第二步，确定原分母到通分后分母需要乘的因式：
已知通分后的公分母是$2(a - b)^2(a + b)$，用公分母除以原分母，可得需要乘的因式：
$2(a - b)^2(a + b) ÷ [(a+b)(a-b)] = 2(a - b)$。
第三步，根据分式的基本性质，原分子也要乘以$2(a - b)$：
变形后的分子为$3a × 2(a - b) = 6a(a - b)$。
【答案】
$6a(a-b)$
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式因式分解、分式的通分
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查分式通分的规则，解题的关键是先对原分母因式分解，再准确找出分母需要乘的因式，结合分式基本性质计算即可。
【难度系数】
0.8

3. 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距s km，若一艘游轮在静水中航行的速度为a km/h，水流速度为b km/h(b＜a)，则该游轮往返两港口所需时间相差 h.

3. $\dfrac{2bs}{a^2-b^2}$

【分析】
解题时首先明确游轮往返两港口分别对应顺流航行和逆流航行两种场景：第一步先根据顺流、逆流速度的计算规律，分别求出两个方向的航行速度；第二步结合“时间=路程÷速度”的基本公式，分别算出顺流航行时间和逆流航行时间；第三步用耗时更长的逆流时间减去顺流时间，再通过分式通分、结合平方差公式化简，最终得到时间差即可。
【解析】
解：游轮顺流航行的速度为静水速度与水流速度之和，即$(a+b)\ \mathrm{km/h}$，
因此顺流从甲港口到乙港口的时间为：$t_1=\frac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$；
游轮逆流航行的速度为静水速度与水流速度之差，即$(a-b)\ \mathrm{km/h}$，
因此逆流从乙港口返回甲港口的时间为：$t_2=\frac{s}{a-b}\ \mathrm{h}$；
往返两港口的时间差为$t_2-t_1$，代入计算如下：
$\begin{aligned}t_2-t_1&=\frac{s}{a-b}-\frac{s}{a+b}\\&=\frac{s(a+b)}{(a-b)(a+b)}-\frac{s(a-b)}{(a-b)(a+b)}\\&=\frac{s(a+b)-s(a-b)}{a^2-b^2}\\&=\frac{sa+sb-sa+sb}{a^2-b^2}\\&=\frac{2bs}{a^2-b^2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{2bs}{a^2-b^2}$
【知识点】
顺逆流速计算，分式加减运算，行程问题公式
【点评】
本题属于行程类基础应用题，解题核心是准确区分顺流、逆流的速度计算方法，再结合分式加减运算法则化简即可，易错点为通分运算时的符号处理，以及混淆顺流、逆流的速度公式。
【难度系数】
0.7