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5. 给出下列3个分式：①$\frac{b}{2a}$；②$\frac{a+b}{a^2+b^2}$；③$\frac{m+2n}{m^2-4n^2}$。其中的最简分式有
①②
。（填序号）答案
①②
解析
【分析】
要判断给出的分式是否为最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式的分式是最简分式。解题时我们依次对三个分式进行分析：首先观察分式的分子、分母是否可以因式分解，若能因式分解则先分解，再判断分子和分母是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式。
【解析】
1. 判断分式①$\frac{b}{2a}$：分子为$b$，分母为$2a$，二者没有公因式，符合最简分式的定义，属于最简分式。
2. 判断分式②$\frac{a+b}{a^2+b^2}$：分母$a^2+b^2$不符合因式分解的公式结构（既没有公因式，也不符合平方差、完全平方公式的特征），无法分解因式，分子$a+b$与分母没有公因式，属于最简分式。
3. 判断分式③$\frac{m+2n}{m^2-4n^2}$：先对分母利用平方差公式因式分解，得$m^2-4n^2=(m+2n)(m-2n)$，此时分子分母有公因式$m+2n$，可约分为$\frac{1}{m-2n}$，因此不属于最简分式。
综上，最简分式为①②。
【答案】
①②
【知识点】
最简分式判断，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的识别，解题的易错点是容易误将$a^2+b^2$认为可以分解为$(a+b)^2$，从而判断②不是最简分式，解题时要准确掌握因式分解的适用条件，先分解再判断公因式。
【难度系数】
0.7
要判断给出的分式是否为最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式的分式是最简分式。解题时我们依次对三个分式进行分析：首先观察分式的分子、分母是否可以因式分解，若能因式分解则先分解，再判断分子和分母是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式。
【解析】
1. 判断分式①$\frac{b}{2a}$：分子为$b$，分母为$2a$，二者没有公因式，符合最简分式的定义，属于最简分式。
2. 判断分式②$\frac{a+b}{a^2+b^2}$：分母$a^2+b^2$不符合因式分解的公式结构（既没有公因式，也不符合平方差、完全平方公式的特征），无法分解因式，分子$a+b$与分母没有公因式，属于最简分式。
3. 判断分式③$\frac{m+2n}{m^2-4n^2}$：先对分母利用平方差公式因式分解，得$m^2-4n^2=(m+2n)(m-2n)$，此时分子分母有公因式$m+2n$，可约分为$\frac{1}{m-2n}$，因此不属于最简分式。
综上，最简分式为①②。
【答案】
①②
【知识点】
最简分式判断，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的识别，解题的易错点是容易误将$a^2+b^2$认为可以分解为$(a+b)^2$，从而判断②不是最简分式，解题时要准确掌握因式分解的适用条件，先分解再判断公因式。
【难度系数】
0.7
6. 当$a=2026$时，分式$\frac{a^2 -1}{a+1}$的值是
2025
。答案
2025
解析
【分析】
这是分式求值类题目，解题核心思路是先化简分式再代入数值计算，避免直接代入大数计算带来的繁琐运算。首先观察分式的分子$a^2-1$，符合平方差公式的结构，可因式分解为$(a+1)(a-1)$，分解后分子分母存在公因式$a+1$，先判断分母不为0（本题中$a=2026$，$a+1=2027≠0$，满足约分条件），约分后得到最简整式，最后代入$a$的值即可快速算出结果。
【解析】
首先对分式进行化简：
1. 利用平方差公式分解分子：$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，因此原式可变形为：
$\frac{a^2 -1}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}$
2. 当$a=2026$时，$a+1=2026+1=2027≠0$，符合分式约分的条件，约去公因式$a+1$后，原式化简为$a-1$。
3. 代入$a=2026$计算：$a-1=2026-1=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
平方差公式，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心技巧是先化简再代入求值，能有效降低计算量，减少出错概率，掌握因式分解的常用方法和分式约分的规则是解题的关键。
【难度系数】
0.85
这是分式求值类题目，解题核心思路是先化简分式再代入数值计算，避免直接代入大数计算带来的繁琐运算。首先观察分式的分子$a^2-1$，符合平方差公式的结构，可因式分解为$(a+1)(a-1)$，分解后分子分母存在公因式$a+1$，先判断分母不为0（本题中$a=2026$，$a+1=2027≠0$，满足约分条件），约分后得到最简整式，最后代入$a$的值即可快速算出结果。
【解析】
首先对分式进行化简：
1. 利用平方差公式分解分子：$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，因此原式可变形为：
$\frac{a^2 -1}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}$
2. 当$a=2026$时，$a+1=2026+1=2027≠0$，符合分式约分的条件，约去公因式$a+1$后，原式化简为$a-1$。
3. 代入$a=2026$计算：$a-1=2026-1=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
平方差公式，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心技巧是先化简再代入求值，能有效降低计算量，减少出错概率，掌握因式分解的常用方法和分式约分的规则是解题的关键。
【难度系数】
0.85
三、解答题
1. 已知分式$\frac{x^2 -1}{2x +2}$的值为零，求x的值。
1. 已知分式$\frac{x^2 -1}{2x +2}$的值为零，求x的值。
答案
$x=1$
解析
【分析】
要解决分式值为0求未知数的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式本身有意义）。解题时先根据分子为0列出方程，求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除会让分母为0的x值，最终剩下的取值就是正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{x^2 -1}{2x +2}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：
$x^2 -1 = 0$
用平方差公式因式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
解得：$x=1$或$x=-1$
2. 分母不等于0（保证分式有意义）：
$2x + 2 ≠ 0$
化简得：$2(x+1)≠ 0$，即$x ≠ -1$
结合两个条件，排除不符合要求的$x=-1$，最终得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
分式值为0的条件，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式板块的基础题型，易错点是解题时容易忽略分母不为0的前提条件，直接取分子为0的所有解，解题时要牢记两个条件需同时满足，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0求未知数的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式本身有意义）。解题时先根据分子为0列出方程，求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除会让分母为0的x值，最终剩下的取值就是正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{x^2 -1}{2x +2}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：
$x^2 -1 = 0$
用平方差公式因式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
解得：$x=1$或$x=-1$
2. 分母不等于0（保证分式有意义）：
$2x + 2 ≠ 0$
化简得：$2(x+1)≠ 0$，即$x ≠ -1$
结合两个条件，排除不符合要求的$x=-1$，最终得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
分式值为0的条件，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式板块的基础题型，易错点是解题时容易忽略分母不为0的前提条件，直接取分子为0的所有解，解题时要牢记两个条件需同时满足，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
2. 先约分,再求值:$\frac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$,其中 $a=2,b=\frac{1}{2}$.
答案
原式=$\frac{a+2b}{a-2b}$. 当 $a=2, b=\frac{1}{2}$时, 原式=3.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰明确：第一步先对分子、分母分别做因式分解，先提取公因式，再结合平方差公式、完全平方公式分解彻底；第二步约去分子分母的公因式得到最简分式，注意约分的前提是约去的公因式不为0，本题给出的a、b取值满足要求，可正常约分；第三步将a、b的取值代入最简分式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
1. 分解分子：
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a+2b)(a-2b)$
2. 分解分母：
$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a-2b)^2$
3. 约分化简：
原式$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}$，已知$a=2≠0$，$a-2b=2-2×\frac{1}{2}=1≠0$，可约去公因式$a(a-2b)$，得：
原式$=\frac{a+2b}{a-2b}$
4. 代值计算：
把$a=2,b=\frac{1}{2}$代入最简分式：
$\frac{2 + 2×\frac{1}{2}}{2 - 2×\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$
【答案】
原式约分后为$\frac{a+2b}{a-2b}$，求值结果为3。
【知识点】
因式分解，分式约分，分式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察因式分解的熟练程度和分式约分的规则，先化简再求值是这类题的通用解题方法，能大幅简化计算量，解题时要注意验证公因式不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰明确：第一步先对分子、分母分别做因式分解，先提取公因式，再结合平方差公式、完全平方公式分解彻底；第二步约去分子分母的公因式得到最简分式，注意约分的前提是约去的公因式不为0，本题给出的a、b取值满足要求，可正常约分；第三步将a、b的取值代入最简分式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
1. 分解分子：
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a+2b)(a-2b)$
2. 分解分母：
$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a-2b)^2$
3. 约分化简：
原式$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}$，已知$a=2≠0$，$a-2b=2-2×\frac{1}{2}=1≠0$，可约去公因式$a(a-2b)$，得：
原式$=\frac{a+2b}{a-2b}$
4. 代值计算：
把$a=2,b=\frac{1}{2}$代入最简分式：
$\frac{2 + 2×\frac{1}{2}}{2 - 2×\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$
【答案】
原式约分后为$\frac{a+2b}{a-2b}$，求值结果为3。
【知识点】
因式分解，分式约分，分式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察因式分解的熟练程度和分式约分的规则，先化简再求值是这类题的通用解题方法，能大幅简化计算量，解题时要注意验证公因式不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
3. 已知$a+b-3=0$,求代数式$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$的值.
答案
$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题属于已知条件求代数式值的题型，解题思路可分为三步：第一步先整理已知等式，得到a+b的整体值；第二步化简目标代数式，先对分子去括号、合并同类项，再对分母利用完全平方公式因式分解，观察化简后的式子，发现可以用a+b整体代入；最后将a+b的值代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：由已知$a+b-3=0$，可得$a+b=3$。
先化简代数式：
分子：$4(a-b)+8b=4a-4b+8b=4a+4b=4(a+b)$
分母：根据完全平方和公式，$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
因为$a+b=3≠0$，所以可对分式约分：
$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}$
将$a+b=3$代入上式，得：
原式$=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式约分，代数式化简求值
【点评】
本题是整式运算、因式分解与分式化简结合的基础题型，核心考察整体代入的数学思想，无需单独求出a、b的取值，通过化简代数式、整体代入已知的和值即可快速求解，能有效检验学生对基础公式的掌握情况和代数运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
本题属于已知条件求代数式值的题型，解题思路可分为三步：第一步先整理已知等式，得到a+b的整体值；第二步化简目标代数式，先对分子去括号、合并同类项，再对分母利用完全平方公式因式分解，观察化简后的式子，发现可以用a+b整体代入；最后将a+b的值代入化简后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：由已知$a+b-3=0$，可得$a+b=3$。
先化简代数式：
分子：$4(a-b)+8b=4a-4b+8b=4a+4b=4(a+b)$
分母：根据完全平方和公式，$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
因为$a+b=3≠0$，所以可对分式约分：
$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}$
将$a+b=3$代入上式，得：
原式$=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式约分，代数式化简求值
【点评】
本题是整式运算、因式分解与分式化简结合的基础题型，核心考察整体代入的数学思想，无需单独求出a、b的取值，通过化简代数式、整体代入已知的和值即可快速求解，能有效检验学生对基础公式的掌握情况和代数运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
