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1. 如图所示，是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为4 cm，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（
A.$\sqrt{10}$ cm
B.12 cm
C.$4\sqrt{5}$ cm
D.$4\sqrt{10}$ cm
D
）.A.$\sqrt{10}$ cm
B.12 cm
C.$4\sqrt{5}$ cm
D.$4\sqrt{10}$ cm
答案
1.D
解析
【分析】要计算“车”“炮”两棋子的距离，需先确定它们在水平和垂直方向的间隔，再运用勾股定理求解。首先观察棋盘，数出两棋子间水平方向、垂直方向的小正方形数量，结合每个小正方形边长为4cm，算出水平与垂直距离，最后用勾股定理计算两点间的距离。
【解析】已知每个小正方形的边长为4cm，由棋盘可得：“车”与“炮”在水平方向间隔3个小正方形，因此水平距离为$3×4=12$cm；在垂直方向间隔1个小正方形，因此垂直距离为$1×4=4$cm。根据勾股定理，两点间的距离为$\sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$ cm。
【答案】D
【知识点】勾股定理，两点间距离
【点评】本题结合象棋棋盘场景考查勾股定理的应用，核心是确定两点的水平与垂直间隔，将实际问题转化为直角三角形的边长计算，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】已知每个小正方形的边长为4cm，由棋盘可得：“车”与“炮”在水平方向间隔3个小正方形，因此水平距离为$3×4=12$cm；在垂直方向间隔1个小正方形，因此垂直距离为$1×4=4$cm。根据勾股定理，两点间的距离为$\sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$ cm。
【答案】D
【知识点】勾股定理，两点间距离
【点评】本题结合象棋棋盘场景考查勾股定理的应用，核心是确定两点的水平与垂直间隔，将实际问题转化为直角三角形的边长计算，难度适中。
【难度系数】0.5
2. 下列命题的逆命题为真命题的是（
A.对顶角相等
B.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C.全等三角形的对应角相等
D.在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
D
）.A.对顶角相等
B.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C.全等三角形的对应角相等
D.在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
答案
2.D
解析
【分析】首先明确逆命题的定义：将原命题的题设（条件）和结论互换即可得到逆命题，需逐一构造各选项的逆命题，再判断其真假，最终选出逆命题为真的选项。
【解析】
选项A：原命题为“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（如两平行线被截形成的同位角相等但不是对顶角），故逆命题为假命题。
选项B：原命题为“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”，逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”。绝对值相等的两个实数可能互为相反数（如2和-2），故逆命题为假命题。
选项C：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形全等”。对应角相等的三角形只能判定为相似，不一定全等，故逆命题为假命题。
选项D：原命题为“在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上”，逆命题为“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，这是角平分线的性质定理，为真命题。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】命题与逆命题、角平分线的性质
【点评】本题考查逆命题的构造与真假判断，需掌握逆命题的定义，熟悉常见几何定理的逆命题是否成立，属于基础题型，需细心分析每个选项的逆命题。
【难度系数】0.6
【解析】
选项A：原命题为“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（如两平行线被截形成的同位角相等但不是对顶角），故逆命题为假命题。
选项B：原命题为“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”，逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”。绝对值相等的两个实数可能互为相反数（如2和-2），故逆命题为假命题。
选项C：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形全等”。对应角相等的三角形只能判定为相似，不一定全等，故逆命题为假命题。
选项D：原命题为“在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上”，逆命题为“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，这是角平分线的性质定理，为真命题。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】命题与逆命题、角平分线的性质
【点评】本题考查逆命题的构造与真假判断，需掌握逆命题的定义，熟悉常见几何定理的逆命题是否成立，属于基础题型，需细心分析每个选项的逆命题。
【难度系数】0.6
3. 在一次植树活动中，小洛所在的班级一共植树12棵，按如图所示分布，已知每棵树之间的间距是2 m，则小洛所在班级植树围成的区域的面积为（
A.$6\ \mathrm{m}^2$
B.$12\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$48\ \mathrm{m}^2$
C
）.A.$6\ \mathrm{m}^2$
B.$12\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$48\ \mathrm{m}^2$
答案
3.C
解析
【分析】本题是结合植树问题的直角三角形面积计算，解题思路为：先通过每条边上树的数量算出间隔数，再结合间距求出两条直角边的长度，最后利用直角三角形面积公式计算区域面积。
【解析】1. 求直角边AB的长度：AB边上共有4棵树，间隔数=树的数量-1=4-1=3，已知每棵树间距2m，所以AB的长度=3×2=6(m)；
2. 求直角边BC的长度：BC边上共有5棵树，间隔数=5-1=4，所以BC的长度=4×2=8(m)；
3. 计算区域面积：该区域为直角三角形，面积=直角边AB×直角边BC÷2=6×8÷2=24(m²)。
【答案】C
【知识点】直角三角形面积计算、间隔问题
【点评】本题将植树问题与几何面积计算结合，需先理清间隔数与树数量的关系，再运用三角形面积公式求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】1. 求直角边AB的长度：AB边上共有4棵树，间隔数=树的数量-1=4-1=3，已知每棵树间距2m，所以AB的长度=3×2=6(m)；
2. 求直角边BC的长度：BC边上共有5棵树，间隔数=5-1=4，所以BC的长度=4×2=8(m)；
3. 计算区域面积：该区域为直角三角形，面积=直角边AB×直角边BC÷2=6×8÷2=24(m²)。
【答案】C
【知识点】直角三角形面积计算、间隔问题
【点评】本题将植树问题与几何面积计算结合，需先理清间隔数与树数量的关系，再运用三角形面积公式求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
4. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，-2），则A，B两点间的距离为（
A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{13}$
C
）。A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{13}$
答案
4.C
解析
【分析】要计算平面直角坐标系中两点间的距离，需运用两点间距离公式。先确定两点的坐标，代入公式计算横、纵坐标差的平方和，再开平方得到两点间距离。
【解析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式：若点A坐标为$(x_1,y_1)$，点B坐标为$(x_2,y_2)$，则A、B两点间距离$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。已知$A(1,2)$，$B(3,-2)$，代入得：$AB=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】C
【知识点】平面直角坐标系两点间距离公式
【点评】本题考查两点间距离公式的基础应用，属于常规计算题，只要牢记公式并准确计算即可得出结果。
【难度系数】0.8
【解析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式：若点A坐标为$(x_1,y_1)$，点B坐标为$(x_2,y_2)$，则A、B两点间距离$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。已知$A(1,2)$，$B(3,-2)$，代入得：$AB=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】C
【知识点】平面直角坐标系两点间距离公式
【点评】本题考查两点间距离公式的基础应用，属于常规计算题，只要牢记公式并准确计算即可得出结果。
【难度系数】0.8
5.我国古代有这样一个数学问题：“枯木一根直立地上，高2丈，周3尺，有葛藤条自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点B处缠绕而上，且缠绕五周后其末端恰好到达点A处，则问题中葛藤的最短长度是（
A.15尺
B.20尺
C.25尺
D.30尺
C
）。A.15尺
B.20尺
C.25尺
D.30尺
答案
5.C
解析
【分析】本题是利用圆柱侧面展开图求最短路径的问题，核心思路是将立体的圆柱侧面转化为平面的矩形，葛藤的最短长度即为该矩形的对角线长度。首先确定展开后矩形的长和宽：葛藤缠绕5周，所以矩形的长是5倍的底面周长；矩形的宽等于圆柱的高，再运用勾股定理计算对角线长度即可得到葛藤的最短长度。
【解析】将圆柱的侧面展开成一个矩形，该矩形的宽等于圆柱的高，即20尺；矩形的长等于葛藤缠绕5周对应的底面周长之和，即5×3=15尺。根据勾股定理，葛藤的最短长度为矩形的对角线长度，计算得：$\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$（尺）。
【答案】25尺
【知识点】圆柱侧面展开、勾股定理
【点评】本题将古代实际问题转化为几何中的最短路径问题，运用了转化思想，解题关键是正确展开圆柱侧面得到矩形，再结合勾股定理求解，属于常见的几何应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】将圆柱的侧面展开成一个矩形，该矩形的宽等于圆柱的高，即20尺；矩形的长等于葛藤缠绕5周对应的底面周长之和，即5×3=15尺。根据勾股定理，葛藤的最短长度为矩形的对角线长度，计算得：$\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$（尺）。
【答案】25尺
【知识点】圆柱侧面展开、勾股定理
【点评】本题将古代实际问题转化为几何中的最短路径问题，运用了转化思想，解题关键是正确展开圆柱侧面得到矩形，再结合勾股定理求解，属于常见的几何应用题型。
【难度系数】0.5
6. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，如图是“勾股树”的一部分，若$AB=6$，则图中阴影部分的面积和为
36
。答案
6.36
解析
【分析】本题是勾股定理在“勾股树”中的应用，核心思路是利用勾股定理：直角三角形两条直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积。观察图形可知，左右两侧阴影部分的面积之和，恰好等于以AB为边长的正方形的面积，因此只需计算AB的平方即可得到阴影部分面积和。
【解析】设图中直角三角形的两条直角边对应的正方形面积分别为$S_{左1}$、$S_{左2}$，斜边对应的正方形面积为$S_{中1}$；右侧直角三角形的两条直角边对应的正方形面积分别为$S_{右1}$、$S_{右2}$，斜边对应的正方形面积为$S_{中2}$。根据勾股定理：$S_{左1}+S_{左2}=S_{中1}$，$S_{右1}+S_{右2}=S_{中2}$，因此阴影部分面积和$S_{阴影}=S_{左1}+S_{左2}+S_{右1}+S_{右2}=S_{中1}+S_{中2}$。又因为$S_{中1}+S_{中2}=AB^2$，已知$AB=6$，所以$S_{阴影}=6^2=36$。
【答案】36
【知识点】勾股定理、正方形面积计算
【点评】本题结合“勾股树”的图形，考查勾股定理的实际应用，关键是理解阴影部分面积与AB边正方形面积的等量关系，体现了数形结合的思想，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】设图中直角三角形的两条直角边对应的正方形面积分别为$S_{左1}$、$S_{左2}$，斜边对应的正方形面积为$S_{中1}$；右侧直角三角形的两条直角边对应的正方形面积分别为$S_{右1}$、$S_{右2}$，斜边对应的正方形面积为$S_{中2}$。根据勾股定理：$S_{左1}+S_{左2}=S_{中1}$，$S_{右1}+S_{右2}=S_{中2}$，因此阴影部分面积和$S_{阴影}=S_{左1}+S_{左2}+S_{右1}+S_{右2}=S_{中1}+S_{中2}$。又因为$S_{中1}+S_{中2}=AB^2$，已知$AB=6$，所以$S_{阴影}=6^2=36$。
【答案】36
【知识点】勾股定理、正方形面积计算
【点评】本题结合“勾股树”的图形，考查勾股定理的实际应用，关键是理解阴影部分面积与AB边正方形面积的等量关系，体现了数形结合的思想，属于基础题型。
【难度系数】0.6
