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7.如图所示，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，若BD⊥AC于点D，则BD的长为
$\frac{9\sqrt{10}}{10}$
.答案
7.$\frac{9\sqrt{10}}{10}$
解析
【分析】
要计算BD的长度，已知BD⊥AC，可利用三角形面积的两种计算方法：一是以AC为底，BD为高，面积为$\frac{1}{2} · AC · BD$；二是通过网格计算△ABC的面积。首先确定各点坐标，求出AC的长度和△ABC的面积，再代入面积公式即可求出BD。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点B坐标为$(0,0)$，点C坐标为$(3,0)$，点A坐标为$(2,3)$。
1. 计算AC的长度：根据勾股定理，$AC = \sqrt{(3-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$。
2. 计算△ABC的面积：以BC为底，BC长度为3，A到BC的高为3，所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × 高 = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
3. 求BD的长度：因为BD⊥AC，所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BD$，代入得：
$\frac{9}{2} = \frac{1}{2} × \sqrt{10} × BD$，化简得$BD = \frac{9}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{9\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题利用等积法求垂线段长度，结合网格特点和勾股定理，是几何中求高的常用方法，需掌握等积变换的思路。
【难度系数】
0.5
要计算BD的长度，已知BD⊥AC，可利用三角形面积的两种计算方法：一是以AC为底，BD为高，面积为$\frac{1}{2} · AC · BD$；二是通过网格计算△ABC的面积。首先确定各点坐标，求出AC的长度和△ABC的面积，再代入面积公式即可求出BD。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点B坐标为$(0,0)$，点C坐标为$(3,0)$，点A坐标为$(2,3)$。
1. 计算AC的长度：根据勾股定理，$AC = \sqrt{(3-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$。
2. 计算△ABC的面积：以BC为底，BC长度为3，A到BC的高为3，所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × 高 = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
3. 求BD的长度：因为BD⊥AC，所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BD$，代入得：
$\frac{9}{2} = \frac{1}{2} × \sqrt{10} × BD$，化简得$BD = \frac{9}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{9\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题利用等积法求垂线段长度，结合网格特点和勾股定理，是几何中求高的常用方法，需掌握等积变换的思路。
【难度系数】
0.5
8. 如图所示，台阶阶梯每一层长 90 cm，宽 30 cm，高 10 cm，若一只蚂蚁想从点 A 到点 B 去搬运食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路径为
（第7题图）
（第8题图）
150
cm.（第7题图）
（第8题图）答案
8.150
解析
【分析】要解决蚂蚁沿台阶爬行的最短路径问题，需将台阶的立体表面展开为平面图形，此时A、B两点在平面中构成直角三角形，最短路径即为该直角三角形的斜边。首先确定展开后直角三角形的两条直角边长度：一条为台阶的长90cm，另一条为所有台阶的宽与高的总和（3层，每层宽30cm、高10cm，总和为$3×(30+10)=120$cm），再利用勾股定理计算斜边长度。
【解析】将台阶面展开成平面长方形，长方形的长为90cm，宽为$3×(30+10)=120$cm。根据勾股定理，直角三角形的斜边长度（即最短路径）为：$\sqrt{90^2 + 120^2} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150$（cm）。
【答案】150
【知识点】勾股定理、平面展开-最短路径
【点评】本题通过立体图形的平面展开，将空间最短路径问题转化为平面直角三角形的勾股定理应用，是典型的几何最短路径题型，需掌握展开的方法和勾股定理的使用。
【难度系数】0.6
【解析】将台阶面展开成平面长方形，长方形的长为90cm，宽为$3×(30+10)=120$cm。根据勾股定理，直角三角形的斜边长度（即最短路径）为：$\sqrt{90^2 + 120^2} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150$（cm）。
【答案】150
【知识点】勾股定理、平面展开-最短路径
【点评】本题通过立体图形的平面展开，将空间最短路径问题转化为平面直角三角形的勾股定理应用，是典型的几何最短路径题型，需掌握展开的方法和勾股定理的使用。
【难度系数】0.6
9. 观察下列各组勾股数的组成特点：
（1）请写出第6组勾股数；
（2）请写出第n组勾股数，并说明理由。
（1）请写出第6组勾股数；
（2）请写出第n组勾股数，并说明理由。
答案
9.（1）解：由题意可知，第6组勾股数是16=2×7+2，63=7×9，65=7×9+2，即16，63，65；
（2）第n组勾股数是2n+4，$n^2+4n+3$，$n^2+4n+5$；理由如下：$(2n+4)^2+(n^2+4n+3)^2=4n^2+16n+16+n^4+16n^2+9+8n^3+6n^2+24n=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$，$(n^2+4n+5)^2=n^4+16n^2+25+8n^3+10n^2+40n=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$，所以$(2n+4)^2+(n^2+4n+3)^2=(n^2+4n+5)^2$。
（2）第n组勾股数是2n+4，$n^2+4n+3$，$n^2+4n+5$；理由如下：$(2n+4)^2+(n^2+4n+3)^2=4n^2+16n+16+n^4+16n^2+9+8n^3+6n^2+24n=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$，$(n^2+4n+5)^2=n^4+16n^2+25+8n^3+10n^2+40n=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$，所以$(2n+4)^2+(n^2+4n+3)^2=(n^2+4n+5)^2$。
解析
【分析】
要解决本题，需先观察各组勾股数与组号的对应关系，分别找出每组三个数的变化规律，再根据规律推导第6组和第n组勾股数，最后验证是否满足勾股定理。步骤：1. 分析每组第一个数与组号的关系；2. 分析每组第二个数与组号的关系；3. 分析每组第三个数与组号的关系；4. 利用规律写出第6组勾股数，再推导第n组勾股数并验证。
【解析】
（1）观察各组勾股数：
第1组（组号k=1）：第一个数=2×(1+1)+2=6，第二个数=(1+1)×(1+3)=8，第三个数=8+2=10；
第2组（组号k=2）：第一个数=2×(2+1)+2=8，第二个数=(2+1)×(2+3)=15，第三个数=15+2=17；
第3组（组号k=3）：第一个数=2×(3+1)+2=10，第二个数=(3+1)×(3+3)=24，第三个数=24+2=26；
……
由此可得，第k组勾股数的第一个数为2(k+1)+2=2k+4，第二个数为(k+1)(k+3)=k²+4k+3，第三个数为(k²+4k+3)+2=k²+4k+5。
当k=6时，第一个数=2×6+4=16，第二个数=(6+1)×(6+3)=7×9=63，第三个数=63+2=65，因此第6组勾股数为16，63，65。
（2）由上述规律，第n组勾股数为：2n+4，n²+4n+3，n²+4n+5。
验证勾股定理：
两直角边的平方和：$(2n+4)^2+(n^2+4n+3)^2=4n^2+16n+16+n^4+8n^3+22n^2+24n+9=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$；
斜边的平方：$(n^2+4n+5)^2=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$；
因为两者相等，所以这三个数满足勾股定理，是勾股数。
【答案】
（1）第6组勾股数为16，63，65；（2）第n组勾股数为2n+4，$n^2+4n+3$，$n^2+4n+5$。
【知识点】
勾股数规律探究，代数式运算
【点评】
本题通过观察勾股数的组号与各数的关系推导规律，考查学生的归纳能力和代数式运算能力，是典型的规律探究类题目，需结合勾股定理验证结论的正确性。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先观察各组勾股数与组号的对应关系，分别找出每组三个数的变化规律，再根据规律推导第6组和第n组勾股数，最后验证是否满足勾股定理。步骤：1. 分析每组第一个数与组号的关系；2. 分析每组第二个数与组号的关系；3. 分析每组第三个数与组号的关系；4. 利用规律写出第6组勾股数，再推导第n组勾股数并验证。
【解析】
（1）观察各组勾股数：
第1组（组号k=1）：第一个数=2×(1+1)+2=6，第二个数=(1+1)×(1+3)=8，第三个数=8+2=10；
第2组（组号k=2）：第一个数=2×(2+1)+2=8，第二个数=(2+1)×(2+3)=15，第三个数=15+2=17；
第3组（组号k=3）：第一个数=2×(3+1)+2=10，第二个数=(3+1)×(3+3)=24，第三个数=24+2=26；
……
由此可得，第k组勾股数的第一个数为2(k+1)+2=2k+4，第二个数为(k+1)(k+3)=k²+4k+3，第三个数为(k²+4k+3)+2=k²+4k+5。
当k=6时，第一个数=2×6+4=16，第二个数=(6+1)×(6+3)=7×9=63，第三个数=63+2=65，因此第6组勾股数为16，63，65。
（2）由上述规律，第n组勾股数为：2n+4，n²+4n+3，n²+4n+5。
验证勾股定理：
两直角边的平方和：$(2n+4)^2+(n^2+4n+3)^2=4n^2+16n+16+n^4+8n^3+22n^2+24n+9=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$；
斜边的平方：$(n^2+4n+5)^2=n^4+8n^3+26n^2+40n+25$；
因为两者相等，所以这三个数满足勾股定理，是勾股数。
【答案】
（1）第6组勾股数为16，63，65；（2）第n组勾股数为2n+4，$n^2+4n+3$，$n^2+4n+5$。
【知识点】
勾股数规律探究，代数式运算
【点评】
本题通过观察勾股数的组号与各数的关系推导规律，考查学生的归纳能力和代数式运算能力，是典型的规律探究类题目，需结合勾股定理验证结论的正确性。
【难度系数】
0.5
10. 如图所示，在四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC=90° .
（1）从下面两个结论中选择一个进行证明：
① $DE + CD = \sqrt{2} BD$；
② $DE^2 + CD^2 = CE^2$；
（2）若∠ABE=30°，AB=4，求四边形ABCD的面积.
（1）从下面两个结论中选择一个进行证明：
① $DE + CD = \sqrt{2} BD$；
② $DE^2 + CD^2 = CE^2$；
（2）若∠ABE=30°，AB=4，求四边形ABCD的面积.
答案
10.（1）选择①.证明：
∵ AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC=90° ，
∴ ∠A=∠ADB=∠BEC=∠BCE=45° ，$AB^2+BD^2=AD^2$，
∴ $2BD^2=AD^2$， 即 $AD=\sqrt{2} BD$，
∵ ∠ABD-∠EBD=∠EBC-∠EBD，
∴ ∠ABE=∠DBC，
∴ △AEB ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = CD，
∴ AD = AE + DE = CD + DE = $\sqrt{2} BD$，即 $DE + CD = \sqrt{2} BD$；（答案不唯一）
（2）$S_{四边形ABCD}=4\sqrt{3}+4$。
∵ AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC=90° ，
∴ ∠A=∠ADB=∠BEC=∠BCE=45° ，$AB^2+BD^2=AD^2$，
∴ $2BD^2=AD^2$， 即 $AD=\sqrt{2} BD$，
∵ ∠ABD-∠EBD=∠EBC-∠EBD，
∴ ∠ABE=∠DBC，
∴ △AEB ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = CD，
∴ AD = AE + DE = CD + DE = $\sqrt{2} BD$，即 $DE + CD = \sqrt{2} BD$；（答案不唯一）
（2）$S_{四边形ABCD}=4\sqrt{3}+4$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问选择结论①证明：首先由AB=BD且∠ABD=90°，可知△ABD为等腰直角三角形，可得AD=√2 BD，因此只需证明AE=CD，即可将AD替换为CD+DE推导结论；证明△AEB与△DCB全等是关键，利用∠ABD与∠EBC均为90°，通过角的和差关系得到∠ABE=∠DBC，结合已知边AB=DB、BE=BC，用SAS判定全等，得到AE=CD。第(2)问求四边形面积，利用第(1)问的全等关系，将四边形面积转化为△ABD与△ABE的面积之和，结合已知角度和边长计算即可。
【解析】
(1) 选择结论①证明：
∵ AB=BD，∠ABD=90°，
∴ △ABD是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{2BD^2}=\sqrt{2}BD$，
又
∵ ∠ABD=∠EBC=90°，
∴ ∠ABD - ∠EBD = ∠EBC - ∠EBD，即∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△DCB中：
$\{\begin{array}{l} AB=DB \\ ∠ABE=∠DBC \\ BE=BC \end{array} $
∴ △AEB ≌ △DCB（SAS），
∴ AE=CD，
∵ AD=AE + DE，
∴ AD=CD + DE，结合AD=√2 BD，得$DE + CD = \sqrt{2}BD$。
(2) 计算四边形ABCD的面积：
由(1)中△AEB ≌ △DCB，可得$S_{△ AEB}=S_{△ DCB}$，
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD} + S_{△ DCB}=S_{△ ABD} + S_{△ AEB}$。
已知AB=BD=4，∠ABD=90°，则：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×BD=\frac{1}{2}×4×4=8$，
在△ABE中，∠BAE=45°（等腰直角△ABD的底角），∠ABE=30°，∠AEB=105°，
由正弦定理得$BE=4(\sqrt{3}-1)$，
则$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}×AB×BE×sin30°=4\sqrt{3}-4$，
因此$S_{四边形ABCD}=8 + (4\sqrt{3}-4)=4\sqrt{3}+4$。
【答案】
(1) 证明成立，$DE + CD = \sqrt{2}BD$；(2) $4\sqrt{3}+4$
【知识点】
全等三角形判定、等腰直角三角形、四边形面积计算
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，关键是通过角的等量关系证明三角形全等，转化线段和面积，中等难度，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问选择结论①证明：首先由AB=BD且∠ABD=90°，可知△ABD为等腰直角三角形，可得AD=√2 BD，因此只需证明AE=CD，即可将AD替换为CD+DE推导结论；证明△AEB与△DCB全等是关键，利用∠ABD与∠EBC均为90°，通过角的和差关系得到∠ABE=∠DBC，结合已知边AB=DB、BE=BC，用SAS判定全等，得到AE=CD。第(2)问求四边形面积，利用第(1)问的全等关系，将四边形面积转化为△ABD与△ABE的面积之和，结合已知角度和边长计算即可。
【解析】
(1) 选择结论①证明：
∵ AB=BD，∠ABD=90°，
∴ △ABD是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{2BD^2}=\sqrt{2}BD$，
又
∵ ∠ABD=∠EBC=90°，
∴ ∠ABD - ∠EBD = ∠EBC - ∠EBD，即∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△DCB中：
$\{\begin{array}{l} AB=DB \\ ∠ABE=∠DBC \\ BE=BC \end{array} $
∴ △AEB ≌ △DCB（SAS），
∴ AE=CD，
∵ AD=AE + DE，
∴ AD=CD + DE，结合AD=√2 BD，得$DE + CD = \sqrt{2}BD$。
(2) 计算四边形ABCD的面积：
由(1)中△AEB ≌ △DCB，可得$S_{△ AEB}=S_{△ DCB}$，
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD} + S_{△ DCB}=S_{△ ABD} + S_{△ AEB}$。
已知AB=BD=4，∠ABD=90°，则：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×BD=\frac{1}{2}×4×4=8$，
在△ABE中，∠BAE=45°（等腰直角△ABD的底角），∠ABE=30°，∠AEB=105°，
由正弦定理得$BE=4(\sqrt{3}-1)$，
则$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}×AB×BE×sin30°=4\sqrt{3}-4$，
因此$S_{四边形ABCD}=8 + (4\sqrt{3}-4)=4\sqrt{3}+4$。
【答案】
(1) 证明成立，$DE + CD = \sqrt{2}BD$；(2) $4\sqrt{3}+4$
【知识点】
全等三角形判定、等腰直角三角形、四边形面积计算
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，关键是通过角的等量关系证明三角形全等，转化线段和面积，中等难度，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
