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勾股定理源于生活，贴近现实.它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形结合起来，还可以解决许多与实际生活紧密联系的问题.比如，图甲是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，你能求出滑道AC的长度吗？
图甲
图甲
答案
解：设滑道AC的长为$x\ \mathrm{m}$，
由题意得：$AC = AB = x\ \mathrm{m}$，
$\because CE⊥ AB$，四边形$CDBE$为矩形，
$\therefore EB = CD = 1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE = AB - EB = (x-1)\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ AEC=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$
代入$CE=3\ \mathrm{m}$得：
$(x-1)^2 + 3^2 = x^2$
展开整理得：$x^2 -2x +1 +9 = x^2$，
化简得：$-2x +10 = 0$，
解得：$x=5$。
答：滑道$AC$的长度为$5\ \mathrm{m}$。
由题意得：$AC = AB = x\ \mathrm{m}$，
$\because CE⊥ AB$，四边形$CDBE$为矩形，
$\therefore EB = CD = 1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE = AB - EB = (x-1)\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ AEC=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$
代入$CE=3\ \mathrm{m}$得：
$(x-1)^2 + 3^2 = x^2$
展开整理得：$x^2 -2x +1 +9 = x^2$，
化简得：$-2x +10 = 0$，
解得：$x=5$。
答：滑道$AC$的长度为$5\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】首先，根据题意可知滑道AC与AB长度相等，设AC的长为$x\ \mathrm{m}$。观察图形，四边形CDBE是矩形，因此对边相等，可得$EB = CD = 1\ \mathrm{m}$，进而能表示出直角三角形ACE的直角边$AE$的长度为$(x - 1)\ \mathrm{m}$。接下来，在直角三角形ACE中，利用勾股定理建立关于$x$的方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】设滑道AC的长为$x\ \mathrm{m}$，由题意得$AC = AB = x\ \mathrm{m}$。
因为$CE⊥ AB$，四边形CDBE为矩形，所以$EB = CD = 1\ \mathrm{m}$，则$AE = AB - EB = (x - 1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ AEC = 90°$，根据勾股定理：$AE^2 + CE^2 = AC^2$，代入$CE = 3\ \mathrm{m}$得：
$(x - 1)^2 + 3^2 = x^2$，
展开整理得：$x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2$，
化简得：$-2x + 10 = 0$，
解得：$x = 5$。
【答案】滑道AC的长度为$5\ \mathrm{m}$
【知识点】勾股定理、矩形的性质
【点评】本题将勾股定理与实际生活中的滑梯问题结合，需结合图形性质找到直角三角形边长关系，通过设未知数列方程求解，考查勾股定理的实际应用能力，是基础几何应用题。
【难度系数】0.6
【解析】设滑道AC的长为$x\ \mathrm{m}$，由题意得$AC = AB = x\ \mathrm{m}$。
因为$CE⊥ AB$，四边形CDBE为矩形，所以$EB = CD = 1\ \mathrm{m}$，则$AE = AB - EB = (x - 1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ AEC = 90°$，根据勾股定理：$AE^2 + CE^2 = AC^2$，代入$CE = 3\ \mathrm{m}$得：
$(x - 1)^2 + 3^2 = x^2$，
展开整理得：$x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2$，
化简得：$-2x + 10 = 0$，
解得：$x = 5$。
【答案】滑道AC的长度为$5\ \mathrm{m}$
【知识点】勾股定理、矩形的性质
【点评】本题将勾股定理与实际生活中的滑梯问题结合，需结合图形性质找到直角三角形边长关系，通过设未知数列方程求解，考查勾股定理的实际应用能力，是基础几何应用题。
【难度系数】0.6
如图乙所示，旗杆顶端绑住的绳子下垂至地面，此时发现地面上还有2 m的余量.小明想知道旗杆的高度，于是拿着绳子末端往前走，将绳子拉直后发现他距离旗杆8 m，你能求出旗杆的高度吗？
类似这样的问题，生活中还有很多，工人为了判断一个墙角是否是标准的直角，可以分别在墙角向两个墙面测量出30 cm，40 cm，并标记在一个点，然后测量这两点间的距离是否是50 cm，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.请你记录生活中与“勾股定理”有联系的事物，与同学们一起分享吧！
类似这样的问题，生活中还有很多，工人为了判断一个墙角是否是标准的直角，可以分别在墙角向两个墙面测量出30 cm，40 cm，并标记在一个点，然后测量这两点间的距离是否是50 cm，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.请你记录生活中与“勾股定理”有联系的事物，与同学们一起分享吧！
答案
解：
设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则拉直后绳子的长度为$ (x+2) \, \mathrm{m} $。
由题意可知$ ∠ B = 90° $，$ BC = 8 \, \mathrm{m} $，在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
代入对应边长得：
$ x^2 + 8^2 = (x+2)^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4 $
$ 4x = 60 $
解得：$ x = 15 $
生活中与勾股定理相关的实例：
1. 木工制作门窗框架时，确认两组对边长度相等后，通过测量对角线长度验证门窗的角是否为直角，利用了勾股定理的逆定理；
2. 搭建临时活动板房时，工人利用3、4、5的勾股数快速确定墙角的标准直角；
3. 测绘工作中，已知两点的水平横向距离和纵向距离，通过勾股定理直接计算两点的直线距离。
答：旗杆的高度为15m。
设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则拉直后绳子的长度为$ (x+2) \, \mathrm{m} $。
由题意可知$ ∠ B = 90° $，$ BC = 8 \, \mathrm{m} $，在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
代入对应边长得：
$ x^2 + 8^2 = (x+2)^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4 $
$ 4x = 60 $
解得：$ x = 15 $
生活中与勾股定理相关的实例：
1. 木工制作门窗框架时，确认两组对边长度相等后，通过测量对角线长度验证门窗的角是否为直角，利用了勾股定理的逆定理；
2. 搭建临时活动板房时，工人利用3、4、5的勾股数快速确定墙角的标准直角；
3. 测绘工作中，已知两点的水平横向距离和纵向距离，通过勾股定理直接计算两点的直线距离。
答：旗杆的高度为15m。
解析
【分析】本题是利用勾股定理解决实际测量问题，解题思路为：先将实际问题转化为直角三角形模型，设旗杆高度为未知数，根据绳子余量表示出斜边（绳子长度），再利用勾股定理建立方程，求解得到旗杆高度；最后结合生活实例，列举勾股定理的应用场景，体现数学与生活的联系。
【解析】设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则拉直后绳子的长度为$ (x + 2) \, \mathrm{m} $。由题意可知，$ AB ⊥ BC $，即$ ∠ B = 90° $，$ BC = 8 \, \mathrm{m} $，在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入对应边的长度，得：
$x^2 + 8^2 = (x + 2)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4$
移项化简得：
$4x = 60$
解得：
$x = 15$
生活中与勾股定理相关的实例：
1. 木工制作门窗框架时，确认两组对边长度相等后，通过测量对角线长度验证门窗的角是否为直角，利用了勾股定理的逆定理；
2. 搭建临时活动板房时，工人利用3、4、5的勾股数快速确定墙角的标准直角；
3. 测绘工作中，已知两点的水平横向距离和纵向距离，通过勾股定理直接计算两点的直线距离。
【答案】旗杆的高度为15m；生活中与勾股定理相关的实例如上述列举。
【知识点】勾股定理、勾股定理逆定理、数学实际应用
【点评】本题将生活中的测量问题转化为直角三角形的数学模型，考查勾股定理的应用，需要学生具备将实际问题抽象为几何问题的能力，同时结合生活实例，体现了数学与生活的紧密联系，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则拉直后绳子的长度为$ (x + 2) \, \mathrm{m} $。由题意可知，$ AB ⊥ BC $，即$ ∠ B = 90° $，$ BC = 8 \, \mathrm{m} $，在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入对应边的长度，得：
$x^2 + 8^2 = (x + 2)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4$
移项化简得：
$4x = 60$
解得：
$x = 15$
生活中与勾股定理相关的实例：
1. 木工制作门窗框架时，确认两组对边长度相等后，通过测量对角线长度验证门窗的角是否为直角，利用了勾股定理的逆定理；
2. 搭建临时活动板房时，工人利用3、4、5的勾股数快速确定墙角的标准直角；
3. 测绘工作中，已知两点的水平横向距离和纵向距离，通过勾股定理直接计算两点的直线距离。
【答案】旗杆的高度为15m；生活中与勾股定理相关的实例如上述列举。
【知识点】勾股定理、勾股定理逆定理、数学实际应用
【点评】本题将生活中的测量问题转化为直角三角形的数学模型，考查勾股定理的应用，需要学生具备将实际问题抽象为几何问题的能力，同时结合生活实例，体现了数学与生活的紧密联系，难度适中。
【难度系数】0.5
