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14. 乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
| 测量时间 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 收缩压/毫米汞柱 | 151 | 148 |
| 139 | 140 | 136 | 140 |
| 舒张压/毫米汞柱 | 90 | 92 | 88 | 88 | 90 | 80 | 88 |
对收缩压、舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（
A.收缩压的中位数为139
B.舒张压的众数为88
C.收缩压的平均数为142
D.舒张压的方差为$\frac{88}{7}$
| 测量时间 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 收缩压/毫米汞柱 | 151 | 148 |
| 139 | 140 | 136 | 140 || 舒张压/毫米汞柱 | 90 | 92 | 88 | 88 | 90 | 80 | 88 |
对收缩压、舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（
A
）A.收缩压的中位数为139
B.舒张压的众数为88
C.收缩压的平均数为142
D.舒张压的方差为$\frac{88}{7}$
答案
14.A
解析
【分析】
本题考查统计中中位数、众数、平均数、方差的相关计算，解题时首先分别整理收缩压、舒张压两组数据，再根据各统计量的定义依次计算对应数值，最后核对选项找出错误结论即可。第一步：先列出收缩压的所有数据，从小到大排序后求中位数，再求和计算平均数，核对A、C选项；第二步：列出舒张压的所有数据，找出出现次数最多的数得到众数，再计算平均数进而求出方差，核对B、D选项。
【解析】
首先处理收缩压数据：收缩压的7个数据为151、148、140、139、140、136、140。
将其从小到大排序：136，139，140，140，140，148，151。
① 中位数为排序后第4个数据，即140，因此A选项错误；
② 收缩压的平均数 = (136+139+140+140+140+148+151)÷7 = 994÷7 = 142，因此C选项正确。
再处理舒张压数据：舒张压的7个数据为90、92、88、88、90、80、88。
① 88共出现3次，是出现次数最多的数，因此舒张压的众数为88，B选项正确；
② 先算舒张压的平均数：(80+88+88+88+90+90+92)÷7 = 616÷7 = 88；
方差 = $\frac{1}{7}×[(80-88)^2 + 3×(88-88)^2 + 2×(90-88)^2 + (92-88)^2]$ = $\frac{1}{7}×(64+0+8+16)$ = $\frac{88}{7}$，因此D选项正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中位数计算，众数识别，平均数与方差计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查常见统计量的定义与计算方法，解题时注意数据排序不要出错，计算平均数和方差时要仔细核对数值，避免粗心失分。
【难度系数】
0.7
本题考查统计中中位数、众数、平均数、方差的相关计算，解题时首先分别整理收缩压、舒张压两组数据，再根据各统计量的定义依次计算对应数值，最后核对选项找出错误结论即可。第一步：先列出收缩压的所有数据，从小到大排序后求中位数，再求和计算平均数，核对A、C选项；第二步：列出舒张压的所有数据，找出出现次数最多的数得到众数，再计算平均数进而求出方差，核对B、D选项。
【解析】
首先处理收缩压数据：收缩压的7个数据为151、148、140、139、140、136、140。
将其从小到大排序：136，139，140，140，140，148，151。
① 中位数为排序后第4个数据，即140，因此A选项错误；
② 收缩压的平均数 = (136+139+140+140+140+148+151)÷7 = 994÷7 = 142，因此C选项正确。
再处理舒张压数据：舒张压的7个数据为90、92、88、88、90、80、88。
① 88共出现3次，是出现次数最多的数，因此舒张压的众数为88，B选项正确；
② 先算舒张压的平均数：(80+88+88+88+90+90+92)÷7 = 616÷7 = 88；
方差 = $\frac{1}{7}×[(80-88)^2 + 3×(88-88)^2 + 2×(90-88)^2 + (92-88)^2]$ = $\frac{1}{7}×(64+0+8+16)$ = $\frac{88}{7}$，因此D选项正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中位数计算，众数识别，平均数与方差计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查常见统计量的定义与计算方法，解题时注意数据排序不要出错，计算平均数和方差时要仔细核对数值，避免粗心失分。
【难度系数】
0.7
15. 某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如下表，则这20户家庭这个月的平均用水量是
5.8
吨。答案
15.5.8
解析
【分析】
要求这20户家庭的平均用水量，需用加权平均数的计算方法求解。首先计算所有家庭的总用水量，即用每组用水量乘以对应的户数，再将各部分用水量相加，最后用总用水量除以总户数20，即可得到平均用水量。
【解析】
首先计算20户家庭的总用水量：
$4×3 + 5×8 + 6×4 + 8×5$
$=12 + 40 + 24 + 40$
$=116$（吨）
总户数为$3+8+4+5=20$（户）
平均用水量为$116÷20=5.8$（吨）
【答案】
5.8
【知识点】
加权平均数、平均数计算
【点评】
本题是平均数计算的基础应用题，解题时需注意不能直接对用水量求算术平均，要结合对应的户数权重计算，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要求这20户家庭的平均用水量，需用加权平均数的计算方法求解。首先计算所有家庭的总用水量，即用每组用水量乘以对应的户数，再将各部分用水量相加，最后用总用水量除以总户数20，即可得到平均用水量。
【解析】
首先计算20户家庭的总用水量：
$4×3 + 5×8 + 6×4 + 8×5$
$=12 + 40 + 24 + 40$
$=116$（吨）
总户数为$3+8+4+5=20$（户）
平均用水量为$116÷20=5.8$（吨）
【答案】
5.8
【知识点】
加权平均数、平均数计算
【点评】
本题是平均数计算的基础应用题，解题时需注意不能直接对用水量求算术平均，要结合对应的户数权重计算，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.8
16. 甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各掷5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下:0,1,5,9,10，那么成绩较稳定的是
甲
(填“甲”或“乙”).答案
16.甲
解析
【分析】
要判断两人谁的成绩更稳定，需比较两人成绩的方差，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定。本题已知甲的方差，因此先计算乙的平均环数，再根据方差公式求出乙的方差，最后比较甲乙方差大小即可得到结论。
【解析】
首先计算乙所得环数的平均数：
$\bar{x}_乙=\frac{0+1+5+9+10}{5}=5$
再根据方差公式计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(0-5)^2+(1-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2+(10-5)^2]$
$=\frac{1}{5}(25+16+0+16+25)$
$=\frac{82}{5}=16.4$
已知甲的方差$s^2_甲=15$，因为$15＜16.4$，即甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查方差的实际应用，解题关键是牢记“方差越小，数据波动越小，成绩越稳定”的性质，同时需熟练掌握平均数与方差的计算方法。
【难度系数】
0.8
要判断两人谁的成绩更稳定，需比较两人成绩的方差，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定。本题已知甲的方差，因此先计算乙的平均环数，再根据方差公式求出乙的方差，最后比较甲乙方差大小即可得到结论。
【解析】
首先计算乙所得环数的平均数：
$\bar{x}_乙=\frac{0+1+5+9+10}{5}=5$
再根据方差公式计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(0-5)^2+(1-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2+(10-5)^2]$
$=\frac{1}{5}(25+16+0+16+25)$
$=\frac{82}{5}=16.4$
已知甲的方差$s^2_甲=15$，因为$15＜16.4$，即甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查方差的实际应用，解题关键是牢记“方差越小，数据波动越小，成绩越稳定”的性质，同时需熟练掌握平均数与方差的计算方法。
【难度系数】
0.8
17. 函数$y=-2x+5$的自变量$x$所取值$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为2，方差为0.25，则对应的函数值$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$的平均数为________，方差为________。
答案
17.1 1
解析
【分析】
解题分为两个部分：①求函数值的平均数：利用平均数的线性运算性质，若$y=kx+b$，则新数据的平均数$\overline{y}=k\overline{x}+b$，代入已知$\overline{x}=2$即可计算；②求函数值的方差：利用方差的运算性质，一组数据每个元素乘以常数$k$、再加常数$b$时，新数据的方差为原方差乘以$k^2$（加常数不改变数据波动，因此不影响方差），代入已知原方差$0.25$即可计算。
【解析】
已知$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s_x^2=0.25$，对应函数值为$y_i=-2x_i+5$（$i=1,2,3,4,5$）。
1. 计算$y$的平均数：
根据平均数的定义推导：
$\overline{y}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5}=\frac{(-2x_1+5)+(-2x_2+5)+\dots+(-2x_5+5)}{5}$
$=-2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_5}{5}+5=-2\overline{x}+5$
代入$\overline{x}=2$得：$\overline{y}=-2×2+5=1$。
2. 计算$y$的方差：
根据方差定义推导：
$s_y^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5(y_i-\overline{y})^2$
代入$y_i=-2x_i+5$、$\overline{y}=-2\overline{x}+5$，可得$y_i-\overline{y}=-2(x_i-\overline{x})$，因此：
$s_y^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5[-2(x_i-\overline{x})]^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^54(x_i-\overline{x})^2=4×\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})^2=4s_x^2$
代入$s_x^2=0.25$得：$s_y^2=4×0.25=1$。
【答案】
1；1
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题属于统计量规律应用的基础题型，既可以通过统计量的定义直接推导结果，也可以直接利用数据线性变换下的统计量变化规律快速解题，是统计部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题分为两个部分：①求函数值的平均数：利用平均数的线性运算性质，若$y=kx+b$，则新数据的平均数$\overline{y}=k\overline{x}+b$，代入已知$\overline{x}=2$即可计算；②求函数值的方差：利用方差的运算性质，一组数据每个元素乘以常数$k$、再加常数$b$时，新数据的方差为原方差乘以$k^2$（加常数不改变数据波动，因此不影响方差），代入已知原方差$0.25$即可计算。
【解析】
已知$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s_x^2=0.25$，对应函数值为$y_i=-2x_i+5$（$i=1,2,3,4,5$）。
1. 计算$y$的平均数：
根据平均数的定义推导：
$\overline{y}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5}=\frac{(-2x_1+5)+(-2x_2+5)+\dots+(-2x_5+5)}{5}$
$=-2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_5}{5}+5=-2\overline{x}+5$
代入$\overline{x}=2$得：$\overline{y}=-2×2+5=1$。
2. 计算$y$的方差：
根据方差定义推导：
$s_y^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5(y_i-\overline{y})^2$
代入$y_i=-2x_i+5$、$\overline{y}=-2\overline{x}+5$，可得$y_i-\overline{y}=-2(x_i-\overline{x})$，因此：
$s_y^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5[-2(x_i-\overline{x})]^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^54(x_i-\overline{x})^2=4×\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})^2=4s_x^2$
代入$s_x^2=0.25$得：$s_y^2=4×0.25=1$。
【答案】
1；1
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题属于统计量规律应用的基础题型，既可以通过统计量的定义直接推导结果，也可以直接利用数据线性变换下的统计量变化规律快速解题，是统计部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
18. 为了调动员工的积极性,商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标,对完成目标的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析.
数据收集(单位:万元):
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理:
数据分析:
问题解决:
(1) 填空:$a=$
(2) 若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有
(3) 经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励.员工甲找到经理说:"我这个月的销售额是7.5万元,比平均数7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿到奖励?"假如你是经理,请你给出合理解释.
数据收集(单位:万元):
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理:
数据分析:
问题解决:
(1) 填空:$a=$
4
,$b=$7.7
;(2) 若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有
12
名员工获得奖励;(3) 经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励.员工甲找到经理说:"我这个月的销售额是7.5万元,比平均数7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿到奖励?"假如你是经理,请你给出合理解释.
答案
18. 解:(1)4 7.7 (2)12 (3)由(1)可知20名员工的销售额的中位数为7.7万元，
∴20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元。公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得，而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，
∴员工甲不能拿到奖励。
∴20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元。公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得，而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，
∴员工甲不能拿到奖励。
解析
【分析】
(1) 求a时，a为指定销售额区间的频数，只需统计已知数据中落在对应区间的数量即可得到a；求b时，b是20个销售额数据的中位数，将所有数据从小到大排序后，取第10个和第11个数据的平均数即为中位数。(2) 求获得奖励的员工数，只需统计所有销售额不低于7万元的数据个数即可。(3) 一半员工获奖说明奖励标准为中位数，中位数的含义是有一半的数据不小于它，一半的数据不大于它，对比员工甲的销售额和中位数就能给出合理解释。
【解析】
(1) 统计20个销售额数据中落在对应区间的数量，可得a=4；将所有销售额从小到大排序：5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9。第10个数据是7.6，第11个数据是7.8，因此中位数$b=\frac{7.6+7.8}{2}=7.7$。
(2) 逐一统计销售额不低于7万元的数据，共有12个，因此有12名员工获得奖励。
(3) 由(1)可知20名员工的销售额的中位数为7.7万元，即20名员工中有一半（10人）的销售额超过7.7万元。公司对一半的员工进行奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得奖励，而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，因此员工甲不能拿到奖励。
【答案】
(1) $4$，$7.7$；(2) $12$；(3) 20名员工的销售额的中位数为7.7万元，一半员工销售额不低于7.7万元，奖励标准为7.7万元及以上，甲的销售额7.5万元低于该标准，所以不能拿到奖励。
【知识点】
频数统计，中位数，统计量的实际应用
【点评】
本题结合企业员工奖励的实际场景，考查了统计基础概念的理解与应用，需要同学们掌握频数计算、中位数求解的方法，理解不同统计量的实际意义，能运用统计知识解决生活中的相关问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求a时，a为指定销售额区间的频数，只需统计已知数据中落在对应区间的数量即可得到a；求b时，b是20个销售额数据的中位数，将所有数据从小到大排序后，取第10个和第11个数据的平均数即为中位数。(2) 求获得奖励的员工数，只需统计所有销售额不低于7万元的数据个数即可。(3) 一半员工获奖说明奖励标准为中位数，中位数的含义是有一半的数据不小于它，一半的数据不大于它，对比员工甲的销售额和中位数就能给出合理解释。
【解析】
(1) 统计20个销售额数据中落在对应区间的数量，可得a=4；将所有销售额从小到大排序：5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9。第10个数据是7.6，第11个数据是7.8，因此中位数$b=\frac{7.6+7.8}{2}=7.7$。
(2) 逐一统计销售额不低于7万元的数据，共有12个，因此有12名员工获得奖励。
(3) 由(1)可知20名员工的销售额的中位数为7.7万元，即20名员工中有一半（10人）的销售额超过7.7万元。公司对一半的员工进行奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得奖励，而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，因此员工甲不能拿到奖励。
【答案】
(1) $4$，$7.7$；(2) $12$；(3) 20名员工的销售额的中位数为7.7万元，一半员工销售额不低于7.7万元，奖励标准为7.7万元及以上，甲的销售额7.5万元低于该标准，所以不能拿到奖励。
【知识点】
频数统计，中位数，统计量的实际应用
【点评】
本题结合企业员工奖励的实际场景，考查了统计基础概念的理解与应用，需要同学们掌握频数计算、中位数求解的方法，理解不同统计量的实际意义，能运用统计知识解决生活中的相关问题。
【难度系数】
0.7
