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1.(苏州期末)下列各数中,是无理数的为 (
A.$-2$
B.$3.14$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$π$
D
)A.$-2$
B.$3.14$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$π$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确有理数和无理数的核心概念：有理数是整数和分数的统称，所有有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型包括含π的数、开方开不尽的数、无循环规律的无限小数。接下来我们逐一判断每个选项的类别，就能选出正确结果。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. $-2$是整数，整数属于有理数，不符合题意；
B. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数，不符合题意；
C. $-\frac{1}{3}$是分数，分数属于有理数，不符合题意；
D. $π$是无限不循环小数，属于无理数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义；有理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确区分有理数和无理数的范畴，牢记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确有理数和无理数的核心概念：有理数是整数和分数的统称，所有有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型包括含π的数、开方开不尽的数、无循环规律的无限小数。接下来我们逐一判断每个选项的类别，就能选出正确结果。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. $-2$是整数，整数属于有理数，不符合题意；
B. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数，不符合题意；
C. $-\frac{1}{3}$是分数，分数属于有理数，不符合题意；
D. $π$是无限不循环小数，属于无理数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义；有理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确区分有理数和无理数的范畴，牢记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.下列说法中，正确的个数是 （
①无理数都是无限小数；②带根号的数不一定是无理数；③无限小数都是无理数；④数轴上的点表示有理数；⑤不带根号的数一定是有理数.
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）①无理数都是无限小数；②带根号的数不一定是无理数；③无限小数都是无理数；④数轴上的点表示有理数；⑤不带根号的数一定是有理数.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查实数相关的概念辨析，解题时需紧扣有理数、无理数、实数的定义，以及数轴与实数的对应关系，逐一判断5个说法的正误，最终统计正确说法的个数即可得到答案。首先明确核心概念：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称（可化为有限小数或无限循环小数），实数包含有理数和无理数，数轴上的点与实数一一对应。
【解析】
我们对5个说法逐一判断：
1. 对于①：无理数的定义为无限不循环小数，属于无限小数的范畴，因此无理数都是无限小数，该说法正确；
2. 对于②：带根号的数若开方能得到整数或分数，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数，因此带根号的数不一定是无理数，该说法正确；
3. 对于③：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数两类，其中无限循环小数属于有理数（如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$是有理数），因此无限小数不都是无理数，该说法错误；
4. 对于④：数轴上的点与实数是一一对应的，既可以表示有理数，也可以表示无理数，因此数轴上的点不都表示有理数，该说法错误；
5. 对于⑤：不带根号的数也可能是无理数，例如$π$不带根号，属于无理数，因此不带根号的数不一定是有理数，该说法错误。
综上，正确的说法为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数与数轴的关系
3. 有理数的概念
【点评】
本题是实数模块的基础概念题，重点考查对有理数、无理数定义的辨析能力，易错点是容易混淆无限小数和无理数的关系，忽略带根号的数开方开尽是有理数、不带根号的数也可能是无理数的情况，学习时要准确掌握相关概念的本质特征。
【难度系数】
0.7
本题考查实数相关的概念辨析，解题时需紧扣有理数、无理数、实数的定义，以及数轴与实数的对应关系，逐一判断5个说法的正误，最终统计正确说法的个数即可得到答案。首先明确核心概念：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称（可化为有限小数或无限循环小数），实数包含有理数和无理数，数轴上的点与实数一一对应。
【解析】
我们对5个说法逐一判断：
1. 对于①：无理数的定义为无限不循环小数，属于无限小数的范畴，因此无理数都是无限小数，该说法正确；
2. 对于②：带根号的数若开方能得到整数或分数，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数，因此带根号的数不一定是无理数，该说法正确；
3. 对于③：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数两类，其中无限循环小数属于有理数（如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$是有理数），因此无限小数不都是无理数，该说法错误；
4. 对于④：数轴上的点与实数是一一对应的，既可以表示有理数，也可以表示无理数，因此数轴上的点不都表示有理数，该说法错误；
5. 对于⑤：不带根号的数也可能是无理数，例如$π$不带根号，属于无理数，因此不带根号的数不一定是有理数，该说法错误。
综上，正确的说法为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数与数轴的关系
3. 有理数的概念
【点评】
本题是实数模块的基础概念题，重点考查对有理数、无理数定义的辨析能力，易错点是容易混淆无限小数和无理数的关系，忽略带根号的数开方开尽是有理数、不带根号的数也可能是无理数的情况，学习时要准确掌握相关概念的本质特征。
【难度系数】
0.7
3. 关于实数$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下列说法错误的是 （
A.是分数
B.是无理数
C.是非负数
D.是无限不循环小数
A
）A.是分数
B.是无理数
C.是非负数
D.是无限不循环小数
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查实数相关概念的辨析，解题思路如下：首先明确各类实数的定义：分数属于有理数，需满足分子、分母均为整数（分母不为0）；无理数是无限不循环小数，属于非有理数的实数；非负数指大于等于0的数。再结合√2是无理数的已知结论，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的说法即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：分数是有理数的一类，定义为两个整数的比值（分母不为0），而√2是开方开不尽的无理数，不是整数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$不符合分数的定义，该说法错误。
2. 分析选项B：无理数除以非零有理数所得结果仍为无理数，√2是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，该说法正确。
3. 分析选项C：$\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$，属于非负数范畴，该说法正确。
4. 分析选项D：无理数的本质是无限不循环小数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无限不循环小数，该说法正确。
本题要求选择说法错误的选项，故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类；无理数的定义；分数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将带分数线的数都判定为分数，要注意分数的分子和分母必须均为整数，明确有理数和无理数的核心区别是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查实数相关概念的辨析，解题思路如下：首先明确各类实数的定义：分数属于有理数，需满足分子、分母均为整数（分母不为0）；无理数是无限不循环小数，属于非有理数的实数；非负数指大于等于0的数。再结合√2是无理数的已知结论，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的说法即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：分数是有理数的一类，定义为两个整数的比值（分母不为0），而√2是开方开不尽的无理数，不是整数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$不符合分数的定义，该说法错误。
2. 分析选项B：无理数除以非零有理数所得结果仍为无理数，√2是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，该说法正确。
3. 分析选项C：$\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$，属于非负数范畴，该说法正确。
4. 分析选项D：无理数的本质是无限不循环小数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无限不循环小数，该说法正确。
本题要求选择说法错误的选项，故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类；无理数的定义；分数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将带分数线的数都判定为分数，要注意分数的分子和分母必须均为整数，明确有理数和无理数的核心区别是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.(2024·南充)如图,数轴上表示$\sqrt{2}$的点是 (
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
C
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
4.C
解析
【分析】
要确定数轴上表示$\sqrt{2}$的点，首先需要估算$\sqrt{2}$的取值范围：先找到与被开方数2相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定$\sqrt{2}$在哪两个整数之间，再匹配数轴上对应区间的点即可。
【解析】
解：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$。
观察数轴可知：点A位于-1~0之间，点B位于0~1之间，点C位于1~2之间，点D位于2~3之间，因此表示$\sqrt{2}$的点是点C。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是掌握无理数的估算方法，通过确定无理数的整数范围，结合数轴上点的分布特征快速定位对应点，考查学生对实数相关基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.85
要确定数轴上表示$\sqrt{2}$的点，首先需要估算$\sqrt{2}$的取值范围：先找到与被开方数2相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定$\sqrt{2}$在哪两个整数之间，再匹配数轴上对应区间的点即可。
【解析】
解：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$。
观察数轴可知：点A位于-1~0之间，点B位于0~1之间，点C位于1~2之间，点D位于2~3之间，因此表示$\sqrt{2}$的点是点C。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是掌握无理数的估算方法，通过确定无理数的整数范围，结合数轴上点的分布特征快速定位对应点，考查学生对实数相关基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.85
5.(工业园区月考)把下列各数填入相应的横线上：
$-(-2), -\frac{1}{2}, 200\%, 0, 3.14, -π, -|-6|, -0.\dot{1}\dot{5}, 2.13133133313···$（相邻的两个1之间依次多一个3）.
负有理数：
整数：
无理数：
$-(-2), -\frac{1}{2}, 200\%, 0, 3.14, -π, -|-6|, -0.\dot{1}\dot{5}, 2.13133133313···$（相邻的两个1之间依次多一个3）.
负有理数：
$-\frac{1}{2},-|-6|,-0.\dot{1}\dot{5}$
；整数：
$-(-2),200\%,0,-|-6|$
；无理数：
$-π,2.13133133313···$（相邻的两个1之间依次多一个3）
.答案
5.解:负有理数:$-\frac{1}{2},-|-6|,-0.\dot{1}\dot{5}$;
整数:$-(-2),200\%,0,-|-6|$;
无理数:$-π,2.13133133313…$(相邻的两个1之间依次多1个3).
整数:$-(-2),200\%,0,-|-6|$;
无理数:$-π,2.13133133313…$(相邻的两个1之间依次多1个3).
解析
【分析】
解题时首先要将题目中带符号、绝对值、百分数的数先化简，再结合三类数的定义逐一判断归类：①负有理数是小于0的有理数，有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于分数范畴）；②整数包含正整数、0、负整数；③无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、有规律但不循环的无限小数等，据此逐一筛选即可。
【解析】
第一步：先化简各非最简形式的数：
$-(-2)=2$，$200\%=2$，$-|-6|=-6$
第二步：按定义分别归类：
1. 负有理数：需同时满足“负数”“有理数”两个条件，符合要求的有$-\frac{1}{2}, -|-6|, -0.\dot{1}\dot{5}$；
2. 整数：包含正整数、0、负整数，符合要求的有$-(-2), 200\%, 0, -|-6|$；
3. 无理数：为无限不循环小数，符合要求的有$-π, 2.13133133313···$（相邻的两个1之间依次多一个3）。
【答案】
负有理数:$-\frac{1}{2},-|-6|,-0.\dot{1}\dot{5}$;
整数:$-(-2),200\%,0,-|-6|$;
无理数:$-π,2.13133133313…$(相邻的两个1之间依次多1个3).
【知识点】
实数的分类，有理数的概念，无理数的识别
【点评】
本题是实数分类的基础题型，易错点在于未化简原数就直接分类，或混淆无限循环小数和无限不循环小数的属性，注意3.14是有限小数属于有理数，不要和π的属性混淆。
【难度系数】
0.75
解题时首先要将题目中带符号、绝对值、百分数的数先化简，再结合三类数的定义逐一判断归类：①负有理数是小于0的有理数，有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于分数范畴）；②整数包含正整数、0、负整数；③无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、有规律但不循环的无限小数等，据此逐一筛选即可。
【解析】
第一步：先化简各非最简形式的数：
$-(-2)=2$，$200\%=2$，$-|-6|=-6$
第二步：按定义分别归类：
1. 负有理数：需同时满足“负数”“有理数”两个条件，符合要求的有$-\frac{1}{2}, -|-6|, -0.\dot{1}\dot{5}$；
2. 整数：包含正整数、0、负整数，符合要求的有$-(-2), 200\%, 0, -|-6|$；
3. 无理数：为无限不循环小数，符合要求的有$-π, 2.13133133313···$（相邻的两个1之间依次多一个3）。
【答案】
负有理数:$-\frac{1}{2},-|-6|,-0.\dot{1}\dot{5}$;
整数:$-(-2),200\%,0,-|-6|$;
无理数:$-π,2.13133133313…$(相邻的两个1之间依次多1个3).
【知识点】
实数的分类，有理数的概念，无理数的识别
【点评】
本题是实数分类的基础题型，易错点在于未化简原数就直接分类，或混淆无限循环小数和无限不循环小数的属性，注意3.14是有限小数属于有理数，不要和π的属性混淆。
【难度系数】
0.75
6.设$ m=-\sqrt{20} $，则实数$ m $所在的范围是（
A.$ m＜-5 $
B.$ -5＜m＜-4 $
C.$ -4＜m＜-3 $
D.$ m＞-3 $
B
）A.$ m＜-5 $
B.$ -5＜m＜-4 $
C.$ -4＜m＜-3 $
D.$ m＞-3 $
答案
6.B
解析
【分析】
要确定$ m=-\sqrt{20} $的取值范围，首先用“夹逼法”估算出$ \sqrt{20} $的取值范围，再根据不等式的性质，给不等式三边同时乘-1（注意不等号方向要改变），即可得到$ -\sqrt{20} $的范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步，找与20相邻的两个正完全平方数：
已知$ 16＜20＜25 $，
第二步，对三个数同时开算术平方根，不等号方向不变：
可得$ \sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25} $，即$ 4＜\sqrt{20}＜5 $，
第三步，给不等式三边同时乘-1，不等号方向改变：
可得$ -5＜-\sqrt{20}＜-4 $，
因为$ m=-\sqrt{20} $，所以$ -5＜m＜-4 $。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是基础题，解题关键是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，运算时要注意给不等式乘负数时，不等号方向需要改变，避免符号类错误。
【难度系数】
0.8
要确定$ m=-\sqrt{20} $的取值范围，首先用“夹逼法”估算出$ \sqrt{20} $的取值范围，再根据不等式的性质，给不等式三边同时乘-1（注意不等号方向要改变），即可得到$ -\sqrt{20} $的范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步，找与20相邻的两个正完全平方数：
已知$ 16＜20＜25 $，
第二步，对三个数同时开算术平方根，不等号方向不变：
可得$ \sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25} $，即$ 4＜\sqrt{20}＜5 $，
第三步，给不等式三边同时乘-1，不等号方向改变：
可得$ -5＜-\sqrt{20}＜-4 $，
因为$ m=-\sqrt{20} $，所以$ -5＜m＜-4 $。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是基础题，解题关键是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，运算时要注意给不等式乘负数时，不等号方向需要改变，避免符号类错误。
【难度系数】
0.8
7.如图,直径为2个单位长度的圆从原点O出发,沿数轴向右无滑动地滚动一周滚到了点A处,则点A表示的数是 （
A.$2π$
B.$2$
C.$π$
D.$\frac{π}{2}$
A
）A.$2π$
B.$2$
C.$π$
D.$\frac{π}{2}$
答案
7.A
解析
【分析】
首先明确圆沿数轴无滑动滚动一周时，数轴上起点到终点的距离等于圆的周长。我们先根据已知的圆直径计算出周长，再结合滚动方向为向右、起点为原点的条件，就能推导出点A表示的数。
【解析】
已知圆的直径为2个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径），可得该圆的周长为：
$C=π×2=2π$
因为圆从原点O沿数轴向右无滑动滚动一周到达A点，所以线段OA的长度和圆的周长相等，即$OA=2π$。
数轴上原点右侧的数为正数，因此点A表示的数是$2π$。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的周长计算
2.数轴的应用
3.实数与数轴的对应
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题核心是理解“无滑动滚动一周”的路程等于圆的周长，再结合数轴的性质即可求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确圆沿数轴无滑动滚动一周时，数轴上起点到终点的距离等于圆的周长。我们先根据已知的圆直径计算出周长，再结合滚动方向为向右、起点为原点的条件，就能推导出点A表示的数。
【解析】
已知圆的直径为2个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径），可得该圆的周长为：
$C=π×2=2π$
因为圆从原点O沿数轴向右无滑动滚动一周到达A点，所以线段OA的长度和圆的周长相等，即$OA=2π$。
数轴上原点右侧的数为正数，因此点A表示的数是$2π$。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的周长计算
2.数轴的应用
3.实数与数轴的对应
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题核心是理解“无滑动滚动一周”的路程等于圆的周长，再结合数轴的性质即可求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
8.如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数$\sqrt{21} -5$的点应落在相邻两点
B,O
之间.答案
8.B,O
解析
【分析】
要确定表示$\sqrt{21}-5$的点的位置，首先需要估算出$\sqrt{21}$的取值范围：找到和21相邻的两个完全平方数，就能确定$\sqrt{21}$在哪两个整数之间；再根据不等式的性质，给$\sqrt{21}$的范围三边同时减5，得到$\sqrt{21}-5$的取值范围，最后对照数轴上各点对应的数，即可确定它所在的相邻两点。
【解析】
解：
∵ $16＜21＜25$
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{21}＜5$
给不等式三边同时减去5，可得：
$4-5 ＜ \sqrt{21}-5 ＜ 5-5$
化简得 $-1 ＜ \sqrt{21}-5 ＜ 0$
已知数轴上点B表示-1，点O表示0，因此表示数$\sqrt{21}-5$的点落在B、O两点之间。
【答案】
B,O
【知识点】
无理数大小估算，实数与数轴
【点评】
本题核心考查用“夹逼法”估算无理数的大小，结合数轴确定实数的位置，属于基础题型，熟练掌握无理数估算的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定表示$\sqrt{21}-5$的点的位置，首先需要估算出$\sqrt{21}$的取值范围：找到和21相邻的两个完全平方数，就能确定$\sqrt{21}$在哪两个整数之间；再根据不等式的性质，给$\sqrt{21}$的范围三边同时减5，得到$\sqrt{21}-5$的取值范围，最后对照数轴上各点对应的数，即可确定它所在的相邻两点。
【解析】
解：
∵ $16＜21＜25$
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{21}＜5$
给不等式三边同时减去5，可得：
$4-5 ＜ \sqrt{21}-5 ＜ 5-5$
化简得 $-1 ＜ \sqrt{21}-5 ＜ 0$
已知数轴上点B表示-1，点O表示0，因此表示数$\sqrt{21}-5$的点落在B、O两点之间。
【答案】
B,O
【知识点】
无理数大小估算，实数与数轴
【点评】
本题核心考查用“夹逼法”估算无理数的大小，结合数轴确定实数的位置，属于基础题型，熟练掌握无理数估算的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
