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9.规定$(a)$表示小于$a$的最大整数，如$(3)=2$，$(\sqrt{10})=3$.现将37进行如下操作：$37\xrightarrow{第一次}(\sqrt{37})=6\xrightarrow{第二次}(\sqrt{6})=2\xrightarrow{第三次}(\sqrt{2})=1$.类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为
677
.答案
9.677
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合实数估算的题目，解题优先采用倒推法。首先明确新定义规则：$(a)$表示小于$a$的最大整数，若$(a)=k$，则$k ＜ a ≤ k+1$。每次操作的本质是对当前数取算术平方根后执行该定义运算。我们从第4次操作得到1的结果反向推导，依次求出每一步操作前数的取值范围，最终就能得到满足条件的最小初始正整数。
【解析】
我们从最后一步操作向前倒推：
1. 若某数经过1次操作变为1，设该数为$m_1$，则$(\sqrt{m_1})=1$，根据定义得$1 ＜ \sqrt{m_1} ≤ 2$，平方得$1 ＜ m_1 ≤ 4$，即满足条件的数最小为2；
2. 若某数经过2次操作变为1，第一次操作的结果需是上述可1次操作到1的数，最小取2，设该数为$m_2$，则$(\sqrt{m_2})=2$，得$2 ＜ \sqrt{m_2} ≤ 3$，平方得$4 ＜ m_2 ≤9$，最小为5；
3. 若某数经过3次操作变为1，第一次操作的结果需是上述可2次操作到1的数，最小取5，设该数为$m_3$，则$(\sqrt{m_3})=5$，得$5 ＜ \sqrt{m_3} ≤6$，平方得$25 ＜ m_3 ≤36$，最小为26；
4. 若某数经过4次操作变为1，第一次操作的结果需是上述可3次操作到1的数，最小取26，设该数为$m_4$，则$(\sqrt{m_4})=26$，得$26 ＜ \sqrt{m_4} ≤27$，平方得$26^2 ＜ m_4 ≤27^2$，计算得$676 ＜ m_4 ≤729$，正整数$m_4$最小为677。
【答案】
677
【知识点】
新定义运算，无理数估算，实数运算
【点评】
本题解题核心是准确理解新定义的运算规则，通过倒推法能避免正向枚举的繁琐，同时要注意对无理数范围的准确判断，结合平方运算推导对应整数的取值区间。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义运算结合实数估算的题目，解题优先采用倒推法。首先明确新定义规则：$(a)$表示小于$a$的最大整数，若$(a)=k$，则$k ＜ a ≤ k+1$。每次操作的本质是对当前数取算术平方根后执行该定义运算。我们从第4次操作得到1的结果反向推导，依次求出每一步操作前数的取值范围，最终就能得到满足条件的最小初始正整数。
【解析】
我们从最后一步操作向前倒推：
1. 若某数经过1次操作变为1，设该数为$m_1$，则$(\sqrt{m_1})=1$，根据定义得$1 ＜ \sqrt{m_1} ≤ 2$，平方得$1 ＜ m_1 ≤ 4$，即满足条件的数最小为2；
2. 若某数经过2次操作变为1，第一次操作的结果需是上述可1次操作到1的数，最小取2，设该数为$m_2$，则$(\sqrt{m_2})=2$，得$2 ＜ \sqrt{m_2} ≤ 3$，平方得$4 ＜ m_2 ≤9$，最小为5；
3. 若某数经过3次操作变为1，第一次操作的结果需是上述可2次操作到1的数，最小取5，设该数为$m_3$，则$(\sqrt{m_3})=5$，得$5 ＜ \sqrt{m_3} ≤6$，平方得$25 ＜ m_3 ≤36$，最小为26；
4. 若某数经过4次操作变为1，第一次操作的结果需是上述可3次操作到1的数，最小取26，设该数为$m_4$，则$(\sqrt{m_4})=26$，得$26 ＜ \sqrt{m_4} ≤27$，平方得$26^2 ＜ m_4 ≤27^2$，计算得$676 ＜ m_4 ≤729$，正整数$m_4$最小为677。
【答案】
677
【知识点】
新定义运算，无理数估算，实数运算
【点评】
本题解题核心是准确理解新定义的运算规则，通过倒推法能避免正向枚举的繁琐，同时要注意对无理数范围的准确判断，结合平方运算推导对应整数的取值区间。
【难度系数】
0.6
10. (1)$\sqrt{33}$的整数部分为
(2)已知$\sqrt{10}$的整数部分为$a$，$8-\sqrt{5}$的整数部分为$b$，求$a+b$的立方根。
5
，小数部分为$\sqrt{33}-5$
；(2)已知$\sqrt{10}$的整数部分为$a$，$8-\sqrt{5}$的整数部分为$b$，求$a+b$的立方根。
答案
10.(1)5 $\sqrt{33}-5$
(2)解:$\because9＜10＜16,\therefore3＜\sqrt{10}＜4,\therefore a=3.$
$\because4＜5＜9,\therefore2＜\sqrt{5}＜3.$
$\therefore-3＜-\sqrt{5}＜-2,\therefore5＜8-\sqrt{5}＜6,\therefore b=5.$
$\therefore a+b=3+5=8,\therefore a+b$的立方根为2.
(2)解:$\because9＜10＜16,\therefore3＜\sqrt{10}＜4,\therefore a=3.$
$\because4＜5＜9,\therefore2＜\sqrt{5}＜3.$
$\therefore-3＜-\sqrt{5}＜-2,\therefore5＜8-\sqrt{5}＜6,\therefore b=5.$
$\therefore a+b=3+5=8,\therefore a+b$的立方根为2.
解析
【分析】
解决这类问题的核心是用“夹逼法”估算无理数的取值范围：首先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定无理数介于哪两个相邻整数之间，进而得到它的整数部分；小数部分则等于原无理数减去整数部分。
(1) 要确定$\sqrt{33}$的整数和小数部分，先找与33相邻的两个平方数，得到$\sqrt{33}$的范围即可求解；
(2) 先分别用夹逼法求出$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$的取值范围，再推导得到a、b的值，计算a+b后根据立方根的定义求出结果即可。
【解析】
(1)
∵$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜33＜36$，
∴$5＜\sqrt{33}＜6$，
∴$\sqrt{33}$的整数部分为5，小数部分为$\sqrt{33}-5$。
(2) 解：$\because9＜10＜16,\therefore3＜\sqrt{10}＜4,\therefore\sqrt{10}$的整数部分$a=3$。
$\because4＜5＜9,\therefore2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同乘$-1$得：$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，
不等式两边同时加8得：$5＜8-\sqrt{5}＜6,\therefore8-\sqrt{5}$的整数部分$b=5$。
$\therefore a+b=3+5=8$，
$\because2^3=8$，$\therefore a+b$的立方根为2。
【答案】
(1) $5$；$\sqrt{33}-5$
(2) $2$
【知识点】
无理数的估算；立方根的计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是掌握“夹逼法”估算无理数取值范围的方法，再结合整数部分、小数部分的关系以及立方根的定义运算即可，计算难度较低，易错点是推导含负号的无理数范围时忽略不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心是用“夹逼法”估算无理数的取值范围：首先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定无理数介于哪两个相邻整数之间，进而得到它的整数部分；小数部分则等于原无理数减去整数部分。
(1) 要确定$\sqrt{33}$的整数和小数部分，先找与33相邻的两个平方数，得到$\sqrt{33}$的范围即可求解；
(2) 先分别用夹逼法求出$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$的取值范围，再推导得到a、b的值，计算a+b后根据立方根的定义求出结果即可。
【解析】
(1)
∵$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜33＜36$，
∴$5＜\sqrt{33}＜6$，
∴$\sqrt{33}$的整数部分为5，小数部分为$\sqrt{33}-5$。
(2) 解：$\because9＜10＜16,\therefore3＜\sqrt{10}＜4,\therefore\sqrt{10}$的整数部分$a=3$。
$\because4＜5＜9,\therefore2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同乘$-1$得：$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，
不等式两边同时加8得：$5＜8-\sqrt{5}＜6,\therefore8-\sqrt{5}$的整数部分$b=5$。
$\therefore a+b=3+5=8$，
$\because2^3=8$，$\therefore a+b$的立方根为2。
【答案】
(1) $5$；$\sqrt{33}-5$
(2) $2$
【知识点】
无理数的估算；立方根的计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是掌握“夹逼法”估算无理数取值范围的方法，再结合整数部分、小数部分的关系以及立方根的定义运算即可，计算难度较低，易错点是推导含负号的无理数范围时忽略不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
11.(徐州月考)把下列各数填在相应的横线上：
0，$-3$，$4.2$，$\frac{π}{3}$，$10\%$，$2025$，$-2.030030003···$(相邻的两个3之间依次多一个0)，$-\frac{5}{7}$。
正实数：______；
负实数：______；
有理数：______；
无理数：______。
0，$-3$，$4.2$，$\frac{π}{3}$，$10\%$，$2025$，$-2.030030003···$(相邻的两个3之间依次多一个0)，$-\frac{5}{7}$。
正实数：______；
负实数：______；
有理数：______；
无理数：______。
答案
11.解:正实数:$4.2,\frac{π}{3},10\%,2025$;
负实数:$-3,-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0),$-\frac{5}{7}$;
有理数:$0,-3,4.2,10\%,2025,-\frac{5}{7}$;
无理数:$\frac{π}{3},-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0).
负实数:$-3,-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0),$-\frac{5}{7}$;
有理数:$0,-3,4.2,10\%,2025,-\frac{5}{7}$;
无理数:$\frac{π}{3},-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0).
解析
【分析】
要解决这道实数分类题，首先明确四类数的定义：①正实数：大于0的所有实数；②负实数：小于0的所有实数；③有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数；④无理数：无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、有规律但不循环的无限小数等。解题时逐个分析所给数的属性，注意0既不是正实数也不是负实数，再对应填入对应集合即可。
【解析】
逐个分析所给的8个数：
1. 0：是整数，属于有理数，既不是正实数也不是负实数；
2. $-3$：是负整数，小于0，属于负实数、有理数；
3. $4.2$：是正的有限小数，大于0，属于正实数、有理数；
4. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{3}$也是无理数，且大于0，属于正实数；
5. $10\%$：化为小数是0.1，是正的有限小数，大于0，属于正实数、有理数；
6. $2025$：是正整数，大于0，属于正实数、有理数；
7. $-2.030030003···$(相邻的两个3之间依次多一个0)：是无限不循环小数，属于无理数，且小于0，属于负实数；
8. $-\frac{5}{7}$：是负分数，可化为无限循环小数，小于0，属于负实数、有理数。
按照定义分类填入对应横线即可。
【答案】
正实数:$4.2,\frac{π}{3},10\%,2025$;
负实数:$-3,-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0),$-\frac{5}{7}$;
有理数:$0,-3,4.2,10\%,2025,-\frac{5}{7}$;
无理数:$\frac{π}{3},-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0).
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是准确区分有理数和无理数的概念，牢记0的特殊性，熟悉常见的无理数类型即可正确解答，注意分类时不要漏数或重复归类。
【难度系数】
0.8
要解决这道实数分类题，首先明确四类数的定义：①正实数：大于0的所有实数；②负实数：小于0的所有实数；③有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数；④无理数：无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、有规律但不循环的无限小数等。解题时逐个分析所给数的属性，注意0既不是正实数也不是负实数，再对应填入对应集合即可。
【解析】
逐个分析所给的8个数：
1. 0：是整数，属于有理数，既不是正实数也不是负实数；
2. $-3$：是负整数，小于0，属于负实数、有理数；
3. $4.2$：是正的有限小数，大于0，属于正实数、有理数；
4. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{3}$也是无理数，且大于0，属于正实数；
5. $10\%$：化为小数是0.1，是正的有限小数，大于0，属于正实数、有理数；
6. $2025$：是正整数，大于0，属于正实数、有理数；
7. $-2.030030003···$(相邻的两个3之间依次多一个0)：是无限不循环小数，属于无理数，且小于0，属于负实数；
8. $-\frac{5}{7}$：是负分数，可化为无限循环小数，小于0，属于负实数、有理数。
按照定义分类填入对应横线即可。
【答案】
正实数:$4.2,\frac{π}{3},10\%,2025$;
负实数:$-3,-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0),$-\frac{5}{7}$;
有理数:$0,-3,4.2,10\%,2025,-\frac{5}{7}$;
无理数:$\frac{π}{3},-2.030030003…$(相邻的两个3之间依次多1个0).
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是准确区分有理数和无理数的概念，牢记0的特殊性，熟悉常见的无理数类型即可正确解答，注意分类时不要漏数或重复归类。
【难度系数】
0.8
12.(惠山区期中)如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B,点A表示$-\sqrt{2}$,设点B所表示的数为m.
(1)求m的值;
(2)求$|m-1|+m+6$的值.
(1)求m的值;
(2)求$|m-1|+m+6$的值.
答案
12.解:(1)由题意点A和点B的距离为2,点A表示的数为$-\sqrt{2}$,因此点B所表示的数$m=2-\sqrt{2}$.
(2)原式$=|2-\sqrt{2}-1|+2-\sqrt{2}+6=|1-\sqrt{2}|+8-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1+8-\sqrt{2}=7.$
(2)原式$=|2-\sqrt{2}-1|+2-\sqrt{2}+6=|1-\sqrt{2}|+8-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1+8-\sqrt{2}=7.$
解析
【分析】
(1) 数轴上的点向右平移时，对应表示的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，向右平移2个单位到B，因此只需用$-\sqrt{2}$加2即可求出m的值。
(2) 先将(1)中求出的m代入待求式子，再判断绝对值内代数式的正负性：$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，因此$1-\sqrt{2}$是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，最后合并同类项计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，点B是点A向右平移2个单位得到的，数轴上点右移对应数值加平移单位，因此：
$m = -\sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}$
(2) 将$m=2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+m+6$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|2-\sqrt{2}-1| + 2-\sqrt{2} +6\\&=|1-\sqrt{2}| +8-\sqrt{2}\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，即$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{2}-1 +8-\sqrt{2}\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2-\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，实数运算
【点评】
本题结合数轴考查实数的基础运算，解题核心是掌握数轴上点平移的规律和绝对值的化简规则，运算过程中注意符号的处理，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 数轴上的点向右平移时，对应表示的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，向右平移2个单位到B，因此只需用$-\sqrt{2}$加2即可求出m的值。
(2) 先将(1)中求出的m代入待求式子，再判断绝对值内代数式的正负性：$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，因此$1-\sqrt{2}$是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，最后合并同类项计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，点B是点A向右平移2个单位得到的，数轴上点右移对应数值加平移单位，因此：
$m = -\sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}$
(2) 将$m=2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+m+6$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|2-\sqrt{2}-1| + 2-\sqrt{2} +6\\&=|1-\sqrt{2}| +8-\sqrt{2}\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，即$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{2}-1 +8-\sqrt{2}\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2-\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，实数运算
【点评】
本题结合数轴考查实数的基础运算，解题核心是掌握数轴上点平移的规律和绝对值的化简规则，运算过程中注意符号的处理，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13.(常州期末)如图,过数轴上表示1的点作数轴的垂线$l_1$,过数轴上表示2的点作数轴的垂线$l_2$,过数轴上表示3的点作数轴的垂线$l_3$,….已知点$A_0$表示的数为$-1$,将点$A_0$沿直线$l_1$翻折得到点$A_1$,将点$A_1$沿直线$l_2$翻折得到点$A_2$,将点$A_2$沿直线$l_3$翻折得到点$A_3$,…,则点$A_{2025}$表示的数为
2027
. 答案
13.2027
解析
【分析】
解决本题首先要明确翻折的性质：数轴上的点沿垂直于数轴的直线$x=k$翻折后，得到的对应点与原点点关于$x=k$对称，即两点所表示的数的平均数为$k$，因此对称点表示的数为$2k$减去原点点表示的数。由于翻折次数2025数值较大，我们可以先计算前几次翻折后点表示的数，总结规律后再计算$A_{2025}$对应的数值。
【解析】
根据翻折对称的性质，若点表示的数为$a$，沿直线$x=k$翻折后得到的点表示的数为$2k - a$。
已知$A_0$表示的数为$-1$：
沿$l_1$（$x=1$）翻折得$A_1$：$A_1 = 2×1 - (-1) = 3$
沿$l_2$（$x=2$）翻折得$A_2$：$A_2 = 2×2 - 3 = 1$
沿$l_3$（$x=3$）翻折得$A_3$：$A_3 = 2×3 - 1 = 5$
沿$l_4$（$x=4$）翻折得$A_4$：$A_4 = 2×4 - 5 = 3$
观察规律可得：每2次翻折后，点表示的数增加2。
2025次翻折可拆分为2024次（共1012组2次翻折）+ 1次翻折：
先计算$A_{2024}$：$A_{2024} = -1 + 1012×2 = 2023$
再将$A_{2024}$沿$l_{2025}$（$x=2025$）翻折得$A_{2025}$：
$A_{2025} = 2×2025 - 2023 = 4050 - 2023 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
数轴对称性质、翻折的性质、规律探究
【点评】
本题将翻折变换和数轴结合，核心是利用对称性质得到翻折后点的计算方法，通过归纳小次数翻折的结果得到通用规律，即可快速求解大次数的翻折结果，考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确翻折的性质：数轴上的点沿垂直于数轴的直线$x=k$翻折后，得到的对应点与原点点关于$x=k$对称，即两点所表示的数的平均数为$k$，因此对称点表示的数为$2k$减去原点点表示的数。由于翻折次数2025数值较大，我们可以先计算前几次翻折后点表示的数，总结规律后再计算$A_{2025}$对应的数值。
【解析】
根据翻折对称的性质，若点表示的数为$a$，沿直线$x=k$翻折后得到的点表示的数为$2k - a$。
已知$A_0$表示的数为$-1$：
沿$l_1$（$x=1$）翻折得$A_1$：$A_1 = 2×1 - (-1) = 3$
沿$l_2$（$x=2$）翻折得$A_2$：$A_2 = 2×2 - 3 = 1$
沿$l_3$（$x=3$）翻折得$A_3$：$A_3 = 2×3 - 1 = 5$
沿$l_4$（$x=4$）翻折得$A_4$：$A_4 = 2×4 - 5 = 3$
观察规律可得：每2次翻折后，点表示的数增加2。
2025次翻折可拆分为2024次（共1012组2次翻折）+ 1次翻折：
先计算$A_{2024}$：$A_{2024} = -1 + 1012×2 = 2023$
再将$A_{2024}$沿$l_{2025}$（$x=2025$）翻折得$A_{2025}$：
$A_{2025} = 2×2025 - 2023 = 4050 - 2023 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
数轴对称性质、翻折的性质、规律探究
【点评】
本题将翻折变换和数轴结合，核心是利用对称性质得到翻折后点的计算方法，通过归纳小次数翻折的结果得到通用规律，即可快速求解大次数的翻折结果，考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
