11.(常熟期中)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动(点D不与点A，B重合)，连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E.若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是。

11. 60°或105°

【分析】
首先根据等腰△ABC的已知边长和角度条件，先算出底角∠A、∠B的度数；已知△CDE是等腰三角形，但未明确腰和底，因此需要分CD=CE、CD=DE、CE=DE三种情况分类讨论，每种情况利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理计算相关角的度数，再结合平角的定义求出∠ADC的度数，最后根据“点D不与A、B重合”的限制条件排除不符合题意的情况即可。
【解析】
解：
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=(180°-∠ACB)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
△CDE是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当CD=CE时，∠CDE=∠CED=30°，
∴∠DCE=180°-30°-30°=120°，
此时∠DCE=∠ACB，点D与点A重合，不符合“点D不与A、B重合”的条件，舍去；
② 当CD=DE时，∠DCE=∠DEC，
∵∠CDE=30°，
∴∠DCE=(180°-∠CDE)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
在△BCD中，∠CDB=180°-∠B-∠DCE=180°-30°-75°=75°，
∴∠ADC=180°-∠CDB=180°-75°=105°；
③ 当CE=DE时，∠DCE=∠CDE=30°，
在△BCD中，∠CDB=180°-∠B-∠DCE=180°-30°-30°=120°，
∴∠ADC=180°-∠CDB=180°-120°=60°；
综上，∠ADC的度数为60°或105°。
【答案】
60°或105°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型分类讨论题，解题的核心是明确等腰三角形未指明腰和底时需分情况讨论，同时要注意结合题目的限制条件验证结果的合理性，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6

12.(江西模拟)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点,点E在AB上,∠AED=70°.若P是等腰三角形ABC的腰上的一点,则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时,∠EDP的度数是.

12. 40°或100°或140°

【分析】
先根据等腰三角形ABC的已知条件求出各内角度数，结合D是BC中点的性质算出∠EDB的基础角度；由△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形可知DE=DP，接下来对点P的位置分类讨论：P在腰AB上、P在腰AC上（含两种不同位置），分别结合三角形内角和、等腰三角形性质计算对应∠EDP的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，∠BAC=180°-2×50°=80°，
∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠BAD=∠CAD=40°，
∵∠AED=70°，
∴∠BED=180°-∠AED=110°，
在△BED中，∠EDB=180°-∠B-∠BED=180°-50°-110°=20°，
∵△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
∴DE=DP，分三类讨论：
1. 当点P在腰AB上时：
∵DE=DP，
∴∠DEP=∠DPE=∠AED=70°，
∴∠EDP=180°-70°×2=40°；
2. 当点P在腰AC上，∠DPC=70°时：
在△DPC中，∠PDC=180°-∠C-∠DPC=180°-50°-70°=60°，
∴∠EDP=180°-∠EDB-∠PDC=180°-20°-60°=100°；
3. 当点P在腰AC上，∠DPC=110°时：
在△DPC中，∠PDC=180°-∠C-∠DPC=180°-50°-110°=20°，
∴∠EDP=180°-∠EDB-∠PDC=180°-20°-20°=140°。
【答案】
40°或100°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质；分类讨论思想；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形相关的角度计算，解题关键是明确以∠EDP为顶角的等腰三角形的边的关系，同时要全面考虑点P在腰上的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.4

13.(1)如图①，P是∠AOB的平分线上一点，试过点P画一条直线，交∠AOB的两边于点C，D，使△OCD是等腰三角形，且CD是底边；
(2)若点P不在角平分线上，如图②，如何过点P画直线与角的两边相交组成等腰三角形？
(3)问题(2)中能画出几个满足条件的等腰三角形？

13.解:(1)如答图①,直线CD为OP的垂线且垂足为P,则△OCD是等腰三角形.理由如下：
∵OP为∠AOB的平分线,
∴∠AOP=∠BOP.
又
∵OP=OP,∠CPO=∠DPO=90°,
∴△COP≌△DOP(ASA),
∴OC=OD,
∴△OCD是等腰三角形.
(2)如答图②,作∠AOB的平分线OC,过点P作PD⊥OC于点D,交OA,OB于点M,N,则△OMN为等腰三角形.理由如下：
∵OD为∠AOB的平分线,
∴∠AOD=∠BOD.
∵OD=OD,∠MDO=∠NDO=90°,
∴△MOD≌△NOD(ASA),
∴OM=ON,
∴△OMN是等腰三角形.
(3)①过点P作∠AOB的平分线的垂线,交OA,OB于点M,N,则△OMN是等腰三角形,如答图②.
②过点P作OA的垂线,交OA,OB于点E,F,在EA上取点G,使EG=OE,连接FG,过点P作FG的平行线,交OA,OB于点M,N,则△OMN是等腰三角形,如答图③.
③过点P作OB的垂线,交OA,OB于点E,F,在FB上取点G,使FG=OF,连接EG,过点P作EG的平行线,交OA,OB于点M,N,则△OMN是等腰三角形,如答图④.
所以有三个满足条件的等腰三角形.

【分析】
(1) 要使△OCD是以CD为底边的等腰三角形，需满足OC=OD。已知P在∠AOB的平分线上，可利用角平分线的对称性，过P作OP的垂线交OA、OB于C、D，通过证明三角形全等得到OC=OD，符合要求。
(2) 当P不在角平分线上时，若要得到以O为顶点的等腰三角形，可先作出∠AOB的角平分线，再通过P作角平分线的垂线，利用全等证明截得的两边相等，即可得到等腰三角形。
(3) 构造等腰三角形需分类讨论顶角的顶点位置：顶点为O、顶点在OA边上、顶点在OB边上，三类情况分别对应1种构造方法，据此可得出符合条件的等腰三角形的总个数。
【解析】
(1) 作法：过点P作直线CD⊥OP，垂足为P，CD分别与OA交于点C、与OB交于点D。
证明：
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
又
∵OP=OP，∠CPO=∠DPO=90°，
∴△COP≌△DOP（ASA），
∴OC=OD，即△OCD是以CD为底边的等腰三角形。
(2) 作法：①作∠AOB的角平分线OC；②过点P作PD⊥OC，垂足为D，延长PD分别交OA于点M、交OB于点N。
证明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD，
又
∵OD=OD，∠MDO=∠NDO=90°，
∴△MOD≌△NOD（ASA），
∴OM=ON，即△OMN是等腰三角形。
(3) 共可分三类构造：
① 以O为等腰三角形的顶角顶点：即OM=ON，对应(2)的作法，可画出1个；
② 以OA边上的点为等腰三角形的顶角顶点：即OM=MN。过点P作OA的垂线交OA、OB于E、F，在EA上取点G使EG=OE，连接FG，过P作FG的平行线交OA、OB于M、N，可得△OMN为等腰三角形；
③ 以OB边上的点为等腰三角形的顶角顶点：即ON=MN。过点P作OB的垂线交OA、OB于E、F，在FB上取点G使FG=OF，连接EG，过P作EG的平行线交OA、OB于M、N，可得△OMN为等腰三角形。
综上共能画出3个满足条件的等腰三角形。
【答案】
(1) 如答图①，过点P作OP的垂线，交OA、OB于C、D，△OCD即为所求；
(2) 如答图②，作∠AOB的平分线OC，过P作OC的垂线，交OA、OB于M、N，△OMN即为所求；
(3) 3个。

【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的构造，结合了角平分线、全等三角形的相关知识，解题的核心是运用分类讨论思想，明确等腰三角形顶角顶点的三类可能位置，避免出现漏解，对作图能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

14.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△A₁B₁C，连接BB₁，设CB₁交AB于点D，A₁B₁分别交AB，AC于点E，F.
(1)求证：△CBD≌△CA₁F；
(2)试用含α的代数式表示∠B₁BD；
(3)当α等于多少度时，△BB₁D是等腰三角形？

14.(1)证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A₁B₁C,
∴∠A₁=∠A,A₁C=AC=BC,∠ACA₁=∠BCB₁=α,
∴∠A₁=∠CBD.
在△CBD和△CA₁F中,
$\begin{cases}∠CBD=∠CA_1F, \\CB=CA_1, \\∠BCD=∠A_1CF,\end{cases}$
∴△CBD≌△CA₁F(ASA).
(2)解:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
由旋转的性质得BC=B₁C,
则∠CB₁B=∠CBB₁,
∴∠CB₁B=∠CBB₁=$\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$,
∴∠B₁BD=∠CBB₁−∠CBA=90°−$\frac{α}{2}$−45°=45°−$\frac{α}{2}$.
(3)解:在△CBB₁中,
∵CB=CB₁,
∴∠CBB₁=∠CB₁B=$\frac{1}{2}(180°-α)$.
又
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
①若B₁B=B₁D,则∠B₁DB=∠B₁BD.
∵∠B₁DB=45°+α,∠B₁BD=45°−$\frac{α}{2}$,
∴45°+α=45°−$\frac{α}{2}$,
∴α=0°(舍去);
②
∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD,
∴BD≠B₁D;
③若BB₁=BD,则∠BDB₁=∠BB₁D,
即45°+α=$\frac{1}{2}(180°-α)$,
∴α=30°.
综上可知,当△BB₁D为等腰三角形时,α=30°.

【分析】
(1) 证明三角形全等需先找对应相等的边和角：先根据等腰直角三角形性质得∠A=∠ABC，再结合旋转的性质可得A₁C=BC，∠A₁=∠CBD，旋转角∠BCD=∠A₁CF=α，满足ASA的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
(2) 求∠B₁BD的度数：先由旋转性质得CB=CB₁，可知△CBB₁为等腰三角形，根据三角形内角和算出∠CBB₁的度数，再减去原等腰直角三角形的底角∠ABC=45°，即可得到含α的表达式。
(3) 等腰三角形需分类讨论三边的等量关系：分①B₁B=B₁D、②BD=B₁D、③BB₁=BD三种情况，根据等腰三角形等边对等角的性质列方程求解，再结合0°＜α＜90°的范围排除不符合的解，得到最终α的值。
【解析】
(1) 证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A₁B₁C,
∴∠A₁=∠A,A₁C=AC=BC,∠ACA₁=∠BCB₁=α,
∴∠A₁=∠CBD.
在△CBD和△CA₁F中,
$\begin{cases}∠CBD=∠CA_1F, \\CB=CA_1, \\∠BCD=∠A_1CF,\end{cases}$
∴△CBD≌△CA₁F(ASA).
(2) 解:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
由旋转的性质得BC=B₁C,
则∠CB₁B=∠CBB₁,
∴∠CB₁B=∠CBB₁=$\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$,
∴∠B₁BD=∠CBB₁−∠CBA=90°−$\frac{α}{2}$−45°=45°−$\frac{α}{2}$.
(3) 解:在△CBB₁中,
∵CB=CB₁,
∴∠CBB₁=∠CB₁B=$\frac{1}{2}(180°-α)$.
又
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
①若B₁B=B₁D,则∠B₁DB=∠B₁BD.
∵∠B₁DB=45°+α,∠B₁BD=45°−$\frac{α}{2}$,
∴45°+α=45°−$\frac{α}{2}$,
解得α=0°(舍去);
②
∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD,
∴BD≠B₁D;
③若BB₁=BD,则∠BDB₁=∠BB₁D,
即45°+α=$\frac{1}{2}(180°-α)$,
解得α=30°.
综上可知,当△BB₁D为等腰三角形时,α=30°.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠B₁BD=45°-\dfrac{α}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{α=30°}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合类题型，综合考查了旋转的性质、全等三角形的证明、等腰三角形的性质及分类讨论思想，第三问解题时要注意结合α的取值范围排除不符合题意的解，避免出现增解。
【难度系数】
0.6