1 [2025凉山改编]下列说法正确的是 （）

A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦

1. D

2 [2025 泗阳期中]如图，OA 是$\odot O$的半径，AB 是$\odot O$的弦，$OC ⊥ AB$于点 C. 若 $OA=5$，$AB=8$，则 OC 的长为 （）

A.2
B.3
C.4
D.5
（第2题）
（第3题）
单位:mm（第4题）

2. B

在$\odot O$中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则$∠ AOC$的度数为

3. $45°$

4 [2025南京]一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸如图所示，这枚古钱币的半径为 m.

4. 0.013

5 如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD ⊥ AO$于点$E$，连接$BC$，过点$O$作$OF ⊥ BC$于点$F$。若$BD=8\ \mathrm{cm}$，$AE=2\ \mathrm{cm}$，求$\odot O$的半径及$OF$的长。

5. 连接OB. $\because AC$ 是$\odot O$的直径,弦 $BD ⊥ AO$ 于点 $E,BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$. 设$\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$, 则 $OB=OA=x\ \mathrm{cm}$,
$OE=(x-2)\mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+BE^2=OB^2$,
即$(x-2)^2+4^2=x^2$, 解得 $x=5$. $\therefore \odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}$, $\therefore EC=2× 5-2=8(\mathrm{cm})$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$. $\because OF ⊥ BC,OF$ 过圆心, $\therefore CF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OFC$ 中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$

6 如图，$\odot O$是锐角三角形ABC的外接圆，$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD。若$DE+DF=6.5$，$△ ABC$的周长为21，则EF的长为（）

A.8
B.4
C.3.5
D.3

6. B

7 分类讨论思想 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB=8\ \mathrm{cm}$，且$AB⊥ CD$，垂足为$M$，则$AC$的长为（）

A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

7. C