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1 [2025青海]甲、乙两车从A地出发前往B地,在整个行程中,汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示,下列结论错误的是 (
A.乙车先到达B地
B.A,B两地相距300 km
C.甲车的平均速度为100 km/h
D.在8:30时,乙车追上甲车
（第1题） （第2题） （第3题）
C
)A.乙车先到达B地
B.A,B两地相距300 km
C.甲车的平均速度为100 km/h
D.在8:30时,乙车追上甲车
（第1题） （第2题） （第3题）
答案
1. C
解析
【分析】
这是一次函数图象的行程类问题，解题首先要明确横纵坐标的含义：横坐标为行驶时刻t，纵坐标为汽车离开A地的路程y。我们可以先从图象中提取甲、乙两车的出发时间、到达时间、总路程这些核心信息，再结合路程、速度、时间的关系逐一验证每个选项：1. 比较两车到达时间判断选项A；2. 观察纵坐标最大值判断选项B；3. 用“总路程÷总行驶时长”计算甲车平均速度判断选项C；4. 图象交点代表两车行驶路程相等，对应时刻就是乙追上甲的时刻，以此判断选项D。
【解析】
首先提取图象信息：
甲车6:00出发，11:00到达B地，行驶总路程为300km，总行驶时长为$11-6=5\mathrm{h}$；
乙车7:00出发，10:00到达B地，行驶总路程为300km，总行驶时长为$10-7=3\mathrm{h}$。
逐一分析选项：
A. 乙车10:00到达B地，甲车11:00到达，乙车先到达，结论正确，不符合题意；
B. 图象纵坐标最大值为300km，即A、B两地相距300km，结论正确，不符合题意；
C. 甲车平均速度为$\frac{300\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=60\mathrm{km/h}$，不是100km/h，结论错误，符合题意；
D. 8:30时两个函数图象相交，说明此时两车行驶路程相等，即乙车追上甲车，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用，行程问题计算，函数图象信息读取
【点评】
本题核心是读懂行程类一次函数图象中特殊点（起点、终点、交点）的实际含义，结合行程基本公式计算即可判断结论，是函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一次函数图象的行程类问题，解题首先要明确横纵坐标的含义：横坐标为行驶时刻t，纵坐标为汽车离开A地的路程y。我们可以先从图象中提取甲、乙两车的出发时间、到达时间、总路程这些核心信息，再结合路程、速度、时间的关系逐一验证每个选项：1. 比较两车到达时间判断选项A；2. 观察纵坐标最大值判断选项B；3. 用“总路程÷总行驶时长”计算甲车平均速度判断选项C；4. 图象交点代表两车行驶路程相等，对应时刻就是乙追上甲的时刻，以此判断选项D。
【解析】
首先提取图象信息：
甲车6:00出发，11:00到达B地，行驶总路程为300km，总行驶时长为$11-6=5\mathrm{h}$；
乙车7:00出发，10:00到达B地，行驶总路程为300km，总行驶时长为$10-7=3\mathrm{h}$。
逐一分析选项：
A. 乙车10:00到达B地，甲车11:00到达，乙车先到达，结论正确，不符合题意；
B. 图象纵坐标最大值为300km，即A、B两地相距300km，结论正确，不符合题意；
C. 甲车平均速度为$\frac{300\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=60\mathrm{km/h}$，不是100km/h，结论错误，符合题意；
D. 8:30时两个函数图象相交，说明此时两车行驶路程相等，即乙车追上甲车，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用，行程问题计算，函数图象信息读取
【点评】
本题核心是读懂行程类一次函数图象中特殊点（起点、终点、交点）的实际含义，结合行程基本公式计算即可判断结论，是函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
2[2024哈尔滨]一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，当x=9时，y=
38
.答案
2. 38
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先观察分段函数图像，明确0~5min只进水不出水，x=5时容器内水量为30L；5~15min既进水又出水，该段水量随时间呈一次函数变化，我们可以通过待定系数法求出该段的函数解析式，再将x=9代入解析式即可求得对应的y值；也可先计算两段的水量变化速率，再推算x=9时的水量，两种方法均符合学段要求。
【解析】
方法1：利用一次函数解析式求解
设当$5\le x\le15$时，水量$y$与时间$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k\ne0$）。
将图像上的两点$(5,30)$、$(15,50)$代入关系式得：
$\begin{cases}5k+b=30 \\15k+b=50 \end{cases}$
用第二个式子减去第一个式子可得$10k=20$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$5k+b=30$，得$10+b=30$，解得$b=20$。
因此$5\le x\le15$时，函数关系式为$y=2x+20$。
当$x=9$时，$y=2×9+20=38$。
方法2：利用变化速率计算
①0~5min只进水，每分钟进水量为$30÷5=6\ \mathrm{L}$；
②5~15min共10分钟，水量共增加$50-30=20\ \mathrm{L}$，因此该阶段每分钟净增加水量为$20÷10=2\ \mathrm{L}$；
③$x=9$时，距离$x=5$过去了$9-5=4\ \mathrm{min}$，因此水量为$30+2×4=38\ \mathrm{L}$。
【答案】
38
【知识点】
一次函数图像应用，待定系数法，函数信息提取
【点评】
本题结合实际生活中的进出水场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂分段函数的图像含义，找准对应阶段的已知条件，通过求解析式或计算变化速率均可得出结果，侧重考查读图能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先观察分段函数图像，明确0~5min只进水不出水，x=5时容器内水量为30L；5~15min既进水又出水，该段水量随时间呈一次函数变化，我们可以通过待定系数法求出该段的函数解析式，再将x=9代入解析式即可求得对应的y值；也可先计算两段的水量变化速率，再推算x=9时的水量，两种方法均符合学段要求。
【解析】
方法1：利用一次函数解析式求解
设当$5\le x\le15$时，水量$y$与时间$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k\ne0$）。
将图像上的两点$(5,30)$、$(15,50)$代入关系式得：
$\begin{cases}5k+b=30 \\15k+b=50 \end{cases}$
用第二个式子减去第一个式子可得$10k=20$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$5k+b=30$，得$10+b=30$，解得$b=20$。
因此$5\le x\le15$时，函数关系式为$y=2x+20$。
当$x=9$时，$y=2×9+20=38$。
方法2：利用变化速率计算
①0~5min只进水，每分钟进水量为$30÷5=6\ \mathrm{L}$；
②5~15min共10分钟，水量共增加$50-30=20\ \mathrm{L}$，因此该阶段每分钟净增加水量为$20÷10=2\ \mathrm{L}$；
③$x=9$时，距离$x=5$过去了$9-5=4\ \mathrm{min}$，因此水量为$30+2×4=38\ \mathrm{L}$。
【答案】
38
【知识点】
一次函数图像应用，待定系数法，函数信息提取
【点评】
本题结合实际生活中的进出水场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂分段函数的图像含义，找准对应阶段的已知条件，通过求解析式或计算变化速率均可得出结果，侧重考查读图能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
3 甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率。从工作开始到加工完这批零件，两台机器恰好同时工作了6小时。甲、乙两台机器各自加工的零件数量y(个)与加工时间x(小时)之间的函数图象分别为折线OAB与折线OCD(如图)。请回答下列问题：
（1）甲机器改变工作效率前每小时加工
（2）乙机器改变工作效率后y与x之间的函数表达式为
（3）这批零件总共有
（1）甲机器改变工作效率前每小时加工
20
个零件；（2）乙机器改变工作效率后y与x之间的函数表达式为
y=10x+60
；（3）这批零件总共有
260
个。答案
3. (1) 20 (2) y=10x+60 (3) 260
解析
【分析】
（1）甲机器改变工作效率前对应图象的OA段，0到4小时共加工80个零件，根据工作效率=工作总量÷工作时间即可计算；
（2）乙机器改变工作效率后对应图象的CD段，已知线段过点C(2,80)和(5,110)，采用待定系数法，设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标求解参数即可得到解析式；
（3）零件总个数为甲乙两台机器工作6小时的加工量之和。先通过待定系数法求出甲AB段的函数解析式，代入x=6得到甲的总加工量，再将x=6代入乙CD段的解析式得到乙的总加工量，两者相加即为总零件数。
【解析】
（1）甲改变效率前4小时加工80个零件，每小时加工量为：$80÷4=20$（个）；
（2）设乙改变效率后y与x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(2,80)$、$(5,110)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = 80 \\5k + b = 110\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=30$，解得$k=10$，
将$k=10$代入$2k + b =80$得：$20 + b =80$，解得$b=60$，
故函数表达式为$y=10x+60\ (2≤ x≤6)$；
（3）设甲改变效率后AB段的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$(4,80)$、$(5,110)$代入得：
$\begin{cases}4m + n = 80 \\5m + n = 110\end{cases}$
解得$m=30$，$n=-40$，即AB段解析式为$y=30x-40$，
当$x=6$时，甲的加工量：$y_甲=30×6 -40=140$（个），
乙的加工量：$y_乙=10×6 +60=120$（个），
总零件数：$140+120=260$（个）。
【答案】
(1) 20；(2) $y=10x+60$；(3) 260
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，工程问题计算
【点评】
本题结合一次函数图象考查工程类实际问题，解题核心是准确提取图象中的坐标信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，再代入对应时间求值即可解决问题，注重对图象读取能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）甲机器改变工作效率前对应图象的OA段，0到4小时共加工80个零件，根据工作效率=工作总量÷工作时间即可计算；
（2）乙机器改变工作效率后对应图象的CD段，已知线段过点C(2,80)和(5,110)，采用待定系数法，设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标求解参数即可得到解析式；
（3）零件总个数为甲乙两台机器工作6小时的加工量之和。先通过待定系数法求出甲AB段的函数解析式，代入x=6得到甲的总加工量，再将x=6代入乙CD段的解析式得到乙的总加工量，两者相加即为总零件数。
【解析】
（1）甲改变效率前4小时加工80个零件，每小时加工量为：$80÷4=20$（个）；
（2）设乙改变效率后y与x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(2,80)$、$(5,110)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = 80 \\5k + b = 110\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=30$，解得$k=10$，
将$k=10$代入$2k + b =80$得：$20 + b =80$，解得$b=60$，
故函数表达式为$y=10x+60\ (2≤ x≤6)$；
（3）设甲改变效率后AB段的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$(4,80)$、$(5,110)$代入得：
$\begin{cases}4m + n = 80 \\5m + n = 110\end{cases}$
解得$m=30$，$n=-40$，即AB段解析式为$y=30x-40$，
当$x=6$时，甲的加工量：$y_甲=30×6 -40=140$（个），
乙的加工量：$y_乙=10×6 +60=120$（个），
总零件数：$140+120=260$（个）。
【答案】
(1) 20；(2) $y=10x+60$；(3) 260
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，工程问题计算
【点评】
本题结合一次函数图象考查工程类实际问题，解题核心是准确提取图象中的坐标信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，再代入对应时间求值即可解决问题，注重对图象读取能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
4 [2025 甘孜]某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度$y$(微克/毫升)与服药后经过的时间$x$(小时)之间满足如图所示的函数关系($0 ≤ x ≤ 11$).服药后3小时,测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升;服药后11小时,测得血液中药物浓度为1微克/毫升.
（1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）根据测试,成人服药后,血液中药物浓度不低于3微克/毫升时,才能对人体产生抗菌作用,试求成人服药后,药物对人体产生抗菌作用的有效时长.
（1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）根据测试,成人服药后,血液中药物浓度不低于3微克/毫升时,才能对人体产生抗菌作用,试求成人服药后,药物对人体产生抗菌作用的有效时长.
答案
4. (1) 当0≤x≤3时,设y与x之间的函数表达式为y=kx.将(3,9)代入,得9=3k,
∴ k=3,
∴ 在血液中药物浓度上升阶段时,y与x之间的函数表达式为y=3x;当3＜x≤11时,设y与x之间的函数表达式为y=ax+b.将(3,9),(11,1)代入,得
$\begin{cases}3a+b=9,\\11a+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=12.\end{cases}$
∴ 在血液中药物浓度下降阶段时,y与x之间的函数表达式为y=-x+12
(2) 在y=3x中,令y≥3,得x≥1;在y=-x+12中,令y≥3,则x≤9.
∴ 当1≤x≤9时,药物对人体产生抗菌作用,有效时长为9-1=8(小时)
∴ k=3,
∴ 在血液中药物浓度上升阶段时,y与x之间的函数表达式为y=3x;当3＜x≤11时,设y与x之间的函数表达式为y=ax+b.将(3,9),(11,1)代入,得
$\begin{cases}3a+b=9,\\11a+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=12.\end{cases}$
∴ 在血液中药物浓度下降阶段时,y与x之间的函数表达式为y=-x+12
(2) 在y=3x中,令y≥3,得x≥1;在y=-x+12中,令y≥3,则x≤9.
∴ 当1≤x≤9时,药物对人体产生抗菌作用,有效时长为9-1=8(小时)
解析
【分析】
本题考查分段一次函数的实际应用，解题思路如下：（1）观察图像可知，药物浓度上升阶段（$0\le x\le3$）的函数图像过原点，属于正比例函数，可设解析式为$y=kx$，代入已知点$(3,9)$即可求出$k$，得到上升阶段的函数表达式；下降阶段（$3＜x\le11$）是普通一次函数，设解析式为$y=ax+b$，代入已知的两个点$(3,9)$和$(11,1)$，解二元一次方程组即可求出$a、b$的值，得到下降阶段的函数表达式。（2）药物浓度不低于3微克/毫升即$y\ge3$，分别将$y=3$代入两个阶段的函数表达式，求出对应的$x$的取值范围，两个端点的差值就是有效抗菌时长。
【解析】
（1）分两段求函数表达式：
① 上升阶段：当$0 \le x \le 3$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx\ (k\ne0)$。
将点$(3,9)$代入表达式，得$9 = 3k$，解得$k=3$。
因此上升阶段函数表达式为$y=3x\ (0 \le x \le 3)$。
② 下降阶段：当$3 ＜ x \le 11$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b\ (a\ne0)$。
将点$(3,9)$、$(11,1)$分别代入表达式，得方程组：
$\begin{cases} 3a + b = 9 \\ 11a + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$8a = -8$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$3a + b =9$，得$-3 + b =9$，解得$b=12$。
因此下降阶段函数表达式为$y=-x+12\ (3 ＜ x \le 11)$。
（2）求抗菌有效时长：
药物浓度不低于3微克/毫升即$y \ge 3$。
① 在上升阶段$y=3x$中，令$y \ge 3$，得$3x \ge 3$，解得$x \ge 1$；
② 在下降阶段$y=-x+12$中，令$y \ge 3$，得$-x + 12 \ge 3$，解得$x \le 9$。
综上，当$1 \le x \le 9$时药物有抗菌作用，有效时长为$9 - 1 = 8$（小时）。
【答案】
(1) 上升阶段：$y=3x\ (0\le x\le3)$；下降阶段：$y=-x+12\ (3＜x\le11)$
(2) 8小时
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与不等式
【点评】
本题结合药物浓度的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是准确识别分段函数的两段类型，熟练运用待定系数法求解解析式，再结合不等式求解符合条件的自变量范围，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题考查分段一次函数的实际应用，解题思路如下：（1）观察图像可知，药物浓度上升阶段（$0\le x\le3$）的函数图像过原点，属于正比例函数，可设解析式为$y=kx$，代入已知点$(3,9)$即可求出$k$，得到上升阶段的函数表达式；下降阶段（$3＜x\le11$）是普通一次函数，设解析式为$y=ax+b$，代入已知的两个点$(3,9)$和$(11,1)$，解二元一次方程组即可求出$a、b$的值，得到下降阶段的函数表达式。（2）药物浓度不低于3微克/毫升即$y\ge3$，分别将$y=3$代入两个阶段的函数表达式，求出对应的$x$的取值范围，两个端点的差值就是有效抗菌时长。
【解析】
（1）分两段求函数表达式：
① 上升阶段：当$0 \le x \le 3$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx\ (k\ne0)$。
将点$(3,9)$代入表达式，得$9 = 3k$，解得$k=3$。
因此上升阶段函数表达式为$y=3x\ (0 \le x \le 3)$。
② 下降阶段：当$3 ＜ x \le 11$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b\ (a\ne0)$。
将点$(3,9)$、$(11,1)$分别代入表达式，得方程组：
$\begin{cases} 3a + b = 9 \\ 11a + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$8a = -8$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$3a + b =9$，得$-3 + b =9$，解得$b=12$。
因此下降阶段函数表达式为$y=-x+12\ (3 ＜ x \le 11)$。
（2）求抗菌有效时长：
药物浓度不低于3微克/毫升即$y \ge 3$。
① 在上升阶段$y=3x$中，令$y \ge 3$，得$3x \ge 3$，解得$x \ge 1$；
② 在下降阶段$y=-x+12$中，令$y \ge 3$，得$-x + 12 \ge 3$，解得$x \le 9$。
综上，当$1 \le x \le 9$时药物有抗菌作用，有效时长为$9 - 1 = 8$（小时）。
【答案】
(1) 上升阶段：$y=3x\ (0\le x\le3)$；下降阶段：$y=-x+12\ (3＜x\le11)$
(2) 8小时
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与不等式
【点评】
本题结合药物浓度的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是准确识别分段函数的两段类型，熟练运用待定系数法求解解析式，再结合不等式求解符合条件的自变量范围，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
