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7 [2024绥化改编]为适应共享电动车出行市场需求，某公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.若A，B两种电动车的单价分别为1 000元、3 500元，则当购买A种电动车
66
辆时，所需的总费用最少.答案
7. 66
解析
【分析】
这是一次函数实际应用的最值问题，解题思路如下：第一步，设自变量，将购买A种电动车的数量设为x辆，总费用设为y元，即可表示出B种电动车的数量；第二步，根据“总费用=A种车总费用+B种车总费用”的等量关系，列出y关于x的一次函数关系式；第三步，根据“A种电动车数量不多于B种数量的一半”的限制条件列不等式，求出自变量x的取值范围；第四步，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围和实际意义（车辆数为正整数），确定x取何值时总费用最小。
【解析】
解：设购买A种电动车x辆，所需总费用为y元，则购买B种电动车$(200-x)$辆。
根据总费用的计算规则可得：
$\begin{aligned}y&=1000x + 3500(200-x)\\&=1000x + 700000 - 3500x\\&=-2500x + 700000\end{aligned}$
由“A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半”列不等式：
$\begin{aligned}x&≤ \frac{1}{2}(200-x)\\2x&≤ 200 - x\\3x&≤ 200\\x&≤ \frac{200}{3}\approx 66.67\end{aligned}$
∵x为车辆数，需取正整数，
∴x的最大取值为66。
在一次函数$y=-2500x + 700000$中，$k=-2500＜0$，
∴y随x的增大而减小，因此当x取最大值66时，总费用y最小。
【答案】
66
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的增减性
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数最值的求解，解题的核心是正确建立函数模型、确定自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性判断最值，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
这是一次函数实际应用的最值问题，解题思路如下：第一步，设自变量，将购买A种电动车的数量设为x辆，总费用设为y元，即可表示出B种电动车的数量；第二步，根据“总费用=A种车总费用+B种车总费用”的等量关系，列出y关于x的一次函数关系式；第三步，根据“A种电动车数量不多于B种数量的一半”的限制条件列不等式，求出自变量x的取值范围；第四步，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围和实际意义（车辆数为正整数），确定x取何值时总费用最小。
【解析】
解：设购买A种电动车x辆，所需总费用为y元，则购买B种电动车$(200-x)$辆。
根据总费用的计算规则可得：
$\begin{aligned}y&=1000x + 3500(200-x)\\&=1000x + 700000 - 3500x\\&=-2500x + 700000\end{aligned}$
由“A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半”列不等式：
$\begin{aligned}x&≤ \frac{1}{2}(200-x)\\2x&≤ 200 - x\\3x&≤ 200\\x&≤ \frac{200}{3}\approx 66.67\end{aligned}$
∵x为车辆数，需取正整数，
∴x的最大取值为66。
在一次函数$y=-2500x + 700000$中，$k=-2500＜0$，
∴y随x的增大而减小，因此当x取最大值66时，总费用y最小。
【答案】
66
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的增减性
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数最值的求解，解题的核心是正确建立函数模型、确定自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性判断最值，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
8 [2025南京]如图,在长方形电子屏ABCD中,AB=8 m,AD=5 m,一条公益广告画面的动态效果设计如下:动点P从点A出发沿边AB,BC以2 m/s的速度向点C运动,随着点P的运动,画面逐渐展开.
(1) 写出展开的画面面积S(单位:m²)关于点P的运动时间t(单位:s)的函数表达式;
(2) 当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{4}$时开始播放广告语,播放时间持续3 s,求播放结束时展开的画面面积.
(1) 写出展开的画面面积S(单位:m²)关于点P的运动时间t(单位:s)的函数表达式;
(2) 当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{4}$时开始播放广告语,播放时间持续3 s,求播放结束时展开的画面面积.
答案
8. (1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形, $\therefore AD=BC=5\ \mathrm{m},AB=CD=8\ \mathrm{m},∠ A=∠ C=90°.$ 当 $0≤ t≤ 4$ 时,点 $P$ 在 $AB$ 边上,如图①,$AP=2t\ \mathrm{m}$,此时 $S=\dfrac{1}{2}× 2t× 5=5t.$ 当 $4＜ t≤ 6.5$ 时,点 $P$ 在 $BC$ 边上,如图②,$CP=(13-2t)\mathrm{m}$,此时 $S=5× 8-\dfrac{1}{2}× 8× (13-2t)=8t-12.$ 综上所述,$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)关于点 $P$ 的运动时间 $t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数表达式为 $S=\begin{cases}5t(0≤ t≤ 4),\\8t-12(4＜ t≤ 6.5)\end{cases}$
(2) $\dfrac{1}{4}× 5× 8=10(\mathrm{m}^2).$ 当 $5t=10$ 时,$t=2$,$\therefore 3\ \mathrm{s}$ 后,即 $t=5$ 时,点 $P$ 在 $BC$ 边上,此时 $S=8× 5-12=28.$ 当 $8t-12=10$ 时,$t=\dfrac{11}{4}＜4$(不符合题意,舍去). $\therefore$ 播放结束时展开的画面面积是 $28\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
本题是结合矩形动点的一次函数应用问题，解题思路如下：
1. 解决第一问需先对动点P的位置分段：先计算P在AB段的运动时长，AB长8m，速度为2m/s，因此运动时间为8÷2=4s，故分为0≤t≤4（P在AB边上）和4＜t≤(8+5)÷2=6.5s（P在BC边上）两段讨论。
2. 当P在AB边上时，展开画面是△APD，直接用三角形面积公式即可写出S与t的关系式；当P在BC边上时，展开画面面积为矩形总面积减去△DCP的面积，先表示出CP的长度，再代入面积公式计算即可。
3. 解决第二问先求出电子屏面积的$\frac{1}{4}$，先判断S等于该值时对应的t属于哪一段，得到开始播放的时间，加3s得到结束时间，再判断结束时间所属分段，代入对应函数式计算即可，注意要舍去不符合自变量取值范围的解。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=5$\ \mathrm{m}$，AB=CD=8$\ \mathrm{m}$，∠A=∠C=90°，矩形ABCD的总面积为$8×5=40\ \mathrm{m}^2$。
① 当$0≤ t≤ 4$时，点P在AB边上运动，$AP=2t\ \mathrm{m}$，此时展开画面为△APD：
$S=\dfrac{1}{2}× AP × AD=\dfrac{1}{2}× 2t× 5=5t$；
② 当$4＜ t≤ 6.5$时，点P在BC边上运动，点P运动总路程为$2t\ \mathrm{m}$，因此$CP=AB+BC-2t=8+5-2t=(13-2t)\ \mathrm{m}$，此时展开画面面积为矩形面积减去△DCP的面积：
$S=40-\dfrac{1}{2}× CD × CP=40-\dfrac{1}{2}× 8× (13-2t)=8t-12$。
综上，$S$关于$t$的函数表达式为$S=\begin{cases}5t(0≤ t≤ 4)\\8t-12(4＜ t≤ 6.5)\end{cases}$。
(2) 电子屏面积的$\frac{1}{4}$为：$\dfrac{1}{4}× 40=10\ \mathrm{m}^2$。
① 当$0≤ t≤ 4$时，令$5t=10$，解得$t=2$，符合取值范围；
② 当$4＜ t≤ 6.5$时，令$8t-12=10$，解得$t=\dfrac{11}{4}=2.75＜4$，不符合该段取值范围，舍去。
因此开始播放广告语的时间为$t=2\ \mathrm{s}$，持续3s后结束时间为$t=2+3=5\ \mathrm{s}$，$5\ \mathrm{s}$在$4＜ t≤ 6.5$范围内，代入对应函数得$S=8×5-12=28\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=\begin{cases}5t(0≤ t≤ 4)\\8t-12(4＜ t≤ 6.5)\end{cases}$
(2) $28\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
分段函数，一次函数的实际应用，矩形的性质
【点评】
本题是典型的动点与一次函数结合的实际应用题，解题的核心是根据动点的运动位置合理分段，准确写出不同分段下的函数表达式，求解时要注意结合自变量的取值范围判断解的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
本题是结合矩形动点的一次函数应用问题，解题思路如下：
1. 解决第一问需先对动点P的位置分段：先计算P在AB段的运动时长，AB长8m，速度为2m/s，因此运动时间为8÷2=4s，故分为0≤t≤4（P在AB边上）和4＜t≤(8+5)÷2=6.5s（P在BC边上）两段讨论。
2. 当P在AB边上时，展开画面是△APD，直接用三角形面积公式即可写出S与t的关系式；当P在BC边上时，展开画面面积为矩形总面积减去△DCP的面积，先表示出CP的长度，再代入面积公式计算即可。
3. 解决第二问先求出电子屏面积的$\frac{1}{4}$，先判断S等于该值时对应的t属于哪一段，得到开始播放的时间，加3s得到结束时间，再判断结束时间所属分段，代入对应函数式计算即可，注意要舍去不符合自变量取值范围的解。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=5$\ \mathrm{m}$，AB=CD=8$\ \mathrm{m}$，∠A=∠C=90°，矩形ABCD的总面积为$8×5=40\ \mathrm{m}^2$。
① 当$0≤ t≤ 4$时，点P在AB边上运动，$AP=2t\ \mathrm{m}$，此时展开画面为△APD：
$S=\dfrac{1}{2}× AP × AD=\dfrac{1}{2}× 2t× 5=5t$；
② 当$4＜ t≤ 6.5$时，点P在BC边上运动，点P运动总路程为$2t\ \mathrm{m}$，因此$CP=AB+BC-2t=8+5-2t=(13-2t)\ \mathrm{m}$，此时展开画面面积为矩形面积减去△DCP的面积：
$S=40-\dfrac{1}{2}× CD × CP=40-\dfrac{1}{2}× 8× (13-2t)=8t-12$。
综上，$S$关于$t$的函数表达式为$S=\begin{cases}5t(0≤ t≤ 4)\\8t-12(4＜ t≤ 6.5)\end{cases}$。
(2) 电子屏面积的$\frac{1}{4}$为：$\dfrac{1}{4}× 40=10\ \mathrm{m}^2$。
① 当$0≤ t≤ 4$时，令$5t=10$，解得$t=2$，符合取值范围；
② 当$4＜ t≤ 6.5$时，令$8t-12=10$，解得$t=\dfrac{11}{4}=2.75＜4$，不符合该段取值范围，舍去。
因此开始播放广告语的时间为$t=2\ \mathrm{s}$，持续3s后结束时间为$t=2+3=5\ \mathrm{s}$，$5\ \mathrm{s}$在$4＜ t≤ 6.5$范围内，代入对应函数得$S=8×5-12=28\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=\begin{cases}5t(0≤ t≤ 4)\\8t-12(4＜ t≤ 6.5)\end{cases}$
(2) $28\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
分段函数，一次函数的实际应用，矩形的性质
【点评】
本题是典型的动点与一次函数结合的实际应用题，解题的核心是根据动点的运动位置合理分段，准确写出不同分段下的函数表达式，求解时要注意结合自变量的取值范围判断解的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
9 为了迎接“十一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 已知甲、乙两种运动鞋的进价分别为100元/双、80元/双，售价分别为240元/双、160元/双.
(1) 若要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价－进价)不少于21 700元，且不超过22 300元，则该专卖店有几种进货方案？
(2) 在(1)的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠$a(50＜a＜70)$元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？
(1) 若要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价－进价)不少于21 700元，且不超过22 300元，则该专卖店有几种进货方案？
(2) 在(1)的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠$a(50＜a＜70)$元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？
答案
9. (1) 设购进甲种运动鞋$x$双,则购进乙种运动鞋$(200-x)$双.根据题意,得$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥ 21\ 700①,\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤ 22\ 300②.\end{cases}$ 解不等式①,得$x≥ 95$;解不等式②,得$x≤ 105.$ $\therefore$ 不等式组的解集是$95≤ x≤ 105.$ $\because x$ 是正整数,$105-95+1=11$(种),$\therefore$ 该专卖店有 11 种进货方案 (2) 设总利润为 $W$ 元. 由题意,得 $W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16\ 000$ $(95≤ x≤ 105).$ ① 当 $50＜ a＜ 60$ 时,$60-a＞0$,此时 $W$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore$ 当 $x=105$ 时,$W$ 有最大值,$200-x=95$,$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双. ② 当 $a=60$ 时,$60-a=0$,$W=16\ 000.$ $\therefore$ (1)中所有方案获得的最大利润都为 16 000 元,分别为购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双;购进甲种运动鞋 96 双,购进乙种运动鞋 104 双;购进甲种运动鞋 97 双,购进乙种运动鞋 103 双;购进甲种运动鞋 98 双,购进乙种运动鞋 102 双;购进甲种运动鞋 99 双,购进乙种运动鞋 101 双;购进甲种运动鞋 100 双,购进乙种运动鞋 100 双;购进甲种运动鞋 101 双,购进乙种运动鞋 99 双;购进甲种运动鞋 102 双,购进乙种运动鞋 98 双;购进甲种运动鞋 103 双,购进乙种运动鞋 97 双;购进甲种运动鞋 104 双,购进乙种运动鞋 96 双;购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双. ③ 当 $60＜ a＜ 70$ 时,$60-a＜0$,此时 $W$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x=95$ 时,$W$ 取得最大值,$200-x=105$,$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双
解析
【分析】
(1) 先设购进甲种运动鞋的数量为$x$双，即可表示出乙种运动鞋的数量为$(200-x)$双，结合“总利润=单双利润×数量”列出总利润的表达式，再根据总利润的范围列出一元一次不等式组，求解得到$x$的取值范围，结合$x$为正整数的条件，统计范围内整数的个数即为进货方案数。
(2) 先根据优惠规则写出总利润$W$关于$x$的一次函数表达式，再结合$a$的取值范围分情况讨论：当一次项系数大于0时，$W$随$x$的增大而增大，取$x$最大值时利润最大；当一次项系数等于0时，所有方案利润相等；当一次项系数小于0时，$W$随$x$的增大而减小，取$x$最小值时利润最大，对应得到最优进货方案。
【解析】
(1) 设购进甲种运动鞋$x$双，则购进乙种运动鞋$(200-x)$双。根据题意，得
$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥ 21700①,\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤ 22300②.\end{cases}$
解不等式①，得$x≥ 95$；解不等式②，得$x≤ 105$。
$\therefore$ 不等式组的解集是$95≤ x≤ 105$。
$\because x$ 是正整数，$105-95+1=11$(种)，$\therefore$ 该专卖店有 11 种进货方案。
(2) 设总利润为 $W$ 元。由题意，得
$W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16000$ $(95≤ x≤ 105)$。
① 当 $50＜ a＜ 60$ 时，$60-a＞0$，此时 $W$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore$ 当 $x=105$ 时，$W$ 有最大值，$200-x=95$，$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 105 双，购进乙种运动鞋 95 双。
② 当 $a=60$ 时，$60-a=0$，$W=16000$，$\therefore$ (1)中所有方案获得的利润都为 16 000 元，所有方案均可。
③ 当 $60＜ a＜ 70$ 时，$60-a＜0$，此时 $W$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore$ 当 $x=95$ 时，$W$ 取得最大值，$200-x=105$，$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 95 双，购进乙种运动鞋 105 双。
【答案】
(1) 该专卖店有11种进货方案；
(2) ①当$50＜a＜60$时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；②当$a=60$时，(1)中所有进货方案获利相同，均为16000元；③当$60＜a＜70$时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数性质，分类讨论
【点评】
本题是典型的实际方案类综合题，结合了不等式组求方案范围、一次函数分析最优方案两个核心考点，第二问的分类讨论是易错点，需要准确根据参数的取值范围判断一次函数的增减性，避免漏讨论的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 先设购进甲种运动鞋的数量为$x$双，即可表示出乙种运动鞋的数量为$(200-x)$双，结合“总利润=单双利润×数量”列出总利润的表达式，再根据总利润的范围列出一元一次不等式组，求解得到$x$的取值范围，结合$x$为正整数的条件，统计范围内整数的个数即为进货方案数。
(2) 先根据优惠规则写出总利润$W$关于$x$的一次函数表达式，再结合$a$的取值范围分情况讨论：当一次项系数大于0时，$W$随$x$的增大而增大，取$x$最大值时利润最大；当一次项系数等于0时，所有方案利润相等；当一次项系数小于0时，$W$随$x$的增大而减小，取$x$最小值时利润最大，对应得到最优进货方案。
【解析】
(1) 设购进甲种运动鞋$x$双，则购进乙种运动鞋$(200-x)$双。根据题意，得
$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥ 21700①,\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤ 22300②.\end{cases}$
解不等式①，得$x≥ 95$；解不等式②，得$x≤ 105$。
$\therefore$ 不等式组的解集是$95≤ x≤ 105$。
$\because x$ 是正整数，$105-95+1=11$(种)，$\therefore$ 该专卖店有 11 种进货方案。
(2) 设总利润为 $W$ 元。由题意，得
$W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16000$ $(95≤ x≤ 105)$。
① 当 $50＜ a＜ 60$ 时，$60-a＞0$，此时 $W$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore$ 当 $x=105$ 时，$W$ 有最大值，$200-x=95$，$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 105 双，购进乙种运动鞋 95 双。
② 当 $a=60$ 时，$60-a=0$，$W=16000$，$\therefore$ (1)中所有方案获得的利润都为 16 000 元，所有方案均可。
③ 当 $60＜ a＜ 70$ 时，$60-a＜0$，此时 $W$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore$ 当 $x=95$ 时，$W$ 取得最大值，$200-x=105$，$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 95 双，购进乙种运动鞋 105 双。
【答案】
(1) 该专卖店有11种进货方案；
(2) ①当$50＜a＜60$时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；②当$a=60$时，(1)中所有进货方案获利相同，均为16000元；③当$60＜a＜70$时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数性质，分类讨论
【点评】
本题是典型的实际方案类综合题，结合了不等式组求方案范围、一次函数分析最优方案两个核心考点，第二问的分类讨论是易错点，需要准确根据参数的取值范围判断一次函数的增减性，避免漏讨论的情况。
【难度系数】
0.6
