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5 [2024威海]同一条公路连接A,B,C三地，B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离$y(\mathrm{km})$与时间$x(\mathrm{h})$的函数关系.下列结论正确的是（
A.甲车行驶$\frac{8}{3}\ \mathrm{h}$与乙车相遇
B.A,C两地相距220 km
C.甲车的速度是70 km/h
D.乙车中途休息36 min
A
）A.甲车行驶$\frac{8}{3}\ \mathrm{h}$与乙车相遇
B.A,C两地相距220 km
C.甲车的速度是70 km/h
D.乙车中途休息36 min
答案
5. A
解析
【分析】
首先结合题意理解函数图像的实际意义：x=0时y=20km对应A、B两地距离为20km，甲从A、乙从B同时向C行驶，初始甲落后乙20km。解题步骤如下：1. 0~2h两车距离匀速增加，说明此阶段乙速度比甲快，可算出速度差；2. 2h后两车距离下降，说明乙开始休息，仅甲匀速行驶，结合x=3h时y=20km可算出甲的速度；3. 根据追及问题公式计算相遇时间，再逐一验证各选项即可。
【解析】
1. 求速度差：0~2h，两车距离从20km增加到40km，2小时内乙比甲多走了$40-20=20\mathrm{km}$，因此速度差$v_乙 - v_甲 = \frac{20}{2}=10\mathrm{km/h}$。
2. 求甲的速度：2~3h共1小时，两车距离从40km变为20km，说明此阶段乙休息（速度为0），甲1小时行驶的路程为$40+20=60\mathrm{km}$，因此$v_甲=\frac{60}{1}=60\mathrm{km/h}$，故选项C错误。
3. 计算相遇时间：2h时甲落后乙40km，甲以60km/h的速度追及，追及时间为$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，因此相遇的总时间为$2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\mathrm{h}$，故选项A正确。
4. 验证剩余选项：
选项B：甲全程行驶4小时到达C地，因此A、C两地距离为$4×60=240\mathrm{km}$，B错误。
选项D：乙的速度为$60+10=70\mathrm{km/h}$，B、C两地距离为$240-20=220\mathrm{km}$，乙行驶总时间为$\frac{220}{70}=\frac{22}{7}\mathrm{h}$，休息时间为$4-\frac{22}{7}=\frac{6}{7}\mathrm{h}\approx51.4\mathrm{min}$，不是36min，D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，追及问题
【点评】
本题考查一次函数图像的实际应用，解题核心是读懂图像每一段对应的行驶状态，结合行程问题的基本公式、追及逻辑计算即可，需要注意区分不同阶段两车的速度变化。
【难度系数】
0.6
首先结合题意理解函数图像的实际意义：x=0时y=20km对应A、B两地距离为20km，甲从A、乙从B同时向C行驶，初始甲落后乙20km。解题步骤如下：1. 0~2h两车距离匀速增加，说明此阶段乙速度比甲快，可算出速度差；2. 2h后两车距离下降，说明乙开始休息，仅甲匀速行驶，结合x=3h时y=20km可算出甲的速度；3. 根据追及问题公式计算相遇时间，再逐一验证各选项即可。
【解析】
1. 求速度差：0~2h，两车距离从20km增加到40km，2小时内乙比甲多走了$40-20=20\mathrm{km}$，因此速度差$v_乙 - v_甲 = \frac{20}{2}=10\mathrm{km/h}$。
2. 求甲的速度：2~3h共1小时，两车距离从40km变为20km，说明此阶段乙休息（速度为0），甲1小时行驶的路程为$40+20=60\mathrm{km}$，因此$v_甲=\frac{60}{1}=60\mathrm{km/h}$，故选项C错误。
3. 计算相遇时间：2h时甲落后乙40km，甲以60km/h的速度追及，追及时间为$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，因此相遇的总时间为$2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\mathrm{h}$，故选项A正确。
4. 验证剩余选项：
选项B：甲全程行驶4小时到达C地，因此A、C两地距离为$4×60=240\mathrm{km}$，B错误。
选项D：乙的速度为$60+10=70\mathrm{km/h}$，B、C两地距离为$240-20=220\mathrm{km}$，乙行驶总时间为$\frac{220}{70}=\frac{22}{7}\mathrm{h}$，休息时间为$4-\frac{22}{7}=\frac{6}{7}\mathrm{h}\approx51.4\mathrm{min}$，不是36min，D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，追及问题
【点评】
本题考查一次函数图像的实际应用，解题核心是读懂图像每一段对应的行驶状态，结合行程问题的基本公式、追及逻辑计算即可，需要注意区分不同阶段两车的速度变化。
【难度系数】
0.6
6 [2025宿迁]甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动.甲比乙早出发6 min,两人途中均未休息,先到达N处的人在原地休息等待,直到另一人到达N处.两人之间的路程y(m)与甲行走的时间t(min)的函数图象如图所示.
(1) 乙步行的速度为
(2) 当18≤t≤50时,求y关于t的函数表达式;
(3) 甲出发多长时间时,两人之间的路程为450 m?
(1) 乙步行的速度为
90
m/min,M,N之间的路程为3960
m;(2) 当18≤t≤50时,求y关于t的函数表达式;
(3) 甲出发多长时间时,两人之间的路程为450 m?
答案
6. (1) 90 3 960 (2) 由图象,可知点C的纵坐标为3 960-60×50=960,
∴ C(50,960).当18≤t≤50时,设y=kt+b(k≠0).
∵ 点B（18, 0）,C（50, 960）在函数图象上,
∴ $\begin{cases}18k+b=0,\\50k+b=960,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=30,\\b=-540,\end{cases}$
∴ y=30t-540,
∴ y关于t的函数表达式为y=30t-540(18≤t≤50) (3) 当18≤t≤50时,由y=30t-540=450,解得t=33;当t＞50时,由题意,得60t=3 960-450,解得t=58.5.
∴ 当甲出发33 min或58.5 min时,两人之间的路程为450 m
∴ C(50,960).当18≤t≤50时,设y=kt+b(k≠0).
∵ 点B（18, 0）,C（50, 960）在函数图象上,
∴ $\begin{cases}18k+b=0,\\50k+b=960,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=30,\\b=-540,\end{cases}$
∴ y=30t-540,
∴ y关于t的函数表达式为y=30t-540(18≤t≤50) (3) 当18≤t≤50时,由y=30t-540=450,解得t=33;当t＞50时,由题意,得60t=3 960-450,解得t=58.5.
∴ 当甲出发33 min或58.5 min时,两人之间的路程为450 m
解析
【分析】
1. 求解第一问：首先从图象提取信息，甲早出发6min，6min行走了360m，先计算甲的速度；t=18min时两人路程差为0，即乙追上甲，此时甲走了18min，乙走了(18-6)min，两人路程相等，即可求出乙的速度；再结合图象t=50min时乙到达终点，计算乙步行的总时长，用速度乘时间得到M、N两地的总路程。
2. 求解第二问：18≤t≤50时，乙已经追上甲，且速度大于甲，两人路程差随时间增大而增大，先求出t=50时两人的路程差得到点C坐标，再将B(18,0)和C点坐标代入一次函数一般式，用待定系数法求解即可。
3. 求解第三问：两人路程差为450m分两种情况：第一种是18≤t≤50时，乙未到终点，代入第二问的函数解析式求解；第二种是t＞50时，乙已到达终点休息，此时两人路程差等于总路程减去甲走的路程，列方程求解，最后验证结果是否符合取值范围即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲6min走了360m，甲的速度为$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$。
t=18min时乙追上甲，此时甲步行的路程为$60×18=1080\ \mathrm{m}$，乙步行的时间为$18-6=12\ \mathrm{min}$，因此乙的速度为$1080÷12=90\ \mathrm{m/min}$。
由图象可知t=50min时乙到达N地，乙步行的总时间为$50-6=44\ \mathrm{min}$，所以M、N之间的路程为$90×44=3960\ \mathrm{m}$。
(2) 当t=50时，甲步行的路程为$60×50=3000\ \mathrm{m}$，此时两人的路程差为$3960-3000=960\ \mathrm{m}$，即点C坐标为$(50,960)$。
设当$18≤ t≤50$时，$y$关于$t$的函数表达式为$y=kt+b\ (k≠0)$，将$B(18,0)$、$C(50,960)$代入得：
$\begin{cases}18k+b=0\\50k+b=960\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=30\\b=-540\end{cases}$
因此当$18≤ t≤50$时，$y$关于$t$的函数表达式为$y=30t-540$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$18≤ t≤50$时，令$30t-540=450$，解得$t=33$，符合取值范围；
② 当$t＞50$时，乙已经到达N地休息，此时两人路程差为总路程减去甲走的路程，即$3960-60t=450$，解得$t=58.5$，符合题意。
综上，甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m。
【答案】
(1) $90$；$3960$
(2) $y=30t-540\ (18≤ t≤50)$
(3) 33min或58.5min
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数图象各段及关键点的实际意义，结合路程、速度、时间的关系，运用待定系数法和分类讨论思想求解，注意不同时间段对应的行程状态，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 求解第一问：首先从图象提取信息，甲早出发6min，6min行走了360m，先计算甲的速度；t=18min时两人路程差为0，即乙追上甲，此时甲走了18min，乙走了(18-6)min，两人路程相等，即可求出乙的速度；再结合图象t=50min时乙到达终点，计算乙步行的总时长，用速度乘时间得到M、N两地的总路程。
2. 求解第二问：18≤t≤50时，乙已经追上甲，且速度大于甲，两人路程差随时间增大而增大，先求出t=50时两人的路程差得到点C坐标，再将B(18,0)和C点坐标代入一次函数一般式，用待定系数法求解即可。
3. 求解第三问：两人路程差为450m分两种情况：第一种是18≤t≤50时，乙未到终点，代入第二问的函数解析式求解；第二种是t＞50时，乙已到达终点休息，此时两人路程差等于总路程减去甲走的路程，列方程求解，最后验证结果是否符合取值范围即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲6min走了360m，甲的速度为$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$。
t=18min时乙追上甲，此时甲步行的路程为$60×18=1080\ \mathrm{m}$，乙步行的时间为$18-6=12\ \mathrm{min}$，因此乙的速度为$1080÷12=90\ \mathrm{m/min}$。
由图象可知t=50min时乙到达N地，乙步行的总时间为$50-6=44\ \mathrm{min}$，所以M、N之间的路程为$90×44=3960\ \mathrm{m}$。
(2) 当t=50时，甲步行的路程为$60×50=3000\ \mathrm{m}$，此时两人的路程差为$3960-3000=960\ \mathrm{m}$，即点C坐标为$(50,960)$。
设当$18≤ t≤50$时，$y$关于$t$的函数表达式为$y=kt+b\ (k≠0)$，将$B(18,0)$、$C(50,960)$代入得：
$\begin{cases}18k+b=0\\50k+b=960\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=30\\b=-540\end{cases}$
因此当$18≤ t≤50$时，$y$关于$t$的函数表达式为$y=30t-540$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$18≤ t≤50$时，令$30t-540=450$，解得$t=33$，符合取值范围；
② 当$t＞50$时，乙已经到达N地休息，此时两人路程差为总路程减去甲走的路程，即$3960-60t=450$，解得$t=58.5$，符合题意。
综上，甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m。
【答案】
(1) $90$；$3960$
(2) $y=30t-540\ (18≤ t≤50)$
(3) 33min或58.5min
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数图象各段及关键点的实际意义，结合路程、速度、时间的关系，运用待定系数法和分类讨论思想求解，注意不同时间段对应的行程状态，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7[2025昆山段考]甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200千米外的B地行驶，甲在途中休息了3小时，休息后以新的速度匀速驶向B地，最后两车同时到达B地。如图所示为甲、乙两车距A地的路程y(单位：千米)与乙车行驶时间x(单位：小时)之间的函数图象。
（1）甲车休息前的行驶速度为
（2）求甲车休息后距A地的路程y(千米)与x(小时)之间的函数表达式。
（3）① 求两车第一次相遇时x的值；
② 直接写出第二次相遇后多长时间甲车与乙车相距40千米。
（1）甲车休息前的行驶速度为
120
千米/时，乙车的速度为80
千米/时。（2）求甲车休息后距A地的路程y(千米)与x(小时)之间的函数表达式。
（3）① 求两车第一次相遇时x的值；
② 直接写出第二次相遇后多长时间甲车与乙车相距40千米。
答案
7. (1) 120 80 (2) 1 200÷80=15(小时),当9≤x≤15时,设甲车距A地的路程y(千米)与x(小时)之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).由题意,可得$\begin{cases}9k+b=600,\\15k+b=1\ 200,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=100,\\b=-300,\end{cases}$
∴ y=100x-300(9≤x≤15) (3) ① 由题意,可得80x=120(x-1),解得x=3,
∴ 两车第一次相遇时x的值为3
② 由图象可得,当x=7.5时,两车第二次相遇,当甲车还在休息时甲车与乙车相距40千米,40÷80=0.5(小时);当甲车再次出发时甲车与乙车相距40千米,80x=100x-300+40,解得x=13,13-7.5=5.5(小时).综上所述,第二次相遇后0.5小时或5.5小时甲车与乙车相距40千米
∴ y=100x-300(9≤x≤15) (3) ① 由题意,可得80x=120(x-1),解得x=3,
∴ 两车第一次相遇时x的值为3
② 由图象可得,当x=7.5时,两车第二次相遇,当甲车还在休息时甲车与乙车相距40千米,40÷80=0.5(小时);当甲车再次出发时甲车与乙车相距40千米,80x=100x-300+40,解得x=13,13-7.5=5.5(小时).综上所述,第二次相遇后0.5小时或5.5小时甲车与乙车相距40千米
解析
【分析】
解决本题需结合函数图象理解甲、乙两车的行驶状态，分阶段分析：
1. 第（1）问求速度：先确定甲休息前的行驶时长，结合行驶路程求速度；乙全程匀速，利用图象中x=7.5时乙行驶600千米，直接用路程÷时间求速度。
2. 第（2）问求甲车休息后的函数表达式：先求出两车到达终点的总时间，确定函数的自变量取值范围，再用待定系数法代入两点坐标求解即可。
3. 第（3）问相遇问题：①第一次相遇在甲休息前，此时两车路程相等，列方程求解；②第二次相遇后分两种情况讨论：一是甲仍在休息，乙行驶拉开距离；二是甲休息后重新行驶，乙暂时领先两车拉开距离，结合路程关系分别计算即可。
【解析】
（1）由题意可知甲中途休息3小时，图象中水平段为休息时间，故休息结束前的时刻$a=9-3=6$。
甲休息前从乙出发1小时后开始行驶，到$x=6$时共行驶$6-1=5$小时，行驶路程600千米，故甲休息前速度为$600÷5=120$千米/时。
乙为匀速行驶，$x=7.5$时行驶路程为600千米，故乙的速度为$600÷7.5=80$千米/时。
（2）乙走完全程的总时间为$1200÷80=15$小时，即两车都在$x=15$时到达B地。
设甲车休息后$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，代入点$(9,600)$和$(15,1200)$得：
$\begin{cases}9k+b=600\\15k+b=1200\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$6k=600$，解得$k=100$，将$k=100$代入$9k+b=600$得$b=-300$。
故函数表达式为$y=100x-300(9≤ x≤15)$。
（3）①第一次相遇时甲还未休息，此时甲的行驶路程为$120(x-1)$，乙的行驶路程为$80x$，两车路程相等，列方程：
$80x=120(x-1)$
解得$x=3$。
②由图象可知第二次相遇在$x=7.5$时，分两种情况：
情况1：甲仍在休息（$7.5＜x＜9$），甲路程保持600千米，当两车相距40千米时，乙比甲多行驶40千米，所需时间为$40÷80=0.5$小时；
情况2：甲休息结束后行驶（$x≥9$），此时甲路程为$100x-300$，乙路程为$80x$，当两车相距40千米时，乙比甲多行驶40千米，列方程：
$80x-(100x-300)=40$
解得$x=13$，间隔时间为$13-7.5=5.5$小时。
综上，第二次相遇后0.5小时或5.5小时两车相距40千米。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；$\boxed{80}$
(2) $\boxed{y=100x-300(9≤ x≤15)}$
(3) ①$\boxed{x=3}$；②$\boxed{0.5}$小时或$\boxed{5.5}$小时
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题的函数应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，重点考察学生读图获取信息的能力，解题时需注意分阶段分析两车的行驶状态，避免因漏考虑情况出现错解。
【难度系数】
0.65
解决本题需结合函数图象理解甲、乙两车的行驶状态，分阶段分析：
1. 第（1）问求速度：先确定甲休息前的行驶时长，结合行驶路程求速度；乙全程匀速，利用图象中x=7.5时乙行驶600千米，直接用路程÷时间求速度。
2. 第（2）问求甲车休息后的函数表达式：先求出两车到达终点的总时间，确定函数的自变量取值范围，再用待定系数法代入两点坐标求解即可。
3. 第（3）问相遇问题：①第一次相遇在甲休息前，此时两车路程相等，列方程求解；②第二次相遇后分两种情况讨论：一是甲仍在休息，乙行驶拉开距离；二是甲休息后重新行驶，乙暂时领先两车拉开距离，结合路程关系分别计算即可。
【解析】
（1）由题意可知甲中途休息3小时，图象中水平段为休息时间，故休息结束前的时刻$a=9-3=6$。
甲休息前从乙出发1小时后开始行驶，到$x=6$时共行驶$6-1=5$小时，行驶路程600千米，故甲休息前速度为$600÷5=120$千米/时。
乙为匀速行驶，$x=7.5$时行驶路程为600千米，故乙的速度为$600÷7.5=80$千米/时。
（2）乙走完全程的总时间为$1200÷80=15$小时，即两车都在$x=15$时到达B地。
设甲车休息后$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，代入点$(9,600)$和$(15,1200)$得：
$\begin{cases}9k+b=600\\15k+b=1200\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$6k=600$，解得$k=100$，将$k=100$代入$9k+b=600$得$b=-300$。
故函数表达式为$y=100x-300(9≤ x≤15)$。
（3）①第一次相遇时甲还未休息，此时甲的行驶路程为$120(x-1)$，乙的行驶路程为$80x$，两车路程相等，列方程：
$80x=120(x-1)$
解得$x=3$。
②由图象可知第二次相遇在$x=7.5$时，分两种情况：
情况1：甲仍在休息（$7.5＜x＜9$），甲路程保持600千米，当两车相距40千米时，乙比甲多行驶40千米，所需时间为$40÷80=0.5$小时；
情况2：甲休息结束后行驶（$x≥9$），此时甲路程为$100x-300$，乙路程为$80x$，当两车相距40千米时，乙比甲多行驶40千米，列方程：
$80x-(100x-300)=40$
解得$x=13$，间隔时间为$13-7.5=5.5$小时。
综上，第二次相遇后0.5小时或5.5小时两车相距40千米。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；$\boxed{80}$
(2) $\boxed{y=100x-300(9≤ x≤15)}$
(3) ①$\boxed{x=3}$；②$\boxed{0.5}$小时或$\boxed{5.5}$小时
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题的函数应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，重点考察学生读图获取信息的能力，解题时需注意分阶段分析两车的行驶状态，避免因漏考虑情况出现错解。
【难度系数】
0.65
