7 如图,在△ABC中,AB=6,BC=8,∠ABC=90°.若P是AC上的一个动点,则AP+BP+CP的最小值是（）

A.14.8
B.15
C.15.2
D.16

7. A
【解析】$\because ∠ ABC=90°,AB=6,BC=8,\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10. \because AP+BP+PC=BP+AC=BP+10,$根据垂线段最短可知,当 $BP⊥ AC$ 时,$BP$ 的长最小，此时易得 $BP=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{24}{5}=4.8,\therefore AP+BP+CP$ 的最小值$=10+4.8=14.8.$

【分析】
首先观察所求的$AP+BP+CP$，其中$AP$和$CP$都在边$AC$上，因此$AP+CP=AC$是固定值，所以要使三条线段的和最小，只需让$BP$的长度最小即可。根据点到直线的线段中垂线段最短的性质，可知当$BP⊥ AC$时，$BP$最短。接下来先利用勾股定理计算$AC$的长度，再通过直角三角形面积的两种计算方法求出最短的$BP$的长度，最后相加即可得到最小值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$
因为点$P$在$AC$上，所以$AP+CP=AC=10$，因此$AP+BP+CP=10+BP$，要使该和最小，需$BP$取最小值。
根据垂线段最短的性质，当$BP⊥ AC$时，$BP$的长度最小。
此时利用三角形面积的两种计算方法：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BP$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BP$
解得$BP=\frac{48}{10}=4.8$
因此$AP+BP+CP$的最小值为$10+4.8=14.8$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，垂线段最短，面积法求高
【点评】
本题的解题核心是运用转化思想，将三条线段的和转化为“固定值+单条动线段”的最值问题，简化了求解难度，同时考查了学生对勾股定理、垂线段性质等基础几何知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

8 方程思想 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且$∠ EDF=45°$.将$△ DAE$绕点D按逆时针方向旋转$90°$，得到$△ DCM$.若$AE=1$，则FM的长为.

8. $\dfrac{5}{2}$
【解析】先说明 $F,C,M$ 三点共线,再证$△ DEF ≌ △ DMF(\mathrm{SAS}),$得 $FE=FM.$ 设 $EF=x.$ 由旋转,得 $AE=CM=1,\therefore BM=BC+CM=3+1=4,\therefore BF=BM-MF=BM-EF=4-x.$ 在 $\mathrm{Rt}△ EBF$ 中,由勾股定理,得 $EB^2+BF^2=EF^2$,即$(3-1)^2+(4-x)^2=x^2$,解得 $x=\dfrac{5}{2},\therefore FM=\dfrac{5}{2}.$

【分析】
解题时先从旋转的性质入手，可得对应边相等、对应角相等，且旋转角为90°；结合已知∠EDF=45°，可推得∠FDM=45°，为证明三角形全等准备等角条件；再根据正方形内角为90°及旋转得到的∠DCM=90°，可证F、C、M三点共线，方便后续计算线段长度；证得△DEF≌△DMF后可得EF=FM，此时设FM的长为未知数，在Rt△EBF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ △DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴ DE=DM，∠EDM=90°，AE=CM=1，∠DCM=∠A=90°，
∵ 正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴ ∠BCD+∠DCM=180°，即F、C、M三点共线，
∵ ∠EDF=45°，
∴ ∠FDM=∠EDM - ∠EDF=90°-45°=45°，
∴ ∠EDF=∠FDM，
在△DEF和△DMF中：
$\{\begin{array}{l}DE=DM\\ ∠ EDF=∠ MDF\\ DF=DF\end{array} $
∴ △DEF≌△DMF（SAS），
∴ EF=FM，
设$FM=EF=x$，
则$BF=BC+CM - FM=3+1-x=4-x$，$EB=AB-AE=3-1=2$，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：$EB^2+BF^2=EF^2$，
代入得：$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开计算：$4+16-8x+x^2=x^2$，
化简得：$20-8x=0$，解得$x=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是典型的正方形半角模型问题，通过旋转构造全等三角形实现线段的转化，再结合勾股定理用方程思想求解未知线段，很好地考察了几何性质的综合运用能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6

9 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，教材第100页例2通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论：$CD^2=AD· DB$。请你利用上述结论与学过的数学知识，求证：
(1) $AC^2=AD· AB$；
(2) $BC^2=DB· AB$。
（第9题）

9. (1) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC^2=CD^2+AD^2. \because CD^2=AD· DB,\therefore AC^2=AD· DB+AD^2=AD·(DB+AD). \because AB=DB+AD,\therefore AC^2=AD· AB$
(2) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$BC^2=CD^2+DB^2. \because CD^2=AD· DB,\therefore BC^2=AD· DB+DB^2=DB·(AD+DB). \because AB=AD+DB,\therefore BC^2=DB· AB$

【分析】
要证明两个线段平方的乘积式，可按以下思路推导：
1. 对于(1)要证$AC^2=AD·AB$，首先观察$AC$是$\mathrm{Rt}△ADC$的斜边，优先用勾股定理将$AC^2$表示为$AD^2+CD^2$；再代入题目给出的$CD^2=AD·DB$的结论，对所得代数式提取公因式$AD$，最后结合线段和$AB=AD+DB$，即可推导出目标结论。
2. 第(2)问的推导思路和(1)完全一致，只需对$\mathrm{Rt}△BDC$使用勾股定理表示$BC^2$，再代入已知结论、因式分解、结合线段和关系即可得证。
【解析】
(1) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC^2=CD^2+AD^2$。
$\because CD^2=AD· DB$，
$\therefore AC^2=AD· DB+AD^2=AD·(DB+AD)$。
$\because AB=DB+AD$，
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(2) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$BC^2=CD^2+DB^2$。
$\because CD^2=AD· DB$，
$\therefore BC^2=AD· DB+DB^2=DB·(AD+DB)$。
$\because AB=AD+DB$，
$\therefore BC^2=DB· AB$。
【答案】
(1) $AC^2=AD·AB$；
(2) $BC^2=DB·AB$
【知识点】
勾股定理；提取公因式因式分解；线段和差关系
【点评】
本题是勾股定理在几何证明中的典型应用，解题核心是结合直角三角形的结构选用勾股定理写出平方关系，结合已知条件完成代数代换与变形，再结合线段的和差关系完成推导，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.8

10 [2024 陕西]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$是边$AB$上一点,连接$CE$,在$BC$的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接$CF$.若$AC=13$,$BC=10$,求四边形$EBFC$的面积.

10. 如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$,垂足为 $H$,过点 $C$ 分别作 $CM⊥ AB,CN⊥ BF$,垂足分别为 $M,N. \because AB=AC,AH⊥ BC,BC=10,\therefore CH=\dfrac{1}{2}BC=5. \because AC=13,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中,$AH^2=AC^2-CH^2=13^2-5^2,\therefore AH=12,\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}×10×12=60. \because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BF// AC,\therefore ∠ ACB=∠ CBF,\therefore ∠ ABC=∠ CBF. \because CM⊥ AB,CN⊥ BF,\therefore CM=CN. \because S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AE· CM,S_{△ CBF}=\dfrac{1}{2}BF· CN,AE=BF,\therefore S_{△ ACE}=S_{△ CBF},\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ CBF}+S_{△ CBE}=S_{△ ACE}+S_{△ CBE}=S_{△ ABC}=60$

【分析】
要计算四边形EBFC的面积，直接求底和高较为困难，可通过面积转化求解。首先△ABC是等腰三角形，可先作底边上的高，利用勾股定理求出高，计算出△ABC的面积；再结合BF//AC和AB=AC的条件，推出BC平分∠ABF，根据角平分线的性质可得点C到AB、BF的距离相等，结合AE=BF，可证明△ACE和△CBF的面积相等，最后将四边形EBFC的面积转化为△ABC的面积即可得到结果。
【解析】
过点$A$作$AH⊥ BC$,垂足为$H$,过点$C$分别作$CM⊥ AB,CN⊥ BF$,垂足分别为$M,N$.
$\because AB=AC,AH⊥ BC,BC=10$,
$\therefore CH=\dfrac{1}{2}BC=5$.
$\because AC=13$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，由勾股定理得：$AH^2=AC^2-CH^2=13^2-5^2=144$,
$\therefore AH=12$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}×10×12=60$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$.
$\because BF// AC$,
$\therefore ∠ ACB=∠ CBF$（两直线平行，内错角相等）,
$\therefore ∠ ABC=∠ CBF$，即$BC$平分$∠ABF$.
$\because CM⊥ AB,CN⊥ BF$,
$\therefore CM=CN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
$\because S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AE· CM$，$S_{△ CBF}=\dfrac{1}{2}BF· CN$，且$AE=BF$,
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ CBF}$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ CBF}+S_{△ CBE}=S_{△ ACE}+S_{△ CBE}=S_{△ ABC}=60$.
【答案】
60

【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 勾股定理
3. 角平分线的性质
【点评】
本题属于几何面积计算类题目，核心是运用转化思想将不规则四边形的面积转化为规则等腰三角形的面积求解，解题需要熟练掌握等腰三角形、平行线、角平分线的性质以及勾股定理的应用，对学生的逻辑推理能力和转化思想运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6