7 如图,在△ABC中,AB=6,BC=8,∠ABC=90°.若P是AC上的一个动点,则AP+BP+CP的最小值是（）

A.14.8
B.15
C.15.2
D.16

7. A
【解析】$\because ∠ ABC=90°,AB=6,BC=8,\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10. \because AP+BP+PC=BP+AC=BP+10,$根据垂线段最短可知,当 $BP⊥ AC$ 时,$BP$ 的长最小，此时易得 $BP=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{24}{5}=4.8,\therefore AP+BP+CP$ 的最小值$=10+4.8=14.8.$

8 方程思想 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且$∠ EDF=45°$.将$△ DAE$绕点D按逆时针方向旋转$90°$，得到$△ DCM$.若$AE=1$，则FM的长为.

8. $\dfrac{5}{2}$
【解析】先说明 $F,C,M$ 三点共线,再证$△ DEF ≌ △ DMF(\mathrm{SAS}),$得 $FE=FM.$ 设 $EF=x.$ 由旋转,得 $AE=CM=1,\therefore BM=BC+CM=3+1=4,\therefore BF=BM-MF=BM-EF=4-x.$ 在 $\mathrm{Rt}△ EBF$ 中,由勾股定理,得 $EB^2+BF^2=EF^2$,即$(3-1)^2+(4-x)^2=x^2$,解得 $x=\dfrac{5}{2},\therefore FM=\dfrac{5}{2}.$

9 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，教材第100页例2通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论：$CD^2=AD· DB$。请你利用上述结论与学过的数学知识，求证：
(1) $AC^2=AD· AB$；
(2) $BC^2=DB· AB$。
（第9题）

9. (1) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC^2=CD^2+AD^2. \because CD^2=AD· DB,\therefore AC^2=AD· DB+AD^2=AD·(DB+AD). \because AB=DB+AD,\therefore AC^2=AD· AB$
(2) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$BC^2=CD^2+DB^2. \because CD^2=AD· DB,\therefore BC^2=AD· DB+DB^2=DB·(AD+DB). \because AB=AD+DB,\therefore BC^2=DB· AB$

10 [2024 陕西]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$是边$AB$上一点,连接$CE$,在$BC$的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接$CF$.若$AC=13$,$BC=10$,求四边形$EBFC$的面积.

10. 如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$,垂足为 $H$,过点 $C$ 分别作 $CM⊥ AB,CN⊥ BF$,垂足分别为 $M,N. \because AB=AC,AH⊥ BC,BC=10,\therefore CH=\dfrac{1}{2}BC=5. \because AC=13,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中,$AH^2=AC^2-CH^2=13^2-5^2,\therefore AH=12,\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}×10×12=60. \because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BF// AC,\therefore ∠ ACB=∠ CBF,\therefore ∠ ABC=∠ CBF. \because CM⊥ AB,CN⊥ BF,\therefore CM=CN. \because S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AE· CM,S_{△ CBF}=\dfrac{1}{2}BF· CN,AE=BF,\therefore S_{△ ACE}=S_{△ CBF},\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ CBF}+S_{△ CBE}=S_{△ ACE}+S_{△ CBE}=S_{△ ABC}=60$