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9 已知点P的坐标为(3，4)，O为坐标原点，那么射线OP与x轴正半轴所组成的角的正弦值为
$\dfrac{4}{5}$
。答案
9.$\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
要求射线OP与x轴正半轴夹角的正弦值，首先可通过过点P作x轴的垂线构造直角三角形，利用点坐标的几何意义得到直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理算出斜边OP的长度，最后根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）即可求出结果。
【解析】
解：过点P作$PA ⊥ x$轴，垂足为A。
$\because$ 点P的坐标为$(3,4)$，
$\therefore OA=3$，$PA=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
设射线OP与x轴正半轴的夹角为$α$，根据正弦的定义可得：
$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
3. 点坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础题型，将平面直角坐标系与解直角三角形相结合，重点考查对锐角三角函数基本定义的理解和勾股定理的应用，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
要求射线OP与x轴正半轴夹角的正弦值，首先可通过过点P作x轴的垂线构造直角三角形，利用点坐标的几何意义得到直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理算出斜边OP的长度，最后根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）即可求出结果。
【解析】
解：过点P作$PA ⊥ x$轴，垂足为A。
$\because$ 点P的坐标为$(3,4)$，
$\therefore OA=3$，$PA=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
设射线OP与x轴正半轴的夹角为$α$，根据正弦的定义可得：
$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
3. 点坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础题型，将平面直角坐标系与解直角三角形相结合，重点考查对锐角三角函数基本定义的理解和勾股定理的应用，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
⑩ 若$\tanα · \tan25° = 1$，则锐角$α =$
$65°$
。答案
10.$65°$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件$\tanα · \tan25° = 1$，回忆三角函数的基本性质：同角的正切和余切乘积为1，且一个锐角的余切等于它的余角的正切，即$\cot A = \tan(90°-A)$。我们可以先将等式变形得到$\tanα$等于$\tan25°$的倒数也就是$\cot25°$，再将余切转化为对应余角的正切，结合α是锐角的条件，就能直接求出α的度数。
【解析】
根据锐角三角函数的性质：
1. 对任意锐角$A$，有$\tan A · \cot A = 1$，且$\cot A = \tan(90° - A)$；
已知$\tanα · \tan25° = 1$，可得$\tanα = \frac{1}{\tan25°} = \cot25°$；
将$\cot25°$转化为正切形式：$\cot25° = \tan(90° - 25°) = \tan65°$；
因此$\tanα = \tan65°$，又因为$α$是锐角，正切函数在锐角范围内取值唯一对应，所以$α = 65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
互余角的三角函数关系、锐角正切的性质
【点评】
本题是解直角三角形部分的基础题型，核心考查互余两角的三角函数转换关系，只要熟练掌握三角函数的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知条件$\tanα · \tan25° = 1$，回忆三角函数的基本性质：同角的正切和余切乘积为1，且一个锐角的余切等于它的余角的正切，即$\cot A = \tan(90°-A)$。我们可以先将等式变形得到$\tanα$等于$\tan25°$的倒数也就是$\cot25°$，再将余切转化为对应余角的正切，结合α是锐角的条件，就能直接求出α的度数。
【解析】
根据锐角三角函数的性质：
1. 对任意锐角$A$，有$\tan A · \cot A = 1$，且$\cot A = \tan(90° - A)$；
已知$\tanα · \tan25° = 1$，可得$\tanα = \frac{1}{\tan25°} = \cot25°$；
将$\cot25°$转化为正切形式：$\cot25° = \tan(90° - 25°) = \tan65°$；
因此$\tanα = \tan65°$，又因为$α$是锐角，正切函数在锐角范围内取值唯一对应，所以$α = 65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
互余角的三角函数关系、锐角正切的性质
【点评】
本题是解直角三角形部分的基础题型，核心考查互余两角的三角函数转换关系，只要熟练掌握三角函数的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
11 已知α为锐角，$\tanα=\sqrt{3}$，那么$\cosα=$
$\dfrac{1}{2}$
。答案
11.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
题目已知α是锐角且给出tanα的值，解题时首先回忆特殊锐角的三角函数值，找到正切值为√3的锐角角度，再计算该角度的余弦值即可得到结果。解题思路分两步：第一步根据特殊角的正切值确定α的度数，第二步代入对应角度的余弦值求解。
【解析】
解：
∵α为锐角，且$\tanα=\sqrt{3}$，
结合特殊角的三角函数值可知$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴$α=60°$，
∴$\cosα=\cos60°=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角三角函数
【点评】
本题是基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°三类特殊角的正弦、余弦、正切值即可快速解题，是解直角三角形模块的常规考点。
【难度系数】
0.9
题目已知α是锐角且给出tanα的值，解题时首先回忆特殊锐角的三角函数值，找到正切值为√3的锐角角度，再计算该角度的余弦值即可得到结果。解题思路分两步：第一步根据特殊角的正切值确定α的度数，第二步代入对应角度的余弦值求解。
【解析】
解：
∵α为锐角，且$\tanα=\sqrt{3}$，
结合特殊角的三角函数值可知$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴$α=60°$，
∴$\cosα=\cos60°=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角三角函数
【点评】
本题是基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°三类特殊角的正弦、余弦、正切值即可快速解题，是解直角三角形模块的常规考点。
【难度系数】
0.9
12 已知斜面的坡度 $i=\frac{1}{5}$，物体由斜面底部沿斜面向前推了26米，那么这个物体升高了
$\sqrt{26}$
米。答案
12.$\sqrt{26}$
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度i是铅直升高高度与水平前进宽度的比值，而非高度与斜面长度的比值。我们可以设物体升高的高度为x米，根据坡度可推出水平前进的宽度为5x米，沿斜面推进的26米是直角三角形的斜边，最后结合勾股定理列方程即可求出升高的高度。
【解析】
根据坡度的定义可知：$i=\frac{\mathrm{铅直高度}h}{\mathrm{水平宽度}l}=\frac{1}{5}$
设物体升高了$x$米，则对应的水平前进宽度为$5x$米。
沿斜面推进的长度为直角三角形的斜边，由勾股定理可得：
$x^2+(5x)^2=26^2$
展开合并得：$26x^2=676$
化简得：$x^2=26$
因为长度为正数，所以$x=\sqrt{26}$（负根舍去）。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用类题目，解题核心是准确理解坡度的含义，结合勾股定理建立方程求解，掌握相关概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确坡度的定义：坡度i是铅直升高高度与水平前进宽度的比值，而非高度与斜面长度的比值。我们可以设物体升高的高度为x米，根据坡度可推出水平前进的宽度为5x米，沿斜面推进的26米是直角三角形的斜边，最后结合勾股定理列方程即可求出升高的高度。
【解析】
根据坡度的定义可知：$i=\frac{\mathrm{铅直高度}h}{\mathrm{水平宽度}l}=\frac{1}{5}$
设物体升高了$x$米，则对应的水平前进宽度为$5x$米。
沿斜面推进的长度为直角三角形的斜边，由勾股定理可得：
$x^2+(5x)^2=26^2$
展开合并得：$26x^2=676$
化简得：$x^2=26$
因为长度为正数，所以$x=\sqrt{26}$（负根舍去）。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用类题目，解题核心是准确理解坡度的含义，结合勾股定理建立方程求解，掌握相关概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
13 站在离旗杆20米的教学大楼某层走廊上测得旗杆顶部的仰角为α，测得旗杆底部的俯角为β，那么旗杆的高度为
$20\tanα + 20\tanβ$
米。（用含α、β的三角比表示）答案
13.$20\tanα + 20\tanβ$
解析
【分析】
遇到仰角、俯角相关的实际测量问题，首先要将实际场景转化为直角三角形模型：首先过观测点作旗杆的垂线，将旗杆高度拆分为观测点水平线以上、以下两段，两段分别对应两个含已知角的直角三角形的竖直直角边，两个三角形的公共水平直角边为观测点到旗杆的水平距离20米，再结合正切的定义分别求出两段高度，相加即可得到旗杆总高度。
【解析】
设观测点为点A，过点A作AB垂直于旗杆，垂足为点B，由题意可知水平距离AB=20米。
1. 求观测点水平线以上的旗杆高度：
测得旗杆顶部的仰角为α，在Rt△ABC（C为旗杆顶部）中，$\tanα=\frac{BC}{AB}$，代入AB=20米，可得$BC=AB·\tanα=20\tanα$。
2. 求观测点水平线以下的旗杆高度：
测得旗杆底部的俯角为β，在Rt△ABD（D为旗杆底部）中，$\tanβ=\frac{BD}{AB}$，代入AB=20米，可得$BD=AB·\tanβ=20\tanβ$。
3. 旗杆总高度为两段之和：$CD=BC+BD=20\tanα+20\tanβ$。
【答案】
$20\tanα + 20\tanβ$
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角俯角问题，正切函数的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，核心是将实际问题转化为几何图形，合理拆分待求的高度，结合锐角三角比的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到仰角、俯角相关的实际测量问题，首先要将实际场景转化为直角三角形模型：首先过观测点作旗杆的垂线，将旗杆高度拆分为观测点水平线以上、以下两段，两段分别对应两个含已知角的直角三角形的竖直直角边，两个三角形的公共水平直角边为观测点到旗杆的水平距离20米，再结合正切的定义分别求出两段高度，相加即可得到旗杆总高度。
【解析】
设观测点为点A，过点A作AB垂直于旗杆，垂足为点B，由题意可知水平距离AB=20米。
1. 求观测点水平线以上的旗杆高度：
测得旗杆顶部的仰角为α，在Rt△ABC（C为旗杆顶部）中，$\tanα=\frac{BC}{AB}$，代入AB=20米，可得$BC=AB·\tanα=20\tanα$。
2. 求观测点水平线以下的旗杆高度：
测得旗杆底部的俯角为β，在Rt△ABD（D为旗杆底部）中，$\tanβ=\frac{BD}{AB}$，代入AB=20米，可得$BD=AB·\tanβ=20\tanβ$。
3. 旗杆总高度为两段之和：$CD=BC+BD=20\tanα+20\tanβ$。
【答案】
$20\tanα + 20\tanβ$
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角俯角问题，正切函数的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，核心是将实际问题转化为几何图形，合理拆分待求的高度，结合锐角三角比的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14 如图，关于α与β的同一种三角比的值，有三个结论：①$\tanα ＞ \tanβ$；②$\sinα ＞ \sinβ$；③$\cosα ＞ \cosβ$，正确的结论为
①②
。（填序号）答案
14.①②
解析
【分析】
首先通过三角形外角性质确定α和β的大小关系：α是包含β的三角形的外角，因此α大于β，且二者均为锐角。再结合锐角三角函数的增减性逐一验证三个结论：锐角的正切、正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，即可得出正确结论。
【解析】
1. 确定α、β的大小关系
根据三角形外角的性质：三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，可得$α＞β$，且$α、β$都属于$0°∼90°$之间的锐角。
2. 结合锐角三角函数增减性判断结论
① 正切值在$0°∼90°$范围内随角度增大而增大，因为$α＞β$，所以$\tanα＞\tanβ$，结论①正确；
② 正弦值在$0°∼90°$范围内随角度增大而增大，因为$α＞β$，所以$\sinα＞\sinβ$，结论②正确；
③ 余弦值在$0°∼90°$范围内随角度增大而减小，因为$α＞β$，所以$\cosα＜\cosβ$，结论③错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
三角形外角性质，锐角三角函数增减性
【点评】
本题核心是利用几何性质判断角的大小，再结合锐角三角函数的增减性判断函数值大小，是几何性质和三角函数性质结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7
首先通过三角形外角性质确定α和β的大小关系：α是包含β的三角形的外角，因此α大于β，且二者均为锐角。再结合锐角三角函数的增减性逐一验证三个结论：锐角的正切、正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，即可得出正确结论。
【解析】
1. 确定α、β的大小关系
根据三角形外角的性质：三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，可得$α＞β$，且$α、β$都属于$0°∼90°$之间的锐角。
2. 结合锐角三角函数增减性判断结论
① 正切值在$0°∼90°$范围内随角度增大而增大，因为$α＞β$，所以$\tanα＞\tanβ$，结论①正确；
② 正弦值在$0°∼90°$范围内随角度增大而增大，因为$α＞β$，所以$\sinα＞\sinβ$，结论②正确；
③ 余弦值在$0°∼90°$范围内随角度增大而减小，因为$α＞β$，所以$\cosα＜\cosβ$，结论③错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
三角形外角性质，锐角三角函数增减性
【点评】
本题核心是利用几何性质判断角的大小，再结合锐角三角函数的增减性判断函数值大小，是几何性质和三角函数性质结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7
15 如图，用12个相似的直角三角形组成一个图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为
4
。答案
15.4
解析
【分析】
解题思路：第一步，12个直角三角形共用中心顶点，周角为360°，可求出每个三角形在中心处的锐角为30°，即所有三角形都是含30°角的相似直角三角形；第二步，观察图形找到三角形①和②的对应边关系，确定二者的相似比；第三步，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合三角形①的面积，即可求出三角形②的面积。
【解析】
解：
∵12个相似直角三角形共用中心顶点，
∴每个三角形在中心处的锐角为$\frac{360°}{12}=30°$，即所有直角三角形均为含30°角的直角三角形，三边比为$1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边）。
设三角形①中30°角的对边长为$x$，则其60°对边（邻边）长为$\sqrt{3}x$，三角形①的斜边长为$2x$。
观察图形可知，三角形①的斜边恰好是三角形②中30°角的邻边（即60°对边），因此三角形①与三角形②的相似比为$\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_①}{S_②}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$。
已知$S_①=3$，代入得$\frac{3}{S_②}=\frac{3}{4}$，解得$S_②=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本题结合图形拼接考查几何知识的综合运用，需要先从共顶点的三角形特征推导公共锐角的度数，再准确找到两个三角形的对应边关系，对学生的图形观察能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路：第一步，12个直角三角形共用中心顶点，周角为360°，可求出每个三角形在中心处的锐角为30°，即所有三角形都是含30°角的相似直角三角形；第二步，观察图形找到三角形①和②的对应边关系，确定二者的相似比；第三步，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合三角形①的面积，即可求出三角形②的面积。
【解析】
解：
∵12个相似直角三角形共用中心顶点，
∴每个三角形在中心处的锐角为$\frac{360°}{12}=30°$，即所有直角三角形均为含30°角的直角三角形，三边比为$1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边）。
设三角形①中30°角的对边长为$x$，则其60°对边（邻边）长为$\sqrt{3}x$，三角形①的斜边长为$2x$。
观察图形可知，三角形①的斜边恰好是三角形②中30°角的邻边（即60°对边），因此三角形①与三角形②的相似比为$\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_①}{S_②}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$。
已知$S_①=3$，代入得$\frac{3}{S_②}=\frac{3}{4}$，解得$S_②=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本题结合图形拼接考查几何知识的综合运用，需要先从共顶点的三角形特征推导公共锐角的度数，再准确找到两个三角形的对应边关系，对学生的图形观察能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
16 如图,要在宽AB为20米的道路两边安装路灯,路灯的灯臂CD与灯柱BC成$120°$角,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线(即O为AB的中点)时照明效果最佳,若$CD=\sqrt{3}$米,则路灯的灯柱BC高度应该设计为
$8\sqrt{3}$
米。(计算结果保留根号)答案
16.$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：1. 梳理已知条件：AB=20米，O是AB中点，可得OB=10米；∠BCD=120°，DO⊥CD即∠CDO=90°，CD=√3米，目标求BC的长度。2. 构造辅助线：延长OD交BC的延长线于点E，得到两个含特殊角的直角三角形Rt△CDE和Rt△OBE。3. 先在Rt△CDE中利用角度关系求出∠E=30°，计算CE的长度；再在Rt△OBE中利用30°角的三角函数值求出BE的长度，最后通过线段和差关系计算BC即可。
【解析】
解：延长OD，交BC的延长线于点E。
∵ O是AB的中点，AB=20米，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=10$米。
∵ $∠ BCD=120°$，
∴ $∠ DCE=180°-120°=60°$。
∵ $DO⊥ CD$，
∴ $∠ CDE=90°$，
∴ $∠ E=90°-60°=30°$。
在Rt△CDE中，$CD=\sqrt{3}$米，$∠ E=30°$，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得$CE=2CD=2\sqrt{3}$米。
在Rt△OBE中，$∠ B=90°$，$∠ E=30°$，$OB=10$米，
∵ $\tan E=\frac{OB}{BE}$，即$\tan30°=\frac{10}{BE}$，
∴ $BE=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=10\sqrt{3}$米。
∴ $BC=BE-CE=10\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$米。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查解直角三角形在实际场景中的应用，解题核心是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合特殊角的三角函数值、直角三角形的性质和线段的和差关系求解，需要学生具备一定的几何辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：1. 梳理已知条件：AB=20米，O是AB中点，可得OB=10米；∠BCD=120°，DO⊥CD即∠CDO=90°，CD=√3米，目标求BC的长度。2. 构造辅助线：延长OD交BC的延长线于点E，得到两个含特殊角的直角三角形Rt△CDE和Rt△OBE。3. 先在Rt△CDE中利用角度关系求出∠E=30°，计算CE的长度；再在Rt△OBE中利用30°角的三角函数值求出BE的长度，最后通过线段和差关系计算BC即可。
【解析】
解：延长OD，交BC的延长线于点E。
∵ O是AB的中点，AB=20米，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=10$米。
∵ $∠ BCD=120°$，
∴ $∠ DCE=180°-120°=60°$。
∵ $DO⊥ CD$，
∴ $∠ CDE=90°$，
∴ $∠ E=90°-60°=30°$。
在Rt△CDE中，$CD=\sqrt{3}$米，$∠ E=30°$，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得$CE=2CD=2\sqrt{3}$米。
在Rt△OBE中，$∠ B=90°$，$∠ E=30°$，$OB=10$米，
∵ $\tan E=\frac{OB}{BE}$，即$\tan30°=\frac{10}{BE}$，
∴ $BE=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=10\sqrt{3}$米。
∴ $BC=BE-CE=10\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$米。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查解直角三角形在实际场景中的应用，解题核心是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合特殊角的三角函数值、直角三角形的性质和线段的和差关系求解，需要学生具备一定的几何辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65
17 如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是
$3\sqrt{5}$
米。答案
17.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题坡度为1:2，即铅直高度:水平宽度=1:2。其次将山坡上种树的问题转化为直角三角形模型：相邻两树的水平距离是直角三角形的一条直角边，两树的铅直高度差是另一条直角边，坡面距离是直角三角形的斜边。先根据坡度和已知的水平距离求出铅直高度差，再利用勾股定理计算斜边长度，即为所求的坡面距离。
【解析】
解：已知山坡的坡度为1:2，即坡面的铅直高度与水平宽度的比值为$\frac{1}{2}$。
∵ 相邻两树的水平距离为6米，设两树的铅直高度差为$h$，
∴ $\frac{h}{6}=\frac{1}{2}$，解得$h=3$米。
根据勾股定理，斜坡上相邻两树的坡面距离为：
$\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$（米）
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形应用
【点评】
本题侧重基础概念的实际应用，解题的核心是正确理解坡度的含义，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题坡度为1:2，即铅直高度:水平宽度=1:2。其次将山坡上种树的问题转化为直角三角形模型：相邻两树的水平距离是直角三角形的一条直角边，两树的铅直高度差是另一条直角边，坡面距离是直角三角形的斜边。先根据坡度和已知的水平距离求出铅直高度差，再利用勾股定理计算斜边长度，即为所求的坡面距离。
【解析】
解：已知山坡的坡度为1:2，即坡面的铅直高度与水平宽度的比值为$\frac{1}{2}$。
∵ 相邻两树的水平距离为6米，设两树的铅直高度差为$h$，
∴ $\frac{h}{6}=\frac{1}{2}$，解得$h=3$米。
根据勾股定理，斜坡上相邻两树的坡面距离为：
$\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$（米）
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形应用
【点评】
本题侧重基础概念的实际应用，解题的核心是正确理解坡度的含义，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
18 在边长为5的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'，若∠CDC'=∠DAC'，且$\tan∠ DAC'=\frac{1}{2}$，则$CE=$
$\dfrac{5}{3}$
。答案
18.$\dfrac{5}{3}$
[提示:过点$C'$作$C'H ⊥ CD$于点$H$。由$∠ CDC' = ∠ DAC'$，$∠ CDC' + ∠ ADC' = 90°$，可得$∠ DAC' + ∠ ADC' = 90°$，即$∠ AC'D = 90°$。因为$\tan ∠ DAC' = \tan ∠ CDC' = \dfrac{1}{2}$，$AD=CD=5$，所以可得$C'D=\sqrt{5}$，$C'H=1$，$DH=2$，所以$CH=5-2=3$。设$CE=x$，则$EH=3-x$。由翻折可得$C'E=CE=x$。在$\mathrm{Rt}△ C'HE$中，$C'H^2 + EH^2 = C'E^2$，所以$1^2 + (3-x)^2 = x^2$，解得$x=\dfrac{5}{3}$，所以$CE=\dfrac{5}{3}$。]
[提示:过点$C'$作$C'H ⊥ CD$于点$H$。由$∠ CDC' = ∠ DAC'$，$∠ CDC' + ∠ ADC' = 90°$，可得$∠ DAC' + ∠ ADC' = 90°$，即$∠ AC'D = 90°$。因为$\tan ∠ DAC' = \tan ∠ CDC' = \dfrac{1}{2}$，$AD=CD=5$，所以可得$C'D=\sqrt{5}$，$C'H=1$，$DH=2$，所以$CH=5-2=3$。设$CE=x$，则$EH=3-x$。由翻折可得$C'E=CE=x$。在$\mathrm{Rt}△ C'HE$中，$C'H^2 + EH^2 = C'E^2$，所以$1^2 + (3-x)^2 = x^2$，解得$x=\dfrac{5}{3}$，所以$CE=\dfrac{5}{3}$。]
解析
【分析】
解题时首先结合已知角的等量关系推导△AC'D为直角三角形，再利用tan∠DAC'=1/2结合正方形边长求出C'D的长度；接着作C'H⊥CD构造直角三角形，利用∠CDC'的正切值求出C'H、DH的长，得到CH的长度；最后结合折叠的性质，设CE为未知数，在Rt△C'HE中利用勾股定理列方程求解即可得到CE的长。
【解析】
过点$C'$作$C'H ⊥ CD$于点$H$。
1. 推导直角三角形：
已知$∠ CDC' = ∠ DAC'$，又因为正方形$ABCD$中$∠ ADC=90°$，即$∠ CDC' + ∠ ADC' = 90°$，等量代换得$∠ DAC' + ∠ ADC' = 90°$，因此$∠ AC'D = 90°$。
2. 求$C'D$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ AC'D$中，$\tan∠ DAC'=\frac{C'D}{AC'}=\frac{1}{2}$，即$AC'=2C'D$，又$AD=5$，由勾股定理得：
$AD^2=AC'^2+C'D^2$，代入得$5^2=(2C'D)^2+C'D^2$，即$25=5C'D^2$，解得$C'D=\sqrt{5}$。
3. 求$C'H$、$DH$、$CH$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ C'HD$中，$\tan∠ CDC'=\tan∠ DAC'=\frac{1}{2}$，即$\frac{C'H}{DH}=\frac{1}{2}$，设$C'H=a$，$DH=2a$，由勾股定理得：
$C'H^2+DH^2=C'D^2$，代入得$a^2+(2a)^2=(\sqrt{5})^2$，即$5a^2=5$，解得$a=1$，因此$C'H=1$，$DH=2$。
因为正方形边长$CD=5$，所以$CH=CD-DH=5-2=3$。
4. 列方程求$CE$：
设$CE=x$，由翻折的性质可得$C'E=CE=x$，则$EH=CH-CE=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△ C'HE$中，由勾股定理得：
$C'H^2 + EH^2 = C'E^2$，代入得$1^2 + (3-x)^2 = x^2$，
展开计算：$1 + 9 -6x +x^2 =x^2$，化简得$10-6x=0$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
翻折的性质；解直角三角形；勾股定理
【点评】
本题综合考查了正方形的性质、图形折叠的特征、解直角三角形及勾股定理的应用，解题的关键是通过角的等量关系判断直角三角形，合理作辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解线段长度，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知角的等量关系推导△AC'D为直角三角形，再利用tan∠DAC'=1/2结合正方形边长求出C'D的长度；接着作C'H⊥CD构造直角三角形，利用∠CDC'的正切值求出C'H、DH的长，得到CH的长度；最后结合折叠的性质，设CE为未知数，在Rt△C'HE中利用勾股定理列方程求解即可得到CE的长。
【解析】
过点$C'$作$C'H ⊥ CD$于点$H$。
1. 推导直角三角形：
已知$∠ CDC' = ∠ DAC'$，又因为正方形$ABCD$中$∠ ADC=90°$，即$∠ CDC' + ∠ ADC' = 90°$，等量代换得$∠ DAC' + ∠ ADC' = 90°$，因此$∠ AC'D = 90°$。
2. 求$C'D$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ AC'D$中，$\tan∠ DAC'=\frac{C'D}{AC'}=\frac{1}{2}$，即$AC'=2C'D$，又$AD=5$，由勾股定理得：
$AD^2=AC'^2+C'D^2$，代入得$5^2=(2C'D)^2+C'D^2$，即$25=5C'D^2$，解得$C'D=\sqrt{5}$。
3. 求$C'H$、$DH$、$CH$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ C'HD$中，$\tan∠ CDC'=\tan∠ DAC'=\frac{1}{2}$，即$\frac{C'H}{DH}=\frac{1}{2}$，设$C'H=a$，$DH=2a$，由勾股定理得：
$C'H^2+DH^2=C'D^2$，代入得$a^2+(2a)^2=(\sqrt{5})^2$，即$5a^2=5$，解得$a=1$，因此$C'H=1$，$DH=2$。
因为正方形边长$CD=5$，所以$CH=CD-DH=5-2=3$。
4. 列方程求$CE$：
设$CE=x$，由翻折的性质可得$C'E=CE=x$，则$EH=CH-CE=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△ C'HE$中，由勾股定理得：
$C'H^2 + EH^2 = C'E^2$，代入得$1^2 + (3-x)^2 = x^2$，
展开计算：$1 + 9 -6x +x^2 =x^2$，化简得$10-6x=0$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
翻折的性质；解直角三角形；勾股定理
【点评】
本题综合考查了正方形的性质、图形折叠的特征、解直角三角形及勾股定理的应用，解题的关键是通过角的等量关系判断直角三角形，合理作辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解线段长度，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6
