登录
19 计算：$\frac{\cos45°}{\tan30° · \cos60°} + \frac{\sin60° · \tan45°}{\sin30°}$。
答案
19.$\sqrt{6}+\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是先准确回忆30°、45°、60°特殊角的三角函数值，将其代入原式后按照先算乘除、后算加减的运算顺序，分别化简两个分式，计算过程中注意二次根式的化简和分母有理化，最后将两个分式的结果相加即可得到答案。
【解析】
解：先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} × 1}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{6}} + \sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{6}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}\\&=\sqrt{6} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、二次根式运算、分式乘除运算
【点评】
本题是解直角三角形板块的基础计算题，重点考查对特殊角三角函数值的记忆熟练度，以及二次根式混合运算的准确性，解题时只要准确代入数值、按运算规则化简即可得分，需注意避免因记错三角函数值或分母有理化出错导致失分。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心思路是先准确回忆30°、45°、60°特殊角的三角函数值，将其代入原式后按照先算乘除、后算加减的运算顺序，分别化简两个分式，计算过程中注意二次根式的化简和分母有理化，最后将两个分式的结果相加即可得到答案。
【解析】
解：先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} × 1}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{6}} + \sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{6}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}\\&=\sqrt{6} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、二次根式运算、分式乘除运算
【点评】
本题是解直角三角形板块的基础计算题，重点考查对特殊角三角函数值的记忆熟练度，以及二次根式混合运算的准确性，解题时只要准确代入数值、按运算规则化简即可得分，需注意避免因记错三角函数值或分母有理化出错导致失分。
【难度系数】
0.8
20 如图，某一拦水坝的横断面为梯形ABCD，DC // AB，坝顶宽6米，坝高10米，斜面AD的坡比为1:1，斜面BC的坡比为1:2.5，求坝底宽AB和坡角A。
答案
20.$AB=41\ \mathrm{m}$，$∠ A=45°$。
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际问题中的应用，解题思路为：首先通过作梯形的高将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把已知的坝高、坡比、坝顶宽等条件转化到直角三角形和矩形中。回忆坡比的定义：坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于对应坡角的正切值。先利用斜面AD的坡比求解AE的长度和坡角∠A，再利用斜面BC的坡比求解BF的长度，最后结合矩形对边相等的性质，将AE、EF、BF相加即可得到坝底宽AB。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵DC//AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DE=CF=10m，EF=DC=6m。
1. 求坡角∠A和AE的长度：
在Rt△ADE中，斜面AD的坡比为1:1，即$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{1}$，
已知DE=10m，代入得$\frac{10}{AE}=1$，解得AE=10m。
$\tan A=\frac{DE}{AE}=1$，且∠A为锐角，
∴∠A=45°。
2. 求BF的长度：
在Rt△BCF中，斜面BC的坡比为1:2.5，即$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2.5}$，
已知CF=10m，代入得$\frac{10}{BF}=\frac{1}{2.5}$，解得BF=10×2.5=25m。
3. 求坝底宽AB：
AB=AE+EF+BF=10+6+25=41m。
【答案】
坝底宽AB为$\boldsymbol{41\ \mathrm{m}}$，坡角∠A为$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
坡比与坡角，解直角三角形，梯形辅助线作法
【点评】
本题是解直角三角形的基础实际应用题，核心考查转化思想，通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，结合坡比的定义即可顺利求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在实际问题中的应用，解题思路为：首先通过作梯形的高将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把已知的坝高、坡比、坝顶宽等条件转化到直角三角形和矩形中。回忆坡比的定义：坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于对应坡角的正切值。先利用斜面AD的坡比求解AE的长度和坡角∠A，再利用斜面BC的坡比求解BF的长度，最后结合矩形对边相等的性质，将AE、EF、BF相加即可得到坝底宽AB。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵DC//AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DE=CF=10m，EF=DC=6m。
1. 求坡角∠A和AE的长度：
在Rt△ADE中，斜面AD的坡比为1:1，即$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{1}$，
已知DE=10m，代入得$\frac{10}{AE}=1$，解得AE=10m。
$\tan A=\frac{DE}{AE}=1$，且∠A为锐角，
∴∠A=45°。
2. 求BF的长度：
在Rt△BCF中，斜面BC的坡比为1:2.5，即$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2.5}$，
已知CF=10m，代入得$\frac{10}{BF}=\frac{1}{2.5}$，解得BF=10×2.5=25m。
3. 求坝底宽AB：
AB=AE+EF+BF=10+6+25=41m。
【答案】
坝底宽AB为$\boldsymbol{41\ \mathrm{m}}$，坡角∠A为$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
坡比与坡角，解直角三角形，梯形辅助线作法
【点评】
本题是解直角三角形的基础实际应用题，核心考查转化思想，通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，结合坡比的定义即可顺利求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
21 如图，有两幢建筑物AB与CD，由建筑物AB的顶部A观察到建筑物CD的底部C和顶部D的俯角分别为$60°$和$45°$。若建筑物AB的高为$45\sqrt{3}$米。试求建筑物CD的高。
答案
21 过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$。由题意可得$∠ BAC=30°$，$AB=45\sqrt{3}$米，所以$BC=AB · \tan30°=45$(米)，所以$DH=45$米。由题意知$∠ ADH=∠ DAH=45°$，所以$AH=DH=45$米，所以$CD=BH=AB-AH=45\sqrt{3}-45$(米)。
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的俯角应用问题，解题核心是构造直角三角形和矩形转化线段长度。首先我们过点D作DH⊥AB，将CD的长度转化为BH的长度（即AB与AH的差）；第一步先在Rt△ABC中，利用俯角60°得到∠BAC=30°，结合已知AB的长度求出BC的长度，而BC与DH相等；第二步再利用俯角45°得到△AHD为等腰直角三角形，求出AH的长度；最后用AB减去AH即可得到CD的高度。
【解析】
解：过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$，则四边形$DHBC$为矩形，因此$DH=BC$，$CD=BH$。
由题意可知，从A观测C的俯角为$60°$，过A的水平线与BC平行，因此$∠ACB=60°$，在$Rt△ ABC$中，$∠B=90°$，$AB=45\sqrt{3}$米，故$∠BAC=90°-60°=30°$。
根据正切的定义：$\tan∠BAC=\frac{BC}{AB}$，代入数值可得：
$BC=AB · \tan30°=45\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=45$（米），因此$DH=BC=45$米。
又因为从A观测D的俯角为$45°$，所以$∠DAH=45°$，在$Rt△ AHD$中，$∠AHD=90°$，$∠ADH=90°-45°=45°$，即$△ AHD$为等腰直角三角形，因此$AH=DH=45$米。
所以$CD=BH=AB-AH=45\sqrt{3}-45$（米）。
【答案】
$(45\sqrt{3}-45)$米
【知识点】
1. 俯角的应用
2. 解直角三角形
3. 矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用常规题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的俯角条件转化为几何图形中的角度条件，进而利用三角函数和特殊三角形的性质求解线段长度，注重考查学生构造辅助线和转化问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的俯角应用问题，解题核心是构造直角三角形和矩形转化线段长度。首先我们过点D作DH⊥AB，将CD的长度转化为BH的长度（即AB与AH的差）；第一步先在Rt△ABC中，利用俯角60°得到∠BAC=30°，结合已知AB的长度求出BC的长度，而BC与DH相等；第二步再利用俯角45°得到△AHD为等腰直角三角形，求出AH的长度；最后用AB减去AH即可得到CD的高度。
【解析】
解：过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$，则四边形$DHBC$为矩形，因此$DH=BC$，$CD=BH$。
由题意可知，从A观测C的俯角为$60°$，过A的水平线与BC平行，因此$∠ACB=60°$，在$Rt△ ABC$中，$∠B=90°$，$AB=45\sqrt{3}$米，故$∠BAC=90°-60°=30°$。
根据正切的定义：$\tan∠BAC=\frac{BC}{AB}$，代入数值可得：
$BC=AB · \tan30°=45\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=45$（米），因此$DH=BC=45$米。
又因为从A观测D的俯角为$45°$，所以$∠DAH=45°$，在$Rt△ AHD$中，$∠AHD=90°$，$∠ADH=90°-45°=45°$，即$△ AHD$为等腰直角三角形，因此$AH=DH=45$米。
所以$CD=BH=AB-AH=45\sqrt{3}-45$（米）。
【答案】
$(45\sqrt{3}-45)$米
【知识点】
1. 俯角的应用
2. 解直角三角形
3. 矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用常规题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的俯角条件转化为几何图形中的角度条件，进而利用三角函数和特殊三角形的性质求解线段长度，注重考查学生构造辅助线和转化问题的能力。
【难度系数】
0.7
22 如图,海中有两个小岛 C、D,某渔船在海中的 A 处测得小岛 D 位于东北方向上,且相距 $30\sqrt{2}$ 海里,该渔船自西向东航行一段时间到达 B 处,此时测得小岛 C 恰好在点 B 的正北方向上,且相距 75 海里,又测得点 B 与小岛 D 相距 $30\sqrt{5}$ 海里。
(1) 求 $\sin∠ ABD$ 的值。
(2) 求小岛 C、D 之间的距离。
(1) 求 $\sin∠ ABD$ 的值。
(2) 求小岛 C、D 之间的距离。
答案
22 (1) 过点$D$作$DM ⊥ AB$于点$M$。由题意可得$AD=30\sqrt{2}$海里，$∠ A=45°$，$BD=30\sqrt{5}$海里，所以$AM=DM=AD · \cos45°=30$(海里)，$BM=\sqrt{BD^2-DM^2}=60$(海里)，$\sin∠ ABD=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$。由题意可得$DN=BM=60$海里，$BN=DM=30$海里，$BC=75$海里，所以$CN=BC-BN=45$(海里)，所以$CD=\sqrt{CN^2+DN^2}=\sqrt{45^2+60^2}=75$(海里)。
(2) 过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$。由题意可得$DN=BM=60$海里，$BN=DM=30$海里，$BC=75$海里，所以$CN=BC-BN=45$(海里)，所以$CD=\sqrt{CN^2+DN^2}=\sqrt{45^2+60^2}=75$(海里)。
解析
【分析】
（1）要求$\sin∠ABD$的值，根据锐角三角函数的定义，需要构造包含$∠ ABD$的直角三角形，因此过点$D$作$DM ⊥ AB$于点$M$。已知小岛$D$在$A$的东北方向，可得$∠ A=45°$，结合$AD$的长度可先求出$DM$、$AM$的长度，再利用勾股定理求出$BM$的长度，最后根据正弦的定义代入计算即可。
（2）要求$C$、$D$的距离，观察图形可知$BC⊥ AB$，因此过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$，可证四边形$DMBN$是矩形，得到$DN$、$BN$的长度，进而求出$CN$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ CDN$中用勾股定理计算$CD$的长度即可。
【解析】
(1) 过点$D$作$DM ⊥ AB$于点$M$。
由题意得：$AD=30\sqrt{2}$海里，$∠ A=45°$，$BD=30\sqrt{5}$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ADM$中，$AM=DM=AD · \cos45°=30\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=30$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，由勾股定理得：$BM=\sqrt{BD^2-DM^2}=\sqrt{(30\sqrt{5})^2-30^2}=\sqrt{4500-900}=\sqrt{3600}=60$（海里）。
∴ $\sin∠ABD=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{30}{30\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$。
∵ $BC⊥ AB$，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，
∴四边形$DMBN$是矩形，
∴ $DN=BM=60$海里，$BN=DM=30$海里。
∵ $BC=75$海里，
∴ $CN=BC-BN=75-30=45$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ CDN$中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{CN^2+DN^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75$（海里）。
【答案】
(1) $\sin∠ABD=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；
(2) 小岛C、D之间的距离为75海里。
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合实际航海场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，注重考查基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求$\sin∠ABD$的值，根据锐角三角函数的定义，需要构造包含$∠ ABD$的直角三角形，因此过点$D$作$DM ⊥ AB$于点$M$。已知小岛$D$在$A$的东北方向，可得$∠ A=45°$，结合$AD$的长度可先求出$DM$、$AM$的长度，再利用勾股定理求出$BM$的长度，最后根据正弦的定义代入计算即可。
（2）要求$C$、$D$的距离，观察图形可知$BC⊥ AB$，因此过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$，可证四边形$DMBN$是矩形，得到$DN$、$BN$的长度，进而求出$CN$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ CDN$中用勾股定理计算$CD$的长度即可。
【解析】
(1) 过点$D$作$DM ⊥ AB$于点$M$。
由题意得：$AD=30\sqrt{2}$海里，$∠ A=45°$，$BD=30\sqrt{5}$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ADM$中，$AM=DM=AD · \cos45°=30\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=30$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，由勾股定理得：$BM=\sqrt{BD^2-DM^2}=\sqrt{(30\sqrt{5})^2-30^2}=\sqrt{4500-900}=\sqrt{3600}=60$（海里）。
∴ $\sin∠ABD=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{30}{30\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$。
∵ $BC⊥ AB$，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，
∴四边形$DMBN$是矩形，
∴ $DN=BM=60$海里，$BN=DM=30$海里。
∵ $BC=75$海里，
∴ $CN=BC-BN=75-30=45$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ CDN$中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{CN^2+DN^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75$（海里）。
【答案】
(1) $\sin∠ABD=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；
(2) 小岛C、D之间的距离为75海里。
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合实际航海场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，注重考查基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
