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1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BC=3$，$AC=5$，那么下列结论正确的是(
A.$\sin A=\dfrac{3}{4}$
B.$\cos A=\dfrac{4}{5}$
C.$\tan A=\dfrac{5}{4}$
D.$\tan A=\dfrac{4}{3}$
B
)。A.$\sin A=\dfrac{3}{4}$
B.$\cos A=\dfrac{4}{5}$
C.$\tan A=\dfrac{5}{4}$
D.$\tan A=\dfrac{4}{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的判断问题，解题思路如下：首先已知Rt△ABC的直角为∠B，给出两条边的长度，第一步先利用勾股定理求出未知直角边AB的长度；其次明确∠A的对边、邻边以及三角形的斜边分别对应哪条边；最后根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算各选项对应的三角函数值，和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
其中$∠A$的对边为$BC=3$，邻边为$AB=4$，斜边为$AC=5$，根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，故A选项错误；
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$，故B选项正确；
$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$，故C、D选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对勾股定理和锐角三角函数定义的掌握，只要明确各三角函数对应的边的比例关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的判断问题，解题思路如下：首先已知Rt△ABC的直角为∠B，给出两条边的长度，第一步先利用勾股定理求出未知直角边AB的长度；其次明确∠A的对边、邻边以及三角形的斜边分别对应哪条边；最后根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算各选项对应的三角函数值，和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
其中$∠A$的对边为$BC=3$，邻边为$AB=4$，斜边为$AC=5$，根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，故A选项错误；
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$，故B选项正确；
$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$，故C、D选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对勾股定理和锐角三角函数定义的掌握，只要明确各三角函数对应的边的比例关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
② 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$∠ A=α$，$BC=a$，那么$AC$等于（
A.$a\tanα$
B.$\dfrac{a}{\tanα}$
C.$a\sinα$
D.$a\cosα$
B
）。A.$a\tanα$
B.$\dfrac{a}{\tanα}$
C.$a\sinα$
D.$a\cosα$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题核心是熟练掌握锐角正切函数的定义。首先明确Rt△ABC中∠A的对边和邻边：∠C是直角，∠A=α，所以α的对边是BC，邻边是AC。再根据正切的定义列出关系式，最后对关系式变形就能求出AC的表达式。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切函数的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。
对于$∠ A=α$，它的对边是$BC=a$，邻边是$AC$，因此：
$\tanα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{AC}$
对上述式子变形求解$AC$，两边同时乘$AC$得：$AC·\tanα = a$，
两边同时除以$\tanα$得：$AC = \frac{a}{\tanα}$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正切函数的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数中正切定义的理解与应用，解题关键是准确区分对应角的对边和邻边，再通过简单的公式变形即可得到结果。
【难度系数】
0.9
这是一道解直角三角形的基础题，解题核心是熟练掌握锐角正切函数的定义。首先明确Rt△ABC中∠A的对边和邻边：∠C是直角，∠A=α，所以α的对边是BC，邻边是AC。再根据正切的定义列出关系式，最后对关系式变形就能求出AC的表达式。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切函数的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。
对于$∠ A=α$，它的对边是$BC=a$，邻边是$AC$，因此：
$\tanα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{AC}$
对上述式子变形求解$AC$，两边同时乘$AC$得：$AC·\tanα = a$，
两边同时除以$\tanα$得：$AC = \frac{a}{\tanα}$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正切函数的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数中正切定义的理解与应用，解题关键是准确区分对应角的对边和邻边，再通过简单的公式变形即可得到结果。
【难度系数】
0.9
3 如果α是锐角，则下列成立的是(
A.$\sinα + \cosα = 1$
B.$\sinα + \cosα ＜ 1$
C.$\sinα + \cosα ＞ 1$
D.$\sinα + \cosα ≤ 1$
C
)。A.$\sinα + \cosα = 1$
B.$\sinα + \cosα ＜ 1$
C.$\sinα + \cosα ＞ 1$
D.$\sinα + \cosα ≤ 1$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断锐角α的正弦与余弦的和的范围，我们可以结合锐角三角函数的定义，将三角函数值转化为直角三角形的边长比，再利用三角形三边关系推导结论，也可以通过代入特殊锐角的三角函数值验证排除错误选项。首先回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，再结合“三角形两边之和大于第三边”的性质即可推导大小关系。
【解析】
方法一：定义推导法
设锐角α为Rt△ABC的一个内角，∠C=90°，∠A=α，∠A的对边长为a，邻边长为b，斜边长为c。
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$
则$\sinα+\cosα=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$
因为$c＞0$，不等式两边同时除以c，不等号方向不变，因此$\frac{a+b}{c}＞1$，即$\sinα+\cosα＞1$。
方法二：特殊值验证法
取特殊锐角α=30°，则$\sin30°+\cos30°=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx1.366＞1$，可排除A、B、D选项，只有C符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义、三角形三边关系、不等式的性质
【点评】
本题是解直角三角形相关的基础题型，既可以通过概念推导得出结论，也可以用特殊值法快速解题，解题时要注意区分$\sinα+\cosα$与$\sin^2α+\cos^2α$的区别，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
要判断锐角α的正弦与余弦的和的范围，我们可以结合锐角三角函数的定义，将三角函数值转化为直角三角形的边长比，再利用三角形三边关系推导结论，也可以通过代入特殊锐角的三角函数值验证排除错误选项。首先回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，再结合“三角形两边之和大于第三边”的性质即可推导大小关系。
【解析】
方法一：定义推导法
设锐角α为Rt△ABC的一个内角，∠C=90°，∠A=α，∠A的对边长为a，邻边长为b，斜边长为c。
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$
则$\sinα+\cosα=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$
因为$c＞0$，不等式两边同时除以c，不等号方向不变，因此$\frac{a+b}{c}＞1$，即$\sinα+\cosα＞1$。
方法二：特殊值验证法
取特殊锐角α=30°，则$\sin30°+\cos30°=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx1.366＞1$，可排除A、B、D选项，只有C符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义、三角形三边关系、不等式的性质
【点评】
本题是解直角三角形相关的基础题型，既可以通过概念推导得出结论，也可以用特殊值法快速解题，解题时要注意区分$\sinα+\cosα$与$\sin^2α+\cos^2α$的区别，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
④ 如图，在矩形$ABCD$中，点$O$是对角线的交点，$AE ⊥ BD$，垂足为点$E$。若$OD=2OE$，$AE=\sqrt{3}$，则$DE$的长为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$3$
C.$4$
D.$\sqrt{3}+1$
B
)。A.$2\sqrt{3}$
B.$3$
C.$4$
D.$\sqrt{3}+1$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先从矩形的对角线性质入手，矩形对角线相等且互相平分，可得OA=OB=OD；结合已知OD=2OE，推出E是OB中点，再由AE⊥BD可知AE是OB的垂直平分线，得到OA=AB，进而判断△OAB为等边三角形，得到角度关系；最后在直角三角形AOE中用勾股定理求出OE、OD的长度，相加即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线相等且互相平分，即OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OD。
∵OD=2OE，
∴OB=2OE，即E为OB的中点，
又
∵AE⊥BD，
∴AE是OB的垂直平分线，
∴OA=AB，
∴OA=AB=OB，△OAB为等边三角形，
∴∠AOE=60°。
设OE=x，则OA=OD=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = OA^2$
将$AE=\sqrt{3}$代入得：
$(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$
$3 + x^2 = 4x^2$
$3x^2=3$，解得$x=1$（线段长度为正，舍去负根）
∴OE=1，OD=2x=2，
∴$DE=OD + OE=2+1=3$
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是结合矩形对角线性质和垂直关系推导出等边三角形，需要熟练掌握特殊几何图形的性质，灵活运用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的对角线性质入手，矩形对角线相等且互相平分，可得OA=OB=OD；结合已知OD=2OE，推出E是OB中点，再由AE⊥BD可知AE是OB的垂直平分线，得到OA=AB，进而判断△OAB为等边三角形，得到角度关系；最后在直角三角形AOE中用勾股定理求出OE、OD的长度，相加即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线相等且互相平分，即OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OD。
∵OD=2OE，
∴OB=2OE，即E为OB的中点，
又
∵AE⊥BD，
∴AE是OB的垂直平分线，
∴OA=AB，
∴OA=AB=OB，△OAB为等边三角形，
∴∠AOE=60°。
设OE=x，则OA=OD=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = OA^2$
将$AE=\sqrt{3}$代入得：
$(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$
$3 + x^2 = 4x^2$
$3x^2=3$，解得$x=1$（线段长度为正，舍去负根）
∴OE=1，OD=2x=2，
∴$DE=OD + OE=2+1=3$
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是结合矩形对角线性质和垂直关系推导出等边三角形，需要熟练掌握特殊几何图形的性质，灵活运用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
5 如图是商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图。其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(
A.$\frac{8}{3}\sqrt{3}$ m
B.4m
C.$4\sqrt{3}$ m
D.8m
B
)。A.$\frac{8}{3}\sqrt{3}$ m
B.4m
C.$4\sqrt{3}$ m
D.8m
答案
5.B
解析
【分析】
要求乘电梯从B到C上升的高度h，即求点C到AB所在水平线的竖直距离。解题思路如下：第一步，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于一点，构造出直角三角形；第二步，根据已知的∠ABC=150°，求出直角三角形中锐角的度数，得到特殊角30°；第三步，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，结合已知BC的长度，直接计算出高度h。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE即为上升高度h。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=8m，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$h=CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质，邻补角计算，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合直角三角形的特殊性质即可快速得出结果，解题时要注意结合实际场景理解“上升高度”的几何含义。
【难度系数】
0.8
要求乘电梯从B到C上升的高度h，即求点C到AB所在水平线的竖直距离。解题思路如下：第一步，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于一点，构造出直角三角形；第二步，根据已知的∠ABC=150°，求出直角三角形中锐角的度数，得到特殊角30°；第三步，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，结合已知BC的长度，直接计算出高度h。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE即为上升高度h。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=8m，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$h=CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质，邻补角计算，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合直角三角形的特殊性质即可快速得出结果，解题时要注意结合实际场景理解“上升高度”的几何含义。
【难度系数】
0.8
6 如图,起重机的机身高AB为20 m,吊杆AC的长为36 m,吊杆与水平线的夹角可以从$30°$转到$80°$,则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（
A.$(30\cos80° +20)\mathrm{ m}$和$36\tan30°\mathrm{ m}$
B.$(36\sin30° +20)\mathrm{ m}$和$36\cos30°\mathrm{ m}$
C.$36\sin80°\mathrm{ m}$和$36\cos30°\mathrm{ m}$
D.$(36\sin80° +20)\mathrm{ m}$和$36\cos30°\mathrm{ m}$
D
）。A.$(30\cos80° +20)\mathrm{ m}$和$36\tan30°\mathrm{ m}$
B.$(36\sin30° +20)\mathrm{ m}$和$36\cos30°\mathrm{ m}$
C.$36\sin80°\mathrm{ m}$和$36\cos30°\mathrm{ m}$
D.$(36\sin80° +20)\mathrm{ m}$和$36\cos30°\mathrm{ m}$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需将实际问题转化为解直角三角形问题：把吊杆AC看作直角三角形的斜边，吊杆与水平线的夹角为锐角，竖直方向升高的高度是该角的对边，水平延伸的距离是该角的邻边。①求最大高度：正弦值随角度增大而增大，因此夹角取最大值80°时，C点高出A点的竖直高度最大，再加上机身高AB即可得到离地面的最大高度；②求最远水平距离：余弦值随角度增大而减小，因此夹角取最小值30°时，C点与A点的水平距离最大，即离机身的最远水平距离。
【解析】
1. 求吊杆端点C离地面的最大高度：
当吊杆与水平线夹角为最大的80°时，C点高出A点的竖直高度为 $ AC · \sin80° = 36\sin80° \, \mathrm{m} $，
已知机身高 $ AB=20\,\mathrm{m} $，因此离地面的最大高度为 $ (36\sin80° +20)\,\mathrm{m} $。
2. 求吊杆端点C离机身的最远水平距离：
当吊杆与水平线夹角为最小的30°时，C点与A点的水平距离为 $ AC · \cos30° = 36\cos30° \, \mathrm{m} $，即离机身的最远水平距离为 $ 36\cos30° \, \mathrm{m} $。
综上，符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形应用、正弦的定义、余弦的定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的典型应用题，解题核心是结合三角函数的增减性判断最值对应的角度，再运用锐角三角函数的定义列式计算，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需将实际问题转化为解直角三角形问题：把吊杆AC看作直角三角形的斜边，吊杆与水平线的夹角为锐角，竖直方向升高的高度是该角的对边，水平延伸的距离是该角的邻边。①求最大高度：正弦值随角度增大而增大，因此夹角取最大值80°时，C点高出A点的竖直高度最大，再加上机身高AB即可得到离地面的最大高度；②求最远水平距离：余弦值随角度增大而减小，因此夹角取最小值30°时，C点与A点的水平距离最大，即离机身的最远水平距离。
【解析】
1. 求吊杆端点C离地面的最大高度：
当吊杆与水平线夹角为最大的80°时，C点高出A点的竖直高度为 $ AC · \sin80° = 36\sin80° \, \mathrm{m} $，
已知机身高 $ AB=20\,\mathrm{m} $，因此离地面的最大高度为 $ (36\sin80° +20)\,\mathrm{m} $。
2. 求吊杆端点C离机身的最远水平距离：
当吊杆与水平线夹角为最小的30°时，C点与A点的水平距离为 $ AC · \cos30° = 36\cos30° \, \mathrm{m} $，即离机身的最远水平距离为 $ 36\cos30° \, \mathrm{m} $。
综上，符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形应用、正弦的定义、余弦的定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的典型应用题，解题核心是结合三角函数的增减性判断最值对应的角度，再运用锐角三角函数的定义列式计算，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
7 已知在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{3}{4}$，AC=12，那么BC=
9
。答案
7.9
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考查的是直角三角形中锐角三角函数的应用，解题思路如下：第一步，先确定直角三角形中∠A的对边和邻边，因为∠C是直角，所以∠A的对边是BC，邻边是AC；第二步，回忆正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，据此列出关于BC的比例式；第三步，代入已知的tanA和AC的数值，计算即可求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}$，
将$\tan A=\frac{3}{4}$，$AC=12$代入上式得：
$\frac{BC}{12} = \frac{3}{4}$，
解得：$BC = 12 × \frac{3}{4} = 9$。
【答案】
9
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查锐角正切定义的直接应用，解题时只要准确找到对应锐角的对边和邻边，代入公式计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考查的是直角三角形中锐角三角函数的应用，解题思路如下：第一步，先确定直角三角形中∠A的对边和邻边，因为∠C是直角，所以∠A的对边是BC，邻边是AC；第二步，回忆正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，据此列出关于BC的比例式；第三步，代入已知的tanA和AC的数值，计算即可求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}$，
将$\tan A=\frac{3}{4}$，$AC=12$代入上式得：
$\frac{BC}{12} = \frac{3}{4}$，
解得：$BC = 12 × \frac{3}{4} = 9$。
【答案】
9
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查锐角正切定义的直接应用，解题时只要准确找到对应锐角的对边和邻边，代入公式计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
⑧ 已知∠A为锐角，且$\sin A = \frac{5}{13}$，则$\tan A = \_\_\_\_\_\_$。
答案
8.$\dfrac{5}{12}$
解析
【分析】
已知∠A是锐角且给出了sinA的值，要求tanA，我们可以从锐角三角函数的定义出发：sinA是直角三角形中∠A的对边与斜边的比值，tanA是∠A的对边与邻边的比值。我们可以先根据sinA的比值设出直角三角形中对边和斜边的长度，再通过勾股定理求出邻边长度，最后代入tanA的定义式计算即可；也可以先利用同角三角函数的平方关系求出cosA，再通过商数关系求tanA。
【解析】
方法1：利用锐角三角函数定义和勾股定理求解
∵ ∠A为锐角，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{5}{13}$
∴ 设∠A的对边长为$5k$，斜边长为$13k$（$k＞0$）
由勾股定理可得，∠A的邻边长为：
$\sqrt{(13k)^2 - (5k)^2}=\sqrt{169k^2 - 25k^2}=\sqrt{144k^2}=12k$
根据正切的定义：$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$
方法2：利用同角三角函数关系求解
∵ ∠A为锐角，
∴ $\cos A＞0$
由同角三角函数平方关系$\sin^2A + \cos^2A=1$，得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$
由商数关系$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$，得：
$\tan A=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、同角三角函数基本关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，两种解题方法都较为常用，解题时需注意锐角的各三角函数值均为正数，计算勾股定理或开平方时不要出现符号错误，同时要熟记三类锐角三角函数的定义避免混淆。
【难度系数】
0.85
已知∠A是锐角且给出了sinA的值，要求tanA，我们可以从锐角三角函数的定义出发：sinA是直角三角形中∠A的对边与斜边的比值，tanA是∠A的对边与邻边的比值。我们可以先根据sinA的比值设出直角三角形中对边和斜边的长度，再通过勾股定理求出邻边长度，最后代入tanA的定义式计算即可；也可以先利用同角三角函数的平方关系求出cosA，再通过商数关系求tanA。
【解析】
方法1：利用锐角三角函数定义和勾股定理求解
∵ ∠A为锐角，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{5}{13}$
∴ 设∠A的对边长为$5k$，斜边长为$13k$（$k＞0$）
由勾股定理可得，∠A的邻边长为：
$\sqrt{(13k)^2 - (5k)^2}=\sqrt{169k^2 - 25k^2}=\sqrt{144k^2}=12k$
根据正切的定义：$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$
方法2：利用同角三角函数关系求解
∵ ∠A为锐角，
∴ $\cos A＞0$
由同角三角函数平方关系$\sin^2A + \cos^2A=1$，得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$
由商数关系$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$，得：
$\tan A=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、同角三角函数基本关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，两种解题方法都较为常用，解题时需注意锐角的各三角函数值均为正数，计算勾股定理或开平方时不要出现符号错误，同时要熟记三类锐角三角函数的定义避免混淆。
【难度系数】
0.85
