5.「2026 江苏连云港东海期末」问题背景:对于一个函数,如果存在自变量$x=m$时,其对应的函数值$y=m$,那么我们称该函数为“稳定函数”,点$(m, m)$为该函数图象上的一个“稳定点”.例如:在函数$y=2x+1$中,当$x=-1$时,$y=-1$,故我们称函数$y=2x+1$为“稳定函数”,点$(-1,-1)$为该函数图象上的一个“稳定点”.某数学兴趣小组围绕该定义,对“稳定函数”进行了相关探究.
(1)根据你对“稳定函数”的理解,以下结论中,正确结论的序号是.
①$y=x+2$不是“稳定函数”;
②$y=-3x+2$是“稳定函数”,只有一个“稳定点”;
③$y=x$是“稳定函数”,有无数个“稳定点”.
(2)若“稳定函数”$y=mx+n$的图象上的一个“稳定点”为$(3,n-1)$,求$m,n$的值.
(3)一次函数$y=kx-3(k≠0)$不是“稳定函数”,图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,若$P$点为$x$轴上一动点,使得$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,求满足条件的$P$点坐标.

(1)①②③.
详解:①对于$y=x+2$,
∵ $m≠m+2$,
∴ $y=x+2$不是“稳定函数”.
②对于$y=-3x+2$,代入$(m,m)$,得$m=-3m+2$,解得$m=\frac{1}{2}$,
∴ $y=-3x+2$是“稳定函数”,只有一个“稳定点”.
③对于$y=x$,$m=m$恒成立,
∴ $y=x$是“稳定函数”,有无数个“稳定点”.
综上,正确结论的序号是①②③.
(2)由题意得$n-1=3$,
∴ $n=4$,
∴ $y=mx+n$的图象上的一个“稳定点”为$(3,3)$,
∴ $3=3m+4$,解得$m=-\frac{1}{3}$.
(3)
∵ $y=kx-3(k≠0)$不是“稳定函数”,
∴ 方程$m=km-3$无解,即$(1-k)m=-3$无解.
∴ $1-k=0$,
∴ $k=1$,
∴ $y=x-3$,
∴ $A(3,0)$,$B(0,-3)$,设$P(t,0)$,则$AP=|3-t|$,
∴ $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|3-t|×3=\frac{3|3-t|}{2}$,$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$,
∵ $S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,
∴ $|3-t|=9$,解得$t=12$或$t=-6$,
∴ 满足条件的$P$点坐标为$(-6,0)$或$(12,0)$.

6. 学科特色 分类讨论思想 「2026江苏盐城盐都第一共同体月考」平面直角坐标系$xOy$中有点$A$和点$P$，将点$P$绕点$A$顺时针旋转$90°$后得到点$Q$，则称点$Q$为点$P$关于点$A$的“链垂点”，图1中，点$P$关于点$A$的“链垂点”为$Q$。
(1)已知点$A$的坐标为$(0,0)$，点$P$关于点$A$的“链垂点”为$Q$。
①若点$P$的坐标为$(0,3)$，则点$Q$的坐标为。
②如图2，若点$Q$的坐标为$(2,-1)$，则点$P$的坐标为。
(2)已知点$C$的坐标为$(-2,0)$，点$D$在直线$y=-2x+4$上，若点$D$关于点$C$的“链垂点”$E$在坐标轴上，试求出点$D$的坐标。
(3)在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(-1,2)$，点$C$是$x$轴上的动点，点$A$关于点$C$的“链垂点”是点$B$，连接$BO,BA$。
①直接写出$BO+BA$的最小值。
②直接写出当$BO+BA$最小时点$C$的坐标。
备用图

(1)①$(3,0)$.②$(1,2)$.
(2)①当点$E$落在$x$轴上时,,则$CD⊥x$轴,
令$x=-2$,则$y=-2x+4=4+4=8$,
∴ 点$D(-2,8)$.
②,当点$E$落在$y$轴上时,过点$D$作$DH⊥x$轴于点$H$,设点$D(m,-2m+4)$,
∴ $∠DHC=∠COE=90°$,
∴ $∠CDH+∠DCH=90°$,
∵ $∠DCE=∠ECH+∠DCH=90°$,
∴ $∠CDH=∠ECH$,
∵ $CD=EC$,
∴ $△ CHD≌△ EOC(\mathrm{AAS})$,
∴ $DH=OC=2$,
∴ $-2m+4=2$,解得$m=1$,
∴ 点$D(1,2)$.
综上,点$D$的坐标为$(-2,8)$或$(1,2)$.
(3)①$\sqrt{13}$.
详解:,过点$B$作$BH⊥x$轴于点$H$,过点$A$作$AG⊥x$轴于点$G$,则$∠AGC=∠CHB=90°$,
∴ $∠BCH+∠CBH=90°$,
∵ $∠ACB=90°$,
∴ $∠ACG+∠BCH=90°$,
∴ $∠ACG=∠CBH$,
∵ $AC=CB$,
∴ $△ CHB≌△ AGC(\mathrm{AAS})$,
∴ $GC=HB$,$GA=HC$,设点$C$的坐标为$(n,0)$,
∵ $A(-1,2)$,
∴ $GC=HB=n+1$,$GA=HC=2$,
∴ 点$B(n+2,n+1)$,
∴ $BO+BA = \sqrt{(n+2)^2+(n+1)^2} + \sqrt{(n+2+1)^2+(n+1-2)^2} = \sqrt{(n+2)^2+(n+1)^2} + \sqrt{(n+3)^2+(n-1)^2}$,相当于在直线$y=x$上寻找一点$P(n,n)$,使点$P$到$N(-2,-1)$,$M(-3,1)$的距离和最小,作$N$关于直线$y=x$的对称点$N'(-1,-2)$,连接$PN'$,$MN'$,,
∴ $PM+PN=PM+PN'≥MN'$,
∵ $MN'=\sqrt{(-3+1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{13}$,
∴ $BO+BA$的最小值为$\sqrt{13}$.
②点$C$的坐标为$(-\frac{7}{5},0)$.
详解:设直线$MN'$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,
∵ $N'(-1,-2)$,$M(-3,1)$,
∴ $\begin{cases} -k+b=-2, \\ -3k+b=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{3}{2}, \\ b=-\frac{7}{2}, \end{cases}$
∴ 直线$MN'$的解析式为$y=-\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$,
令$x=-\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$,
解得$x=-\frac{7}{5}$,
∴ 当$BO+BA$最小时,点$C$的坐标为$(-\frac{7}{5},0)$.