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1. 掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（
A.1
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
D
）A.1
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是掷质地均匀的硬币时，只会出现正面朝上、正面朝下两种等可能的结果；二是每次掷硬币的结果是相互独立的，之前的投掷结果不会对后续的结果产生影响，不要被题干中“3次正面朝上，2次正面朝下”的条件迷惑，不能错误将过往的频率当作概率计算。后续按照等可能事件的概率公式，用正面朝下的情况数除以所有等可能的总情况数即可得到结果。
【解析】
解：
∵掷一枚质地均匀的硬币，只有正面朝上、正面朝下两种等可能的结果，且每次掷硬币的结果相互独立，不受之前5次投掷结果的影响，
∴再次掷出硬币时，共有2种等可能的结果，其中正面朝下的结果有1种，
根据等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{正面朝下})=\frac{\mathrm{正面朝下的情况数}}{\mathrm{所有等可能的总情况数}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义；等可能事件概率计算；频率与概率的区别
【点评】
本题属于易错题，不少同学会被前5次的投掷结果干扰，误将频率当成概率计算选错答案。解题的关键是明确概率是事件的固有属性，质地均匀的硬币每次掷出正、反面的概率始终相等，与之前的投掷结果无关。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心要点：一是掷质地均匀的硬币时，只会出现正面朝上、正面朝下两种等可能的结果；二是每次掷硬币的结果是相互独立的，之前的投掷结果不会对后续的结果产生影响，不要被题干中“3次正面朝上，2次正面朝下”的条件迷惑，不能错误将过往的频率当作概率计算。后续按照等可能事件的概率公式，用正面朝下的情况数除以所有等可能的总情况数即可得到结果。
【解析】
解：
∵掷一枚质地均匀的硬币，只有正面朝上、正面朝下两种等可能的结果，且每次掷硬币的结果相互独立，不受之前5次投掷结果的影响，
∴再次掷出硬币时，共有2种等可能的结果，其中正面朝下的结果有1种，
根据等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{正面朝下})=\frac{\mathrm{正面朝下的情况数}}{\mathrm{所有等可能的总情况数}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义；等可能事件概率计算；频率与概率的区别
【点评】
本题属于易错题，不少同学会被前5次的投掷结果干扰，误将频率当成概率计算选错答案。解题的关键是明确概率是事件的固有属性，质地均匀的硬币每次掷出正、反面的概率始终相等，与之前的投掷结果无关。
【难度系数】
0.7
2. (2025·湖南)某校开展了五类社团活动:舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧,现从中随机抽取一类社团活动进行展示,则抽中戏剧类社团活动的概率是（
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
D
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确随机抽取时每类社团被抽中的可能性相等，先确定所有等可能的总结果数，再确定抽中戏剧类社团的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到答案。
【解析】
解：已知共有舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧5类社团活动，随机抽取一类时，每一类被抽中的可能性相等，因此总共有5种等可能的结果。
其中抽中戏剧类社团的结果只有1种，根据等可能事件的概率公式：
$P(\mathrm{抽中戏剧})=\frac{\mathrm{抽中戏剧的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{5}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件的概率计算
【点评】
本题属于基础概率计算题，核心考查对等可能事件概率公式的运用，解题时只需准确统计总情况数和目标事件的情况数代入计算即可，是概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确随机抽取时每类社团被抽中的可能性相等，先确定所有等可能的总结果数，再确定抽中戏剧类社团的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到答案。
【解析】
解：已知共有舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧5类社团活动，随机抽取一类时，每一类被抽中的可能性相等，因此总共有5种等可能的结果。
其中抽中戏剧类社团的结果只有1种，根据等可能事件的概率公式：
$P(\mathrm{抽中戏剧})=\frac{\mathrm{抽中戏剧的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{5}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件的概率计算
【点评】
本题属于基础概率计算题，核心考查对等可能事件概率公式的运用，解题时只需准确统计总情况数和目标事件的情况数代入计算即可，是概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
3. (2025·北京)一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
A
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路清晰：首先明确摸球试验属于等可能试验，每个球被摸到的可能性相等；其次计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的结果总数；再确定摸出白球这个事件包含的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用白球的个数除以总球数即可得到所求概率。
【解析】
先计算袋子中球的总数量：$3+2+1=6$（个），所有等可能的摸球结果共有6种，其中摸出白球的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，可得摸出白球的概率为$\frac{1}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
概率计算公式；等可能事件判断
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的直接应用，解题时需注意准确统计总球数和对应事件的结果数，避免计数错误即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路清晰：首先明确摸球试验属于等可能试验，每个球被摸到的可能性相等；其次计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的结果总数；再确定摸出白球这个事件包含的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用白球的个数除以总球数即可得到所求概率。
【解析】
先计算袋子中球的总数量：$3+2+1=6$（个），所有等可能的摸球结果共有6种，其中摸出白球的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，可得摸出白球的概率为$\frac{1}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
概率计算公式；等可能事件判断
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的直接应用，解题时需注意准确统计总球数和对应事件的结果数，避免计数错误即可得分。
【难度系数】
0.9
4. (2025·苏州)一只不透明的袋子中,装有3个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$,则红球的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路为：首先明确等可能事件的概率公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数；已知白球个数和摸到白球的概率，我们可以设红球个数为未知数，用含未知数的式子表示出球的总个数，再代入概率公式列方程求解，最后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
设红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ (3+x) $个。
根据等可能事件概率公式，摸到白球的概率为：
$ P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{3+x} $
由题意得$ \frac{3}{3+x}=\frac{3}{5} $
解方程：
两边同乘$ 5(3+x) $去分母得：$ 15=3(3+x) $
展开得：$ 15=9+3x $
移项计算得：$ 3x=6 $，解得$ x=2 $
检验：当$ x=2 $时，$ 3+x=5≠0 $，且红球个数为正整数，符合实际意义。
因此红球个数为2，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列方程解应用题
【点评】
本题是概率计算的基础题型，结合方程思想求解，核心是准确掌握概率的计算公式，找准对应事件的情况数和总情况数，求解后注意检验结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路为：首先明确等可能事件的概率公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数；已知白球个数和摸到白球的概率，我们可以设红球个数为未知数，用含未知数的式子表示出球的总个数，再代入概率公式列方程求解，最后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
设红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ (3+x) $个。
根据等可能事件概率公式，摸到白球的概率为：
$ P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{3+x} $
由题意得$ \frac{3}{3+x}=\frac{3}{5} $
解方程：
两边同乘$ 5(3+x) $去分母得：$ 15=3(3+x) $
展开得：$ 15=9+3x $
移项计算得：$ 3x=6 $，解得$ x=2 $
检验：当$ x=2 $时，$ 3+x=5≠0 $，且红球个数为正整数，符合实际意义。
因此红球个数为2，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列方程解应用题
【点评】
本题是概率计算的基础题型，结合方程思想求解，核心是准确掌握概率的计算公式，找准对应事件的情况数和总情况数，求解后注意检验结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.9
5. 有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是
$\frac{1}{4}$
.答案
5. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要计算一次打开锁的概率，首先需要明确所有等可能的结果总数，再找出能一次打开锁的符合条件的结果数，最后根据等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算即可。首先确定总结果数：随机取1把钥匙有4种选择，随机选1把锁有2种选择，两者搭配得到所有等可能情况；再找符合条件的情况：只有拿到对应锁的正确钥匙时才能一次打开，共有2种符合条件的情况。
【解析】
第一步：计算所有等可能的结果总数
从4把钥匙中随机取1把，共有4种取法；从2把不同的锁中任选1把打开，共有2种选法，因此所有等可能的结果总数为$4×2=8$种。
第二步：计算一次打开锁的符合条件的结果数
已知有2把钥匙分别能打开这2把锁，即仅“取到开对应锁的正确钥匙”的情况能一次打开锁，共有2种符合条件的结果。
第三步：代入概率公式计算
$P(\mathrm{一次打开锁})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题考查等可能条件下概率的求解，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，避免漏算锁的选择情况导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算一次打开锁的概率，首先需要明确所有等可能的结果总数，再找出能一次打开锁的符合条件的结果数，最后根据等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算即可。首先确定总结果数：随机取1把钥匙有4种选择，随机选1把锁有2种选择，两者搭配得到所有等可能情况；再找符合条件的情况：只有拿到对应锁的正确钥匙时才能一次打开，共有2种符合条件的情况。
【解析】
第一步：计算所有等可能的结果总数
从4把钥匙中随机取1把，共有4种取法；从2把不同的锁中任选1把打开，共有2种选法，因此所有等可能的结果总数为$4×2=8$种。
第二步：计算一次打开锁的符合条件的结果数
已知有2把钥匙分别能打开这2把锁，即仅“取到开对应锁的正确钥匙”的情况能一次打开锁，共有2种符合条件的结果。
第三步：代入概率公式计算
$P(\mathrm{一次打开锁})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题考查等可能条件下概率的求解，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，避免漏算锁的选择情况导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
6. (2024·甘孜州)某校组织多项活动加强科学教育，八年级(一)班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生.现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为$\frac{3}{5}$，则第一批次确定的人员中，男生为
5
人.答案
6. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆等可能事件的概率计算公式：概率=所求情况数÷总情况数。我们可以设第一批次的男生人数为未知数，先分别计算出项目组的总人数、所有男生的总人数，再将其代入抽中男生的概率公式，列出一元一次方程求解即可，最后注意检验结果是否符合实际意义。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中男生为$ x $人。
1. 计算项目组总人数：$ 7 + 1 + 2 = 10 $（人）
2. 计算项目组男生总人数：第一批次男生$ x $人，加上第二批次的1名男生，共$ (x + 1) $人
3. 根据抽中男生的概率为$ \frac{3}{5} $，结合概率公式列方程：
$ \frac{x + 1}{10} = \frac{3}{5} $
4. 解方程：
两边同乘10得：$ x + 1 = 6 $
解得：$ x = 5 $
经检验，$ x=5 $符合实际情况。
【答案】
5
【知识点】
概率计算公式，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，解题核心是准确表示出总人数和男生总人数，再结合概率公式建立等量关系求解，考查学生对概率公式的理解应用能力和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等可能事件的概率计算公式：概率=所求情况数÷总情况数。我们可以设第一批次的男生人数为未知数，先分别计算出项目组的总人数、所有男生的总人数，再将其代入抽中男生的概率公式，列出一元一次方程求解即可，最后注意检验结果是否符合实际意义。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中男生为$ x $人。
1. 计算项目组总人数：$ 7 + 1 + 2 = 10 $（人）
2. 计算项目组男生总人数：第一批次男生$ x $人，加上第二批次的1名男生，共$ (x + 1) $人
3. 根据抽中男生的概率为$ \frac{3}{5} $，结合概率公式列方程：
$ \frac{x + 1}{10} = \frac{3}{5} $
4. 解方程：
两边同乘10得：$ x + 1 = 6 $
解得：$ x = 5 $
经检验，$ x=5 $符合实际情况。
【答案】
5
【知识点】
概率计算公式，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，解题核心是准确表示出总人数和男生总人数，再结合概率公式建立等量关系求解，考查学生对概率公式的理解应用能力和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
7. 已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个，从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2，0.3.
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）假设向纸箱中再放进红色球$ x $个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求$ x $的值.
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）假设向纸箱中再放进红色球$ x $个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求$ x $的值.
答案
7. （1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为:100×(1−0.2−0.3)=50(个)；（2）根据题意得:$\frac{20+x}{100+x}=0.5$,解得:$x=60$(个).
解析
【分析】
（1）解题思路：根据所有等可能事件的概率之和为1，先求出摸到蓝色球的概率，再结合总球数，用总球数乘蓝色球的概率就能得到蓝色球的个数。
（2）解题思路：先算出原有红色球的个数，加入x个红色球后，红色球总数变为原有红球数加x，总球数也变为原来的100个加x，再根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列出关于x的分式方程，解方程即可得到x的值，注意检验方程的解是否符合实际意义。
【解析】
（1）已知摸到红色球、黄色球的概率分别为0.2、0.3，根据概率的基本性质，摸到蓝色球的概率为：
$1 - 0.2 - 0.3 = 0.5$
总球数为100个，因此蓝色球的个数为：
$100 × 0.5 = 50$（个）
（2）原有红色球的个数为：$100 × 0.2 = 20$（个）
向纸箱中再放进红色球x个后，红色球总数为$(20+x)$个，总球数变为$(100+x)$个，此时取出红色球的概率为0.5，根据概率公式列方程得：
$\frac{20+x}{100+x} = 0.5$
方程两边同乘$(100+x)$（$100+x＞0$，符合实际意义），得：
$20 + x = 0.5(100 + x)$
展开计算：$20 + x = 50 + 0.5x$
移项合并同类项：$0.5x = 30$
解得：$x = 60$
检验：当$x=60$时，$100+x=160≠0$，且x为正整数，符合题意，因此$x=60$是原方程的解。
【答案】
（1）50个；（2）$x=60$
【知识点】
概率的基本性质，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题属于概率基础应用题，第一问直接利用概率和为1即可求解，第二问需要注意放入红球后不仅红球数量增加，总球数也会同步变化，列方程时避免遗漏总球数的改动即可，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：根据所有等可能事件的概率之和为1，先求出摸到蓝色球的概率，再结合总球数，用总球数乘蓝色球的概率就能得到蓝色球的个数。
（2）解题思路：先算出原有红色球的个数，加入x个红色球后，红色球总数变为原有红球数加x，总球数也变为原来的100个加x，再根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列出关于x的分式方程，解方程即可得到x的值，注意检验方程的解是否符合实际意义。
【解析】
（1）已知摸到红色球、黄色球的概率分别为0.2、0.3，根据概率的基本性质，摸到蓝色球的概率为：
$1 - 0.2 - 0.3 = 0.5$
总球数为100个，因此蓝色球的个数为：
$100 × 0.5 = 50$（个）
（2）原有红色球的个数为：$100 × 0.2 = 20$（个）
向纸箱中再放进红色球x个后，红色球总数为$(20+x)$个，总球数变为$(100+x)$个，此时取出红色球的概率为0.5，根据概率公式列方程得：
$\frac{20+x}{100+x} = 0.5$
方程两边同乘$(100+x)$（$100+x＞0$，符合实际意义），得：
$20 + x = 0.5(100 + x)$
展开计算：$20 + x = 50 + 0.5x$
移项合并同类项：$0.5x = 30$
解得：$x = 60$
检验：当$x=60$时，$100+x=160≠0$，且x为正整数，符合题意，因此$x=60$是原方程的解。
【答案】
（1）50个；（2）$x=60$
【知识点】
概率的基本性质，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题属于概率基础应用题，第一问直接利用概率和为1即可求解，第二问需要注意放入红球后不仅红球数量增加，总球数也会同步变化，列方程时避免遗漏总球数的改动即可，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
