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1. (2025·齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化,那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟和雄鸟的概率相等，且两次孵化的结果互不影响；其次可以通过列举法罗列出2枚鸟卵孵化后的所有等可能结果，再找出2只都是雄鸟的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出所求概率即可。
【解析】
解：已知每枚鸟卵孵化后雏鸟为雌、雄的概率相同，且两次孵化结果相互独立。
我们列举2枚鸟卵孵化的所有等可能结果：（雌，雌）、（雌，雄）、（雄，雌）、（雄，雄），共4种。
其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{2只都是雄鸟})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{4}$。
也可通过分步概率计算：第一枚孵化为雄鸟的概率为$\frac{1}{2}$，第二枚孵化为雄鸟的概率也为$\frac{1}{2}$，因此2只都是雄鸟的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，解题关键是正确梳理所有等可能的情况，牢记概率的计算公式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟和雄鸟的概率相等，且两次孵化的结果互不影响；其次可以通过列举法罗列出2枚鸟卵孵化后的所有等可能结果，再找出2只都是雄鸟的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出所求概率即可。
【解析】
解：已知每枚鸟卵孵化后雏鸟为雌、雄的概率相同，且两次孵化结果相互独立。
我们列举2枚鸟卵孵化的所有等可能结果：（雌，雌）、（雌，雄）、（雄，雌）、（雄，雄），共4种。
其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{2只都是雄鸟})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{4}$。
也可通过分步概率计算：第一枚孵化为雄鸟的概率为$\frac{1}{2}$，第二枚孵化为雄鸟的概率也为$\frac{1}{2}$，因此2只都是雄鸟的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，解题关键是正确梳理所有等可能的情况，牢记概率的计算公式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
2. (2025·兰州)现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着$d$，$t$，$l$的三张声母卡片，乙盒装有分别写着$a$，$e$，$i$的三张韵母卡片(卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同).若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是 (
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A
)A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的两步概率计算，解题思路如下：首先明确这是两步独立的随机抽取试验，第一步先统计所有等可能的结果总数，甲盒有3种抽取结果，乙盒有3种抽取结果，分步组合可得到总结果数；第二步结合“德”的拼音为dé，找到满足该读音的卡片组合只有声母d和韵母e这1种符合条件的情况；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
解：从甲盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，从乙盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，因此分别从甲、乙盒中各抽1张卡片，总共有$3×3=9$种等可能的结果。
“德”的拼音为dé，要拼成该读音，需从甲盒抽到卡片d，从乙盒抽到卡片e，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{9}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分步计数求总事件数
【点评】
本题结合汉语拼音的生活场景考查基础概率计算，难度较低，解题关键是准确统计总结果数和符合条件的结果数，避免因拼音记忆错误导致统计失误。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能条件下的两步概率计算，解题思路如下：首先明确这是两步独立的随机抽取试验，第一步先统计所有等可能的结果总数，甲盒有3种抽取结果，乙盒有3种抽取结果，分步组合可得到总结果数；第二步结合“德”的拼音为dé，找到满足该读音的卡片组合只有声母d和韵母e这1种符合条件的情况；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
解：从甲盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，从乙盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，因此分别从甲、乙盒中各抽1张卡片，总共有$3×3=9$种等可能的结果。
“德”的拼音为dé，要拼成该读音，需从甲盒抽到卡片d，从乙盒抽到卡片e，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{9}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分步计数求总事件数
【点评】
本题结合汉语拼音的生活场景考查基础概率计算，难度较低，解题关键是准确统计总结果数和符合条件的结果数，避免因拼音记忆错误导致统计失误。
【难度系数】
0.8
3. (2025·山西)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“
”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“
”回到格子A的概率是
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是$\frac{1}{2}$
。答案
3. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是两步随机事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确每次移动只有向左、向右2种等可能的选择，连续点击两次为两步独立的随机操作；我们可以通过树状图或列表法列举出两次移动的所有等可能结果，再从中筛选出最终回到格子A的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
我们用树状图列举所有等可能的移动情况：
1. 第一次点击：从格子A出发，有2种等可能的移动方向：向左、向右；
2. 第二次点击：
若第一次向左移动，第二次有向左、向右2种选择，其中向右移动可回到A；
若第一次向右移动，第二次有向左、向右2种选择，其中向左移动可回到A。
综上，两次移动共有 $2 × 2 = 4$ 种等可能的结果，其中能回到格子A的结果有2种（左→右、右→左）。
根据概率公式：
$P(\mathrm{回到格子A}) = \frac{\mathrm{回到A的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，两步概率计算
【点评】
本题属于概率基础常规题，核心考查对两步随机事件所有结果的列举能力，解题的关键是做到不重不漏地列出所有等可能的情况，再代入概率公式计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.75
本题是两步随机事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确每次移动只有向左、向右2种等可能的选择，连续点击两次为两步独立的随机操作；我们可以通过树状图或列表法列举出两次移动的所有等可能结果，再从中筛选出最终回到格子A的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
我们用树状图列举所有等可能的移动情况：
1. 第一次点击：从格子A出发，有2种等可能的移动方向：向左、向右；
2. 第二次点击：
若第一次向左移动，第二次有向左、向右2种选择，其中向右移动可回到A；
若第一次向右移动，第二次有向左、向右2种选择，其中向左移动可回到A。
综上，两次移动共有 $2 × 2 = 4$ 种等可能的结果，其中能回到格子A的结果有2种（左→右、右→左）。
根据概率公式：
$P(\mathrm{回到格子A}) = \frac{\mathrm{回到A的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，两步概率计算
【点评】
本题属于概率基础常规题，核心考查对两步随机事件所有结果的列举能力，解题的关键是做到不重不漏地列出所有等可能的情况，再代入概率公式计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.75
4. 如图，在标有数字1,2,3,4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是
$\frac{1}{6}$
。答案
4. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用概率公式求解，第一步先计算从4个方格中任选2个的所有等可能的总情况数，第二步筛选出两个方格数字之和为4的符合要求的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。计数时注意任选两个方格是不考虑先后顺序的，避免重复计数。
【解析】
1. 计算总情况数：从4个标有1、2、3、4的方格中任选2个，所有不重复的组合为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)，共6种等可能的结果。
2. 筛选符合条件的情况：计算各组合的数字和，仅1+3=4满足和为4的要求，即符合条件的情况只有1种。
3. 根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，代入得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式、组合计数、列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查等可能事件概率的计算，解题的关键是准确计数总情况数和符合条件的情况数，注意选取两个方格时无需考虑顺序，只要做到不重不漏计数即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用概率公式求解，第一步先计算从4个方格中任选2个的所有等可能的总情况数，第二步筛选出两个方格数字之和为4的符合要求的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。计数时注意任选两个方格是不考虑先后顺序的，避免重复计数。
【解析】
1. 计算总情况数：从4个标有1、2、3、4的方格中任选2个，所有不重复的组合为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)，共6种等可能的结果。
2. 筛选符合条件的情况：计算各组合的数字和，仅1+3=4满足和为4的要求，即符合条件的情况只有1种。
3. 根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，代入得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式、组合计数、列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查等可能事件概率的计算，解题的关键是准确计数总情况数和符合条件的情况数，注意选取两个方格时无需考虑顺序，只要做到不重不漏计数即可正确求解。
【难度系数】
0.7
5. (2025·常州)在5张相同的小纸条上，分别写有：①－1；②0；③1；④正数；⑤负数.将这5张小纸条做成5支签，①②③放在不透明的盒子A中搅匀，④⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的数与文字描述相符合的概率.
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是
$\frac{1}{3}$
；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的数与文字描述相符合的概率.
答案
5. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如下:
共有6种等可能的结果,其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种,即①⑤,③④,$\therefore$ 抽到的数与文字描述相符合的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.解析
【分析】
（1）盒子A中共有3支签，抽取时每支签被抽到的概率相等，抽到0的情况只有1种，直接用所求情况数除以总情况数即可得到对应概率。
（2）本题属于两步随机试验的概率计算问题，第一步从A盒抽取有3种等可能结果，第二步从B盒抽取有2种等可能结果，我们可以通过画树状图不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合正数、负数、0的定义，筛选出“数与文字描述相符合”的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）盒子A中共有3支等可能被抽到的签，其中写有0的签共1支，
因此抽到0的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意绘制树状图如下：
由树状图可得，总共有6种等可能的结果，分别为①④、①⑤、②④、②⑤、③④、③⑤。
其中数与文字描述相符合的结果有2种：①（数值为-1，是负数）搭配⑤（文字为负数），③（数值为1，是正数）搭配④（文字为正数）。
因此抽到的数与文字描述相符合的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如下:共有6种等可能的结果,其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种,即①⑤,③④,$\therefore$ 抽到的数与文字描述相符合的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，有理数的分类
【点评】
本题是概率基础题，既考查了单次抽取的简单概率计算，也考查了两步抽取的概率求解方法，解题的关键是准确列出所有等可能结果，同时结合有理数的分类知识正确筛选符合条件的结果，避免漏算或错算。
【难度系数】
0.7
（1）盒子A中共有3支签，抽取时每支签被抽到的概率相等，抽到0的情况只有1种，直接用所求情况数除以总情况数即可得到对应概率。
（2）本题属于两步随机试验的概率计算问题，第一步从A盒抽取有3种等可能结果，第二步从B盒抽取有2种等可能结果，我们可以通过画树状图不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合正数、负数、0的定义，筛选出“数与文字描述相符合”的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）盒子A中共有3支等可能被抽到的签，其中写有0的签共1支，
因此抽到0的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意绘制树状图如下：
由树状图可得，总共有6种等可能的结果，分别为①④、①⑤、②④、②⑤、③④、③⑤。
其中数与文字描述相符合的结果有2种：①（数值为-1，是负数）搭配⑤（文字为负数），③（数值为1，是正数）搭配④（文字为正数）。
因此抽到的数与文字描述相符合的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如下:
共有6种等可能的结果,其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种,即①⑤,③④,$\therefore$ 抽到的数与文字描述相符合的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.【知识点】
概率公式，树状图法求概率，有理数的分类
【点评】
本题是概率基础题，既考查了单次抽取的简单概率计算，也考查了两步抽取的概率求解方法，解题的关键是准确列出所有等可能结果，同时结合有理数的分类知识正确筛选符合条件的结果，避免漏算或错算。
【难度系数】
0.7
6. (2025·江西)校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是
B
；A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
答案
6. (1) B (2) 设有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A,B,C,D表示,树状图如图所示:
由上可得,一共有12种等可能性,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的可能性有2种,$\therefore$ 两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.解析
【分析】
（1）首先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取1个盲盒，有可能抽到“数独”，也有可能抽不到，符合随机事件的特征，据此判断即可。
（2）首先将四个盲盒对应的游戏分别记为A（幻方）、B（数独）、C（华容道）、D（鲁班锁），因为抽取后盲盒作废，属于不放回抽样，先列第一个同学抽取的所有可能，再列第二个同学对应抽取的剩余可能，得到所有等可能的结果数，再统计两人恰好抽中华容道和鲁班锁的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
（1）随机抽取一个盲盒，可能抽到“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”中的任意一种，所以恰好抽到“数独”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选B。
（2）设“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A、B、C、D表示，根据题意画树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种（即(C,D)和(D,C)），代入概率公式计算即可得到所求概率。
【答案】
(1) B
(2) 设有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A,B,C,D表示,树状图如图所示:由上可得,一共有12种等可能性,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的可能性有2种,$\therefore$ 两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，第一问主要考查对不同类型事件的区分，熟记定义即可快速解答；第二问需要注意抽取盲盒后作废属于不放回试验，不要错误按放回试验计算总情况数，掌握树状图或列表法罗列所有等可能结果是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取1个盲盒，有可能抽到“数独”，也有可能抽不到，符合随机事件的特征，据此判断即可。
（2）首先将四个盲盒对应的游戏分别记为A（幻方）、B（数独）、C（华容道）、D（鲁班锁），因为抽取后盲盒作废，属于不放回抽样，先列第一个同学抽取的所有可能，再列第二个同学对应抽取的剩余可能，得到所有等可能的结果数，再统计两人恰好抽中华容道和鲁班锁的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
（1）随机抽取一个盲盒，可能抽到“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”中的任意一种，所以恰好抽到“数独”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选B。
（2）设“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A、B、C、D表示，根据题意画树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种（即(C,D)和(D,C)），代入概率公式计算即可得到所求概率。
【答案】
(1) B
(2) 设有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用A,B,C,D表示,树状图如图所示:
由上可得,一共有12种等可能性,其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的可能性有2种,$\therefore$ 两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.【知识点】
事件的分类；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，第一问主要考查对不同类型事件的区分，熟记定义即可快速解答；第二问需要注意抽取盲盒后作废属于不放回试验，不要错误按放回试验计算总情况数，掌握树状图或列表法罗列所有等可能结果是解题的关键。
【难度系数】
0.7
