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1. 下列式子是一元二次方程的是 （
A.$x^2 -2x -3$
B.$ax^2 +1=0$
C.$5 -x(x-1)=5$
D.$xy=5$
C
）A.$x^2 -2x -3$
B.$ax^2 +1=0$
C.$5 -x(x-1)=5$
D.$xy=5$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断式子是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的4个判定条件：①是含等号的整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时按照“先判断是否为方程→再判断未知数个数→最后判断最高次数与二次项系数”的顺序，逐个排除不符合要求的选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
选项A：$x^2-2x-3$是多项式，没有等号，不属于方程，不符合要求；
选项B：$ax^2+1=0$未注明$a≠0$，若$a=0$，方程变为$1=0$，不是一元二次方程，不符合要求；
选项C：先整理方程$5 -x(x-1)=5$，展开得$5-x^2+x=5$，移项化简为$x^2-x=0$，满足只含1个未知数、最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0的要求，属于一元二次方程；
选项D：$xy=5$含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程识别、方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元二次方程的判定要点，尤其要注意二次项系数不为0的隐含条件，对于形式不直观的方程要先化简再判断。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的4个判定条件：①是含等号的整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时按照“先判断是否为方程→再判断未知数个数→最后判断最高次数与二次项系数”的顺序，逐个排除不符合要求的选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
选项A：$x^2-2x-3$是多项式，没有等号，不属于方程，不符合要求；
选项B：$ax^2+1=0$未注明$a≠0$，若$a=0$，方程变为$1=0$，不是一元二次方程，不符合要求；
选项C：先整理方程$5 -x(x-1)=5$，展开得$5-x^2+x=5$，移项化简为$x^2-x=0$，满足只含1个未知数、最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0的要求，属于一元二次方程；
选项D：$xy=5$含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程识别、方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元二次方程的判定要点，尤其要注意二次项系数不为0的隐含条件，对于形式不直观的方程要先化简再判断。
【难度系数】
0.8
2. 某高速(限速120 km/h)某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为:118，107，109，120，118，116(单位:km/h)，则这组数据的众数为 （
A.107
B.109
C.116
D.118
D
）A.107
B.109
C.116
D.118
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查众数的求解，解题核心是明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时先统计每个数据在这组数据中出现的次数，找到出现次数最多的数，即为这组数据的众数。
【解析】
首先统计6个车速的出现次数：107出现1次，109出现1次，116出现1次，118出现2次，120出现1次。其中118出现的次数最多，因此这组数据的众数是118，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数的概念
【点评】
本题属于基础题型，直接考查众数的基本定义，掌握众数的判定方法即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查众数的求解，解题核心是明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时先统计每个数据在这组数据中出现的次数，找到出现次数最多的数，即为这组数据的众数。
【解析】
首先统计6个车速的出现次数：107出现1次，109出现1次，116出现1次，118出现2次，120出现1次。其中118出现的次数最多，因此这组数据的众数是118，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数的概念
【点评】
本题属于基础题型，直接考查众数的基本定义，掌握众数的判定方法即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. (2025·德州)在平面直角坐标系中，函数$y=-\dfrac{1}{|x|}$的图象是（
C
）答案
3. C
解析
【分析】
要判断函数$y=-\dfrac{1}{|x|}$的图象，可按以下思路分析：首先根据绝对值的性质确定函数值的符号，缩小选项范围；再分$x＞0$和$x＜0$两种情况去绝对值，结合反比例函数的图象特征验证剩余选项即可。首先，$|x|≥0$且$x≠0$，因此$|x|＞0$，可得$y=-\dfrac{1}{|x|}＜0$，说明图象上所有点的纵坐标均为负数，直接排除存在$y＞0$部分的选项；再分别分析$x＞0$和$x＜0$时的函数图象，匹配正确选项。
【解析】
1. 确定函数值符号：由解析式可知$x≠0$，且$|x|＞0$，因此$y=-\dfrac{1}{|x|}＜0$，即图象仅出现在第三、四象限，据此排除有第一、二象限图象的选项A、B、D。
2. 验证选项C：
当$x＞0$时，$|x|=x$，函数化为$y=-\dfrac{1}{x}\ (x＞0)$，是反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$位于第四象限的分支，$y$随$x$的增大而增大，与C的第四象限部分一致；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，函数化为$y=\dfrac{1}{x}\ (x＜0)$，是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$位于第三象限的分支，$y$随$x$的增大而增大，与C的第三象限部分一致。
因此选项C符合题意。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数图象的典型判断题，解题核心是先通过函数值的符号快速排除错误选项，再通过分类讨论去绝对值，结合反比例函数的图象特征锁定正确答案，能有效考查学生对基础知识的应用能力和分类讨论思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要判断函数$y=-\dfrac{1}{|x|}$的图象，可按以下思路分析：首先根据绝对值的性质确定函数值的符号，缩小选项范围；再分$x＞0$和$x＜0$两种情况去绝对值，结合反比例函数的图象特征验证剩余选项即可。首先，$|x|≥0$且$x≠0$，因此$|x|＞0$，可得$y=-\dfrac{1}{|x|}＜0$，说明图象上所有点的纵坐标均为负数，直接排除存在$y＞0$部分的选项；再分别分析$x＞0$和$x＜0$时的函数图象，匹配正确选项。
【解析】
1. 确定函数值符号：由解析式可知$x≠0$，且$|x|＞0$，因此$y=-\dfrac{1}{|x|}＜0$，即图象仅出现在第三、四象限，据此排除有第一、二象限图象的选项A、B、D。
2. 验证选项C：
当$x＞0$时，$|x|=x$，函数化为$y=-\dfrac{1}{x}\ (x＞0)$，是反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$位于第四象限的分支，$y$随$x$的增大而增大，与C的第四象限部分一致；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，函数化为$y=\dfrac{1}{x}\ (x＜0)$，是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$位于第三象限的分支，$y$随$x$的增大而增大，与C的第三象限部分一致。
因此选项C符合题意。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数图象的典型判断题，解题核心是先通过函数值的符号快速排除错误选项，再通过分类讨论去绝对值，结合反比例函数的图象特征锁定正确答案，能有效考查学生对基础知识的应用能力和分类讨论思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\odot O$的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为6.5 cm，则直线l和$\odot O$的公共点个数为 （
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
C
）A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确考点是直线与圆的位置关系判定。我们可以通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，判断直线和圆的位置，进而得到公共点个数：当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；当d=r时，直线与圆相切，有1个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。接下来代入题中给出的d和r的数值比较大小，就能得出结论。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
由题意可知：r=7cm，d=6.5cm。
∵6.5cm ＜ 7cm，即d ＜ r，
∴直线l与⊙O相交，
相交状态下直线与圆有2个公共点，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握距离d与半径r的大小关系对应的位置特征和交点个数，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确考点是直线与圆的位置关系判定。我们可以通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，判断直线和圆的位置，进而得到公共点个数：当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；当d=r时，直线与圆相切，有1个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。接下来代入题中给出的d和r的数值比较大小，就能得出结论。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
由题意可知：r=7cm，d=6.5cm。
∵6.5cm ＜ 7cm，即d ＜ r，
∴直线l与⊙O相交，
相交状态下直线与圆有2个公共点，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握距离d与半径r的大小关系对应的位置特征和交点个数，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.若设这次会议到会的人数为x人,依题意可列方程 （
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
B.$\frac{1}{2}(1+x)^2=66$
C.$x(1+x)=66$
D.$x(x-1)=66$
A
）A.$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
B.$\frac{1}{2}(1+x)^2=66$
C.$x(1+x)=66$
D.$x(x-1)=66$
答案
5. A
解析
【分析】
本题属于握手类计数列方程问题，解题思路如下：首先明确参会总人数为x时，每个人不需要和自己握手，因此每人要和其余(x-1)人各握手1次；其次注意握手是双向行为，甲与乙握手、乙与甲握手属于同一次，直接用总人数乘每人握手次数会将每一次握手重复统计1次，需要除以2消除重复；最后结合总握手次数为66次，即可列出对应方程。
【解析】
设这次会议到会的人数为x人。
1. 每个人需和除自己外的(x-1)人握手，若不考虑重复统计，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 每一次握手会被参与的两个人各计算1次，即实际每一次握手被重复算了2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知一共握了66次手，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=66$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；重复计数处理
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题关键是注意握手的双向性，避免重复计数，掌握这类计数模型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.75
本题属于握手类计数列方程问题，解题思路如下：首先明确参会总人数为x时，每个人不需要和自己握手，因此每人要和其余(x-1)人各握手1次；其次注意握手是双向行为，甲与乙握手、乙与甲握手属于同一次，直接用总人数乘每人握手次数会将每一次握手重复统计1次，需要除以2消除重复；最后结合总握手次数为66次，即可列出对应方程。
【解析】
设这次会议到会的人数为x人。
1. 每个人需和除自己外的(x-1)人握手，若不考虑重复统计，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 每一次握手会被参与的两个人各计算1次，即实际每一次握手被重复算了2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知一共握了66次手，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=66$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；重复计数处理
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题关键是注意握手的双向性，避免重复计数，掌握这类计数模型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.75
6. (2024·西藏)如图，AC为$\odot O$的直径，点B，D在$\odot O$上，$∠ ABD=60°$，$CD=2$，则AD的长为（
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
C
）A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先利用同弧所对的圆周角相等，将已知的∠ABD转化为△ADC中的内角∠ACD；再根据直径所对的圆周角为直角，确定△ADC是直角三角形；最后在直角三角形中利用三角函数关系求出AD的长度。思考时要先关联圆的性质和已知条件的联系，再结合直角三角形的计算方法求解。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。
∵∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD=60°。
2. 根据直径的性质：直径所对的圆周角是直角。
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形。
3. 在Rt△ADC中，已知CD=2，∠ACD=60°，
由正切的定义得$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
代入数值可得：$AD=CD·\tan60°=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆和直角三角形结合的基础题型，核心是通过圆周角性质把已知角转移到直角三角形中，再利用三角函数计算边长，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先利用同弧所对的圆周角相等，将已知的∠ABD转化为△ADC中的内角∠ACD；再根据直径所对的圆周角为直角，确定△ADC是直角三角形；最后在直角三角形中利用三角函数关系求出AD的长度。思考时要先关联圆的性质和已知条件的联系，再结合直角三角形的计算方法求解。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。
∵∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD=60°。
2. 根据直径的性质：直径所对的圆周角是直角。
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形。
3. 在Rt△ADC中，已知CD=2，∠ACD=60°，
由正切的定义得$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
代入数值可得：$AD=CD·\tan60°=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆和直角三角形结合的基础题型，核心是通过圆周角性质把已知角转移到直角三角形中，再利用三角函数计算边长，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
7. (2024·甘南州)如图，AB是$\odot O$的直径，DB，DE分别切$\odot O$于点B，C，若$∠ ACE=18°$，则$∠ D$的度数是（
A.$18°$
B.$36°$
C.$48°$
D.$72°$
B
）A.$18°$
B.$36°$
C.$48°$
D.$72°$
答案
7. B
解析
【分析】
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角，逐步推导相关角度：①首先连接过切点C的半径OC，由切线垂直过切点的半径可得OC⊥ED；②结合已知∠ACE=18°求出∠OCA的度数，再根据OA=OC（同圆半径相等）得到等腰△OAC，推出∠OAC的度数；③利用邻补角关系求出圆心角∠BOC的度数；④最后结合DB也是切线得到OB⊥BD，在四边形OBDC中利用内角和即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，即∠OCE=90°，
∵∠ACE=18°，
∴∠OCA=∠OCE - ∠ACE=90°-18°=72°，
∵OA=OC（同圆的半径相等），
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=72°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-72°×2=36°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-36°=144°，
又
∵DB切⊙O于点B，
∴OB⊥BD，即∠OBD=90°，
在四边形OBDC中，内角和为360°，
∴∠D=360°-∠OBD-∠OCD-∠BOC=360°-90°-90°-144°=36°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题，解题关键是连接过切点的半径构造直角，再结合等腰三角形、多边形内角和的相关知识逐步推导，熟练掌握切线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角，逐步推导相关角度：①首先连接过切点C的半径OC，由切线垂直过切点的半径可得OC⊥ED；②结合已知∠ACE=18°求出∠OCA的度数，再根据OA=OC（同圆半径相等）得到等腰△OAC，推出∠OAC的度数；③利用邻补角关系求出圆心角∠BOC的度数；④最后结合DB也是切线得到OB⊥BD，在四边形OBDC中利用内角和即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，即∠OCE=90°，
∵∠ACE=18°，
∴∠OCA=∠OCE - ∠ACE=90°-18°=72°，
∵OA=OC（同圆的半径相等），
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=72°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-72°×2=36°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-36°=144°，
又
∵DB切⊙O于点B，
∴OB⊥BD，即∠OBD=90°，
在四边形OBDC中，内角和为360°，
∴∠D=360°-∠OBD-∠OCD-∠BOC=360°-90°-90°-144°=36°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题，解题关键是连接过切点的半径构造直角，再结合等腰三角形、多边形内角和的相关知识逐步推导，熟练掌握切线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在边长为$\sqrt{2}$的正八边形ABCDEFGH中,已知I,J,K,L分别是边AH,BC,DE,FG上的动点,且满足$IA=JC=KE=LG$,则四边形IJKL面积的最大值为（
A.$4+2\sqrt{2}$
B.$2+2\sqrt{2}$
C.$4+\sqrt{2}$
D.$2+4\sqrt{2}$
A
）A.$4+2\sqrt{2}$
B.$2+2\sqrt{2}$
C.$4+\sqrt{2}$
D.$2+4\sqrt{2}$
答案
8. A
解析
【分析】
解决本题首先利用正八边形的对称性，设相同的线段长$IA=JC=KE=LG=x$，通过建立平面直角坐标系表示出四个动点的坐标，再用鞋带公式将四边形$IJKL$的面积转化为关于$x$的二次函数，最后根据二次函数开口向下的性质，在顶点处取得最大值即可求解。
【解析】
边长为$\sqrt{2}$的正八边形可看作边长为$2+\sqrt{2}$的正方形剪去4个直角边长为1的等腰直角三角形得到，建立平面直角坐标系后可得各边端点坐标：
$A(-\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2})$、$H(\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2})$；$B(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$、$C(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$；$D(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$、$E(\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$；$F(1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$、$G(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$。
设$IA=JC=KE=LG=x(0≤ x≤\sqrt{2})$，可得四个动点坐标：
$I(-\frac{\sqrt{2}}{2}+x,1+\frac{\sqrt{2}}{2})$，$J(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}+x)$，$K(\frac{\sqrt{2}}{2}-x,-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$，$L(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}-x)$。
代入鞋带公式计算四边形面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_4+y_4x_1)\right|\\&=-2x^2+2\sqrt{2}x+4+2\sqrt{2}\end{aligned}$
该二次函数开口向下，当$x=\frac{2\sqrt{2}}{2×2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$S$取最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+4+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
正八边形性质，二次函数最值，坐标法求面积
【点评】
本题结合正多边形性质与二次函数最值考查，解题核心是通过建立坐标系将几何面积问题转化为代数函数问题，体现了数形结合的思想，计算时注意坐标代入的准确性。
【难度系数】
0.4
解决本题首先利用正八边形的对称性，设相同的线段长$IA=JC=KE=LG=x$，通过建立平面直角坐标系表示出四个动点的坐标，再用鞋带公式将四边形$IJKL$的面积转化为关于$x$的二次函数，最后根据二次函数开口向下的性质，在顶点处取得最大值即可求解。
【解析】
边长为$\sqrt{2}$的正八边形可看作边长为$2+\sqrt{2}$的正方形剪去4个直角边长为1的等腰直角三角形得到，建立平面直角坐标系后可得各边端点坐标：
$A(-\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2})$、$H(\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2})$；$B(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$、$C(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$；$D(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$、$E(\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$；$F(1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$、$G(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$。
设$IA=JC=KE=LG=x(0≤ x≤\sqrt{2})$，可得四个动点坐标：
$I(-\frac{\sqrt{2}}{2}+x,1+\frac{\sqrt{2}}{2})$，$J(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}+x)$，$K(\frac{\sqrt{2}}{2}-x,-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$，$L(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}-x)$。
代入鞋带公式计算四边形面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_4+y_4x_1)\right|\\&=-2x^2+2\sqrt{2}x+4+2\sqrt{2}\end{aligned}$
该二次函数开口向下，当$x=\frac{2\sqrt{2}}{2×2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$S$取最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+4+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
正八边形性质，二次函数最值，坐标法求面积
【点评】
本题结合正多边形性质与二次函数最值考查，解题核心是通过建立坐标系将几何面积问题转化为代数函数问题，体现了数形结合的思想，计算时注意坐标代入的准确性。
【难度系数】
0.4
