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5. 在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{\sqrt{2}}{x}(x＜0)$与$y=x+1$的图象交于点$P(a,b)$，则代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值是（
A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$
B
）A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
遇到两个函数图象交点的问题，首先要明确交点坐标同时满足两个函数的解析式。本题要求代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值，可先将该代数式通分变形为$\frac{b-a}{ab}$，再通过交点坐标满足两个解析式的关系，分别求出$ab$和$b-a$的值，最后整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵点$P(a,b)$是函数$y=\frac{\sqrt{2}}{x}(x＜0)$与$y=x+1$的图象交点，
∴将$P(a,b)$代入$y=\frac{\sqrt{2}}{x}$，得$b=\frac{\sqrt{2}}{a}$，整理得$ab=\sqrt{2}$；
将$P(a,b)$代入$y=x+1$，得$b=a+1$，整理得$b-a=1$。
对所求代数式变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$
将$ab=\sqrt{2}$，$b-a=1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象交点的性质
2. 分式化简求值
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的应用，避免了求解二元方程组的繁琐计算，掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式是解题的核心，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.7
遇到两个函数图象交点的问题，首先要明确交点坐标同时满足两个函数的解析式。本题要求代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值，可先将该代数式通分变形为$\frac{b-a}{ab}$，再通过交点坐标满足两个解析式的关系，分别求出$ab$和$b-a$的值，最后整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵点$P(a,b)$是函数$y=\frac{\sqrt{2}}{x}(x＜0)$与$y=x+1$的图象交点，
∴将$P(a,b)$代入$y=\frac{\sqrt{2}}{x}$，得$b=\frac{\sqrt{2}}{a}$，整理得$ab=\sqrt{2}$；
将$P(a,b)$代入$y=x+1$，得$b=a+1$，整理得$b-a=1$。
对所求代数式变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$
将$ab=\sqrt{2}$，$b-a=1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象交点的性质
2. 分式化简求值
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的应用，避免了求解二元方程组的繁琐计算，掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式是解题的核心，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.7
6.如图,在平面直角坐标系中,直线$y_1=ax+b(a≠0)$与双曲线$y_2=\frac{k}{x}$交于点$A(-1,m),B(2,-1)$,则满足$y_1≤y_2$的$x$的取值范围是
$-1≤x＜0$或$x≥2$
。答案
6.$-1≤x＜0$或$x≥2$
解析
【分析】
要确定满足$y_1≤ y_2$的$x$的取值范围，本质是找直线图象在双曲线图象下方（含交点）对应的$x$范围。解题思路如下：第一步，先利用已知交点$B$的坐标求出反比例函数的解析式；第二步，将点$A$的横坐标代入反比例函数解析式，求出$m$的值，得到点$A$的完整坐标；第三步，结合两个函数的图象位置，分$x＜0$和$x＞0$两个区间（反比例函数自变量$x≠0$）观察满足条件的$x$范围，注意排除无意义的$x=0$。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：将$B(2,-1)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$-1=\frac{k}{2}$，解得$k=-2$，因此双曲线解析式为$y_2=-\frac{2}{x}$。
2. 求点$A$的坐标：将$A(-1,m)$代入$y_2=-\frac{2}{x}$，得$m=-\frac{2}{-1}=2$，即$A(-1,2)$。
3. 结合图象判断取值范围：
当$x＜0$时，观察第二象限内的图象，当$-1≤ x＜0$时，直线$y_1$位于双曲线$y_2$下方（含交点$A$），满足$y_1≤ y_2$；
当$x＞0$时，观察第四象限内的图象，当$x≥2$时，直线$y_1$位于双曲线$y_2$下方（含交点$B$），满足$y_1≤ y_2$。
综上，满足$y_1≤ y_2$的$x$的取值范围是$-1≤ x＜0$或$x≥2$。
【答案】
$-1≤x＜0$或$x≥2$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数与反比例函数交点问题，利用函数图象解不等式
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题的核心是将函数值的大小关系转化为图象的上下位置关系，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的限制，避免出现区间端点错误。
【难度系数】
0.7
要确定满足$y_1≤ y_2$的$x$的取值范围，本质是找直线图象在双曲线图象下方（含交点）对应的$x$范围。解题思路如下：第一步，先利用已知交点$B$的坐标求出反比例函数的解析式；第二步，将点$A$的横坐标代入反比例函数解析式，求出$m$的值，得到点$A$的完整坐标；第三步，结合两个函数的图象位置，分$x＜0$和$x＞0$两个区间（反比例函数自变量$x≠0$）观察满足条件的$x$范围，注意排除无意义的$x=0$。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：将$B(2,-1)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$-1=\frac{k}{2}$，解得$k=-2$，因此双曲线解析式为$y_2=-\frac{2}{x}$。
2. 求点$A$的坐标：将$A(-1,m)$代入$y_2=-\frac{2}{x}$，得$m=-\frac{2}{-1}=2$，即$A(-1,2)$。
3. 结合图象判断取值范围：
当$x＜0$时，观察第二象限内的图象，当$-1≤ x＜0$时，直线$y_1$位于双曲线$y_2$下方（含交点$A$），满足$y_1≤ y_2$；
当$x＞0$时，观察第四象限内的图象，当$x≥2$时，直线$y_1$位于双曲线$y_2$下方（含交点$B$），满足$y_1≤ y_2$。
综上，满足$y_1≤ y_2$的$x$的取值范围是$-1≤ x＜0$或$x≥2$。
【答案】
$-1≤x＜0$或$x≥2$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数与反比例函数交点问题，利用函数图象解不等式
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题的核心是将函数值的大小关系转化为图象的上下位置关系，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的限制，避免出现区间端点错误。
【难度系数】
0.7
7.(2025·南京)已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$，则当$1≤x≤3$时，$\frac{y}{x}$的最小值是
x
B
$\frac{2}{3}$
。x
B
答案
7.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要计算$1≤x≤3$时$\frac{y}{x}$的最小值，首先将已知的反比例函数解析式$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$，将其转化为仅含x的代数式，再分析该代数式在给定x范围内的增减性，根据增减性确定取最小值时x的取值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简所求表达式
已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$，将其代入$\frac{y}{x}$可得：
$\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
2. 分析增减性
当$1≤x≤3$时，x为正数，随x增大，$x^2$的值逐渐增大，因此$\frac{6}{x^2}$的值逐渐减小，即$\frac{6}{x^2}$在区间$[1,3]$内随x的增大而减小。
3. 计算最小值
根据增减性规律，当x取区间最大值时，$\frac{6}{x^2}$取得最小值。
x的最大值为3，代入得：
最小值$=\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，函数最值计算，代数式化简
【点评】
本题解题核心是通过代换将含双变量的所求式转化为仅含自变量x的表达式，结合自变量取值范围分析表达式的增减性即可求出最值，需要熟练掌握函数增减性的判断规律。
【难度系数】
0.7
要计算$1≤x≤3$时$\frac{y}{x}$的最小值，首先将已知的反比例函数解析式$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$，将其转化为仅含x的代数式，再分析该代数式在给定x范围内的增减性，根据增减性确定取最小值时x的取值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简所求表达式
已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$，将其代入$\frac{y}{x}$可得：
$\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
2. 分析增减性
当$1≤x≤3$时，x为正数，随x增大，$x^2$的值逐渐增大，因此$\frac{6}{x^2}$的值逐渐减小，即$\frac{6}{x^2}$在区间$[1,3]$内随x的增大而减小。
3. 计算最小值
根据增减性规律，当x取区间最大值时，$\frac{6}{x^2}$取得最小值。
x的最大值为3，代入得：
最小值$=\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，函数最值计算，代数式化简
【点评】
本题解题核心是通过代换将含双变量的所求式转化为仅含自变量x的表达式，结合自变量取值范围分析表达式的增减性即可求出最值，需要熟练掌握函数增减性的判断规律。
【难度系数】
0.7
8. 如图，一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象相交于点$A(\frac{1}{3},6),B(n,1)$。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)若一次函数的图象与$x$轴交于点$C$，点$D$与点$C$关于原点$O$对称，点$M$在反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象上。当$S_{△ OCM}:S_{△ ACD}=1:3$时，请求出点$M$的坐标。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)若一次函数的图象与$x$轴交于点$C$，点$D$与点$C$关于原点$O$对称，点$M$在反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象上。当$S_{△ OCM}:S_{△ ACD}=1:3$时，请求出点$M$的坐标。
答案
8.解:(1)把$(\frac{1}{3},6)$代入$y=\frac{a}{x}$,得$6=\frac{a}{\frac{1}{3}}$,解得$a=2$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.
把$(n,1)$代入$y=\frac{2}{x}$,得$n=2$,$\therefore B(2,1)$.
把$(\frac{1}{3},6),(2,1)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}\frac{1}{3}k+b=6,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\b=7,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-3x+7$.
(2)当$y=0$时,$0=-3x+7$,解得$x=\frac{7}{3}$,
$\therefore C(\frac{7}{3},0)$,$\therefore D(-\frac{7}{3},0)$,$\therefore CD=\frac{14}{3}$.
设$M(x,\frac{2}{x})$,
$\because S_{△ OCM}:S_{△ ACD}=1:3$,$\therefore \frac{\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×|\frac{2}{x}|}{\frac{1}{2}×\frac{14}{3}×6}=\frac{1}{3}$,
解得$x=±\frac{1}{2}$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(\frac{1}{2},4)$或$(-\frac{1}{2},-4)$.
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.
把$(n,1)$代入$y=\frac{2}{x}$,得$n=2$,$\therefore B(2,1)$.
把$(\frac{1}{3},6),(2,1)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}\frac{1}{3}k+b=6,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\b=7,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-3x+7$.
(2)当$y=0$时,$0=-3x+7$,解得$x=\frac{7}{3}$,
$\therefore C(\frac{7}{3},0)$,$\therefore D(-\frac{7}{3},0)$,$\therefore CD=\frac{14}{3}$.
设$M(x,\frac{2}{x})$,
$\because S_{△ OCM}:S_{△ ACD}=1:3$,$\therefore \frac{\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×|\frac{2}{x}|}{\frac{1}{2}×\frac{14}{3}×6}=\frac{1}{3}$,
解得$x=±\frac{1}{2}$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(\frac{1}{2},4)$或$(-\frac{1}{2},-4)$.
解析
【分析】
(1) 求解两个函数表达式可按顺序计算：首先反比例函数仅需一个已知点即可确定解析式，先将点$A(\frac{1}{3},6)$代入反比例函数$y=\frac{a}{x}$求出$a$的值，得到反比例函数解析式；再将点$B(n,1)$代入已求出的反比例函数，解得$n$的取值，得到点$B$的完整坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组即可求出$k$、$b$的值，得到一次函数解析式。
(2) 先求一次函数与$x$轴交点$C$：令一次函数中$y=0$，解出$x$的值得到点$C$坐标，再根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，得到点$D$的坐标；$△ ACD$的底为$CD$的长度，高为点$A$的纵坐标，可直接计算面积；$△ OCM$的底为$OC$的长度，高为点$M$纵坐标的绝对值，设点$M$坐标为$(x,\frac{2}{x})$，根据两个三角形的面积比列方程求解，注意绝对值对应两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(\frac{1}{3},6)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$6=\frac{a}{\frac{1}{3}}$，解得$a=2$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
把$B(n,1)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$1=\frac{2}{n}$，解得$n=2$，$\therefore B(2,1)$。
把$A(\frac{1}{3},6)$、$B(2,1)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}\frac{1}{3}k+b=6\\2k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-3\\b=7\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-3x+7$。
(2) 对于一次函数$y=-3x+7$，当$y=0$时，$0=-3x+7$，解得$x=\frac{7}{3}$，
$\therefore C(\frac{7}{3},0)$，
$\because$点$D$与点$C$关于原点$O$对称，$\therefore D(-\frac{7}{3},0)$，则$CD=\frac{7}{3}-(-\frac{7}{3})=\frac{14}{3}$。
设点$M$的坐标为$(x,\frac{2}{x})$，
$\because S_{△ OCM}:S_{△ ACD}=1:3$，
$\therefore \frac{\frac{1}{2}×OC×|\frac{2}{x}|}{\frac{1}{2}×CD×y_A}=\frac{1}{3}$，代入数据得$\frac{\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×|\frac{2}{x}|}{\frac{1}{2}×\frac{14}{3}×6}=\frac{1}{3}$，
解得$x=\pm\frac{1}{2}$，
当$x=\frac{1}{2}$时，$\frac{2}{x}=4$；当$x=-\frac{1}{2}$时，$\frac{2}{x}=-4$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-3x+7}$；
(2) 点$M$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{2},4)}$或$\boldsymbol{(-\frac{1}{2},-4)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，侧重对基础方法的考查，解题的核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，处理坐标与面积结合的问题时，要注意绝对值的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解两个函数表达式可按顺序计算：首先反比例函数仅需一个已知点即可确定解析式，先将点$A(\frac{1}{3},6)$代入反比例函数$y=\frac{a}{x}$求出$a$的值，得到反比例函数解析式；再将点$B(n,1)$代入已求出的反比例函数，解得$n$的取值，得到点$B$的完整坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组即可求出$k$、$b$的值，得到一次函数解析式。
(2) 先求一次函数与$x$轴交点$C$：令一次函数中$y=0$，解出$x$的值得到点$C$坐标，再根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，得到点$D$的坐标；$△ ACD$的底为$CD$的长度，高为点$A$的纵坐标，可直接计算面积；$△ OCM$的底为$OC$的长度，高为点$M$纵坐标的绝对值，设点$M$坐标为$(x,\frac{2}{x})$，根据两个三角形的面积比列方程求解，注意绝对值对应两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(\frac{1}{3},6)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$6=\frac{a}{\frac{1}{3}}$，解得$a=2$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
把$B(n,1)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$1=\frac{2}{n}$，解得$n=2$，$\therefore B(2,1)$。
把$A(\frac{1}{3},6)$、$B(2,1)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}\frac{1}{3}k+b=6\\2k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-3\\b=7\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-3x+7$。
(2) 对于一次函数$y=-3x+7$，当$y=0$时，$0=-3x+7$，解得$x=\frac{7}{3}$，
$\therefore C(\frac{7}{3},0)$，
$\because$点$D$与点$C$关于原点$O$对称，$\therefore D(-\frac{7}{3},0)$，则$CD=\frac{7}{3}-(-\frac{7}{3})=\frac{14}{3}$。
设点$M$的坐标为$(x,\frac{2}{x})$，
$\because S_{△ OCM}:S_{△ ACD}=1:3$，
$\therefore \frac{\frac{1}{2}×OC×|\frac{2}{x}|}{\frac{1}{2}×CD×y_A}=\frac{1}{3}$，代入数据得$\frac{\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×|\frac{2}{x}|}{\frac{1}{2}×\frac{14}{3}×6}=\frac{1}{3}$，
解得$x=\pm\frac{1}{2}$，
当$x=\frac{1}{2}$时，$\frac{2}{x}=4$；当$x=-\frac{1}{2}$时，$\frac{2}{x}=-4$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-3x+7}$；
(2) 点$M$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{2},4)}$或$\boldsymbol{(-\frac{1}{2},-4)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，侧重对基础方法的考查，解题的核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，处理坐标与面积结合的问题时，要注意绝对值的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$P,Q$两点.点$P(-4,3)$,点$Q$的纵坐标为$-2$.
求:(1)反比例函数与一次函数的表达式;
(2)$△ POQ$的面积.
求:(1)反比例函数与一次函数的表达式;
(2)$△ POQ$的面积.
答案
9.解:(1)将$(-4,3)$代入$y=\frac{k}{x}$,
得$k=-4×3=-12$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$.
将$y=-2$代入$y=-\frac{12}{x}$,得$-2=-\frac{12}{x}$,
$\therefore x=6$,$\therefore Q(6,-2)$.
将$(-4,3)$和$(6,-2)$分别代入$y=ax+b$,得
$\begin{cases}-4a+b=3,\\6a+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+1$.
(2)如答图,设$PQ$与$y$轴交于点M.
在$y=-\frac{1}{2}x+1$中,当$x=0$时,$y=1$,$\therefore OM=1$,
$\therefore S_{△ POQ}=S_{△ POM}+S_{△ OMQ}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×1×6=5$.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式时，先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将已知点P的坐标代入反比例函数解析式求出k值，即可得到反比例函数表达式；再将Q点的纵坐标代入反比例函数表达式，求出Q点的横坐标，得到Q点完整坐标；最后将P、Q两点坐标代入一次函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数的表达式。
(2) 求△POQ的面积时，由于△POQ没有边在坐标轴上，直接计算面积较复杂，因此采用割补法：先找到一次函数与y轴的交点M，得到OM的长度，将△POQ拆分为△POM和△QOM两个三角形，两个三角形共底OM，高分别为P点横坐标的绝对值和Q点横坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和即可得到△POQ的面积。
【解析】
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式：
将点$P(-4,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k = -4 × 3 = -12$
因此反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$。
已知点Q在反比例函数图象上，且纵坐标为-2，将$y=-2$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$-2 = -\frac{12}{x}$
解得$x=6$，即Q点坐标为$(6,-2)$。
将$P(-4,3)$、$Q(6,-2)$代入一次函数$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} -4a + b = 3 \\ 6a + b = -2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=1\end{cases}$，因此一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x +1$。
(2) 求△POQ的面积：
设一次函数$y=-\frac{1}{2}x +1$的图象与y轴交于点M，
当$x=0$时，代入一次函数表达式得$y=1$，即$OM=1$，
则$S_{△ POQ} = S_{△ POM} + S_{△ QOM}$，
代入数值计算得：$S_{△ POQ}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×1×6=5$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x +1}$；
(2) $△ POQ$的面积为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及利用割补法求解坐标系中不规则三角形面积的技巧，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的前提，掌握割补法简化面积计算能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式时，先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将已知点P的坐标代入反比例函数解析式求出k值，即可得到反比例函数表达式；再将Q点的纵坐标代入反比例函数表达式，求出Q点的横坐标，得到Q点完整坐标；最后将P、Q两点坐标代入一次函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数的表达式。
(2) 求△POQ的面积时，由于△POQ没有边在坐标轴上，直接计算面积较复杂，因此采用割补法：先找到一次函数与y轴的交点M，得到OM的长度，将△POQ拆分为△POM和△QOM两个三角形，两个三角形共底OM，高分别为P点横坐标的绝对值和Q点横坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和即可得到△POQ的面积。
【解析】
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式：
将点$P(-4,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$k = -4 × 3 = -12$
因此反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$。
已知点Q在反比例函数图象上，且纵坐标为-2，将$y=-2$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$-2 = -\frac{12}{x}$
解得$x=6$，即Q点坐标为$(6,-2)$。
将$P(-4,3)$、$Q(6,-2)$代入一次函数$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} -4a + b = 3 \\ 6a + b = -2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=1\end{cases}$，因此一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x +1$。
(2) 求△POQ的面积：
设一次函数$y=-\frac{1}{2}x +1$的图象与y轴交于点M，
当$x=0$时，代入一次函数表达式得$y=1$，即$OM=1$，
则$S_{△ POQ} = S_{△ POM} + S_{△ QOM}$，
代入数值计算得：$S_{△ POQ}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×1×6=5$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x +1}$；
(2) $△ POQ$的面积为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及利用割补法求解坐标系中不规则三角形面积的技巧，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的前提，掌握割补法简化面积计算能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
