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1.如图,下列用配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$的四个步骤中,出现错误的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.D
解析
【分析】
我们要判断配方法解方程的步骤是否正确，首先回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：1.将二次项系数化为1；2.移项，把常数项移到方程右侧；3.配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式；4.开平方求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数。我们按照这个标准逐一检查四个步骤即可找到错误步骤。
【解析】
我们逐步骤验证：
1. 验证步骤①：原方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$，两边同时乘2得$x^2 -2x -4=0$，移项后可得$x^2 -2x=4$，步骤①正确。
2. 验证步骤②：对$x^2 -2x=4$配方，一次项系数为-2，它的一半的平方是$(-1)^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2 -2x +1=4+1=5$，步骤②正确。
3. 验证步骤③：根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，即$(x-1)^2=5$，步骤③正确。
4. 验证步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方，得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1+\sqrt{5}$或$x=1-\sqrt{5}$，题中步骤④只写出了一个正根，漏了负根，所以步骤④错误。
综上，出现错误的是步骤④。
【答案】
D
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.平方根的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，易错点是开平方时容易遗漏负数根，熟练掌握配方法的步骤和平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
我们要判断配方法解方程的步骤是否正确，首先回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：1.将二次项系数化为1；2.移项，把常数项移到方程右侧；3.配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式；4.开平方求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数。我们按照这个标准逐一检查四个步骤即可找到错误步骤。
【解析】
我们逐步骤验证：
1. 验证步骤①：原方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$，两边同时乘2得$x^2 -2x -4=0$，移项后可得$x^2 -2x=4$，步骤①正确。
2. 验证步骤②：对$x^2 -2x=4$配方，一次项系数为-2，它的一半的平方是$(-1)^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2 -2x +1=4+1=5$，步骤②正确。
3. 验证步骤③：根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，即$(x-1)^2=5$，步骤③正确。
4. 验证步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方，得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1+\sqrt{5}$或$x=1-\sqrt{5}$，题中步骤④只写出了一个正根，漏了负根，所以步骤④错误。
综上，出现错误的是步骤④。
【答案】
D
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.平方根的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，易错点是开平方时容易遗漏负数根，熟练掌握配方法的步骤和平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$时，配方正确的是（
A.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
B.$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x-2)^2=5$
A
）A.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
B.$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x-2)^2=5$
答案
2.A
解析
【分析】
要选出配方法后的正确结果，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导：首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，之后方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后匹配选项即可。
【解析】
对原方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移至等号右侧：$2x^2 - 4x = 1$
2. 二次项系数化为1，等式两边同时除以2：$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$
3. 配方，等式两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项得：$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
对比选项可知A符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方时等式两边需同时加同一个数，避免漏算右侧常数项导致错误。
【难度系数】
0.8
要选出配方法后的正确结果，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导：首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，之后方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后匹配选项即可。
【解析】
对原方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移至等号右侧：$2x^2 - 4x = 1$
2. 二次项系数化为1，等式两边同时除以2：$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$
3. 配方，等式两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项得：$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
对比选项可知A符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方时等式两边需同时加同一个数，避免漏算右侧常数项导致错误。
【难度系数】
0.8
3.若一元二次方程$2x^2 + ax + b = 0$配方后为$(x - 1)^2 = 2$，则$ab=$
8
.答案
3.8
解析
【分析】
要计算ab的值，需先求出a、b的取值。已知两个方程是同一个一元二次方程的不同表达形式，因此对应项的系数相等。解题时先将配方后的方程展开整理为一般形式，再调整二次项系数与原方程一致，通过对应系数相等求出a、b，最后代入计算ab即可。
【解析】
首先展开配方后的方程$(x - 1)^2 = 2$：
左边展开得：$x^2 - 2x + 1 = 2$
移项整理为一般形式：$x^2 - 2x - 1 = 0$
将方程两边同时乘2，使二次项系数与原方程$2x^2 + ax + b = 0$一致：
$2x^2 - 4x - 2 = 0$
对比两个方程的对应项系数，可得：$a = -4$，$b = -2$
因此$ab = (-4) × (-2) = 8$
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程的配方法
2. 多项式对应系数相等
3. 等式的性质
【点评】
本题是配方法的逆用题型，解题核心是明确等价的一元二次方程对应项系数相等，计算时注意符号不要出错，掌握配方法的基本运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算ab的值，需先求出a、b的取值。已知两个方程是同一个一元二次方程的不同表达形式，因此对应项的系数相等。解题时先将配方后的方程展开整理为一般形式，再调整二次项系数与原方程一致，通过对应系数相等求出a、b，最后代入计算ab即可。
【解析】
首先展开配方后的方程$(x - 1)^2 = 2$：
左边展开得：$x^2 - 2x + 1 = 2$
移项整理为一般形式：$x^2 - 2x - 1 = 0$
将方程两边同时乘2，使二次项系数与原方程$2x^2 + ax + b = 0$一致：
$2x^2 - 4x - 2 = 0$
对比两个方程的对应项系数，可得：$a = -4$，$b = -2$
因此$ab = (-4) × (-2) = 8$
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程的配方法
2. 多项式对应系数相等
3. 等式的性质
【点评】
本题是配方法的逆用题型，解题核心是明确等价的一元二次方程对应项系数相等，计算时注意符号不要出错，掌握配方法的基本运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.将一元二次方程$3x^2 + bx + c = 0$配方为$(x + m)^2 = p$，若$2\pm\sqrt{3}$是该方程的两个根，则$p$的值是
3
.答案
4.3
解析
【分析】
解题时可以从配方后方程的根的形式入手：将一元二次方程配方为$(x+m)^2=p$的形式后，直接开平方即可得到根的形式为$x=-m\pm\sqrt{p}$，和题目给出的根$2\pm\sqrt{3}$对比，就能直接找到$\sqrt{p}$的取值，进而求出$p$的值，不需要额外计算$b$、$c$的数值，简化运算。
【解析】
已知方程配方后为$(x+m)^2=p$，对该式直接开平方，得：
$x+m=\pm\sqrt{p}$
移项可得方程的根为$x=-m\pm\sqrt{p}$
又已知该方程的两个根为$2\pm\sqrt{3}$，将两种根的形式对比可得：$\sqrt{p}=\sqrt{3}$
两边同时平方，解得$p=3$
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题考查配方法的应用，核心是掌握配方后方程的根的结构特征，通过对比根的形式可以快速求解，避免了不必要的计算，体现了数学中整体对应思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时可以从配方后方程的根的形式入手：将一元二次方程配方为$(x+m)^2=p$的形式后，直接开平方即可得到根的形式为$x=-m\pm\sqrt{p}$，和题目给出的根$2\pm\sqrt{3}$对比，就能直接找到$\sqrt{p}$的取值，进而求出$p$的值，不需要额外计算$b$、$c$的数值，简化运算。
【解析】
已知方程配方后为$(x+m)^2=p$，对该式直接开平方，得：
$x+m=\pm\sqrt{p}$
移项可得方程的根为$x=-m\pm\sqrt{p}$
又已知该方程的两个根为$2\pm\sqrt{3}$，将两种根的形式对比可得：$\sqrt{p}=\sqrt{3}$
两边同时平方，解得$p=3$
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题考查配方法的应用，核心是掌握配方后方程的根的结构特征，通过对比根的形式可以快速求解，避免了不必要的计算，体现了数学中整体对应思想的应用。
【难度系数】
0.7
5. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^2 - x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 3 = 7x$；
(3)$(2x - 1)(x + 3) = 4$；
(4)$2x^2 + 3x - 5 = 0$；
(5)$4x^2 + 8x + 3 = 0$；
(6)$-2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$。
(1)$2x^2 - x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 3 = 7x$；
(3)$(2x - 1)(x + 3) = 4$；
(4)$2x^2 + 3x - 5 = 0$；
(5)$4x^2 + 8x + 3 = 0$；
(6)$-2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$。
答案
5.解:(1)移项,得$2x^{2}-x=1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$,开平方,得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=1$.
(2)移项,得$2x^{2}-7x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(\frac{7}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{25}{16}$,开平方,得$x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$,
所以$x_{1}=3,x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)整理,得$2x^{2}+5x=7$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{5}{2}x+(\frac{5}{4})^{2}=\frac{7}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{81}{16}$,开平方,得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{2}$.
(4)移项,得$2x^{2}+3x=5$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=\frac{5}{2}+(\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{49}{16}$,开平方,得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{7}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{5}{2}$.
(5)移项,得$4x^{2}+8x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+2x=-\frac{3}{4}$,
配方,得$x^{2}+2x+1=-\frac{3}{4}+1$,即$(x+1)^{2}=\frac{1}{4}$,
开平方,得$x+1=\pm\frac{1}{2}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=-\frac{3}{2}$.
(6)移项,得$-2x^{2}+2\sqrt{2}x=-1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\sqrt{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\sqrt{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$,
即$(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=1$,开平方,得$x-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$,
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$.
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$,开平方,得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=1$.
(2)移项,得$2x^{2}-7x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(\frac{7}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{25}{16}$,开平方,得$x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$,
所以$x_{1}=3,x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)整理,得$2x^{2}+5x=7$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{5}{2}x+(\frac{5}{4})^{2}=\frac{7}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{81}{16}$,开平方,得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{2}$.
(4)移项,得$2x^{2}+3x=5$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=\frac{5}{2}+(\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{49}{16}$,开平方,得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{7}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{5}{2}$.
(5)移项,得$4x^{2}+8x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+2x=-\frac{3}{4}$,
配方,得$x^{2}+2x+1=-\frac{3}{4}+1$,即$(x+1)^{2}=\frac{1}{4}$,
开平方,得$x+1=\pm\frac{1}{2}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=-\frac{3}{2}$.
(6)移项,得$-2x^{2}+2\sqrt{2}x=-1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\sqrt{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\sqrt{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$,
即$(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=1$,开平方,得$x-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$,
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程遵循通用解题步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx=c$（$a\ne0$）的形式，若原方程是乘积形式先展开、移项合并同类项，若二次项系数为负可先调整符号；②将二次项系数化为1，即方程左右两边同时除以二次项系数；③配方：方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，得到$(x+m)^2=n$的形式；④若$n\ge0$，直接开平方求解，若$n＜0$则方程无实根。本题6个小题均满足$n\ge0$，按上述步骤逐一求解即可。
【解析】
(1)移项,得$2x^{2}-x=1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$,开平方,得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=1$.
(2)移项,得$2x^{2}-7x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(\frac{7}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{25}{16}$,开平方,得$x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$,
所以$x_{1}=3,x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)整理,得$2x^{2}+5x=7$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{5}{2}x+(\frac{5}{4})^{2}=\frac{7}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{81}{16}$,开平方,得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{2}$.
(4)移项,得$2x^{2}+3x=5$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=\frac{5}{2}+(\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{49}{16}$,开平方,得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{7}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{5}{2}$.
(5)移项,得$4x^{2}+8x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+2x=-\frac{3}{4}$,
配方,得$x^{2}+2x+1=-\frac{3}{4}+1$,即$(x+1)^{2}=\frac{1}{4}$,
开平方,得$x+1=\pm\frac{1}{2}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=-\frac{3}{2}$.
(6)移项,得$-2x^{2}+2\sqrt{2}x=-1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\sqrt{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\sqrt{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$,
即$(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=1$,开平方,得$x-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$,
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$；
(2)$x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=1,x_2=-\frac{7}{2}$；
(4)$x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}$；
(5)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(6)$x_1=\frac{\sqrt{2}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的基本性质
【点评】
本组题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了不同初始形式的一元二次方程，熟练掌握固定解题步骤即可顺利求解，解题时需注意配方时不要漏加等号右侧的常数项，一次项系数一半的平方计算要准确。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程遵循通用解题步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx=c$（$a\ne0$）的形式，若原方程是乘积形式先展开、移项合并同类项，若二次项系数为负可先调整符号；②将二次项系数化为1，即方程左右两边同时除以二次项系数；③配方：方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，得到$(x+m)^2=n$的形式；④若$n\ge0$，直接开平方求解，若$n＜0$则方程无实根。本题6个小题均满足$n\ge0$，按上述步骤逐一求解即可。
【解析】
(1)移项,得$2x^{2}-x=1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$,开平方,得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=1$.
(2)移项,得$2x^{2}-7x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$,
配方,得$x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(\frac{7}{4})^{2}$,
即$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{25}{16}$,开平方,得$x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$,
所以$x_{1}=3,x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)整理,得$2x^{2}+5x=7$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{5}{2}x+(\frac{5}{4})^{2}=\frac{7}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{81}{16}$,开平方,得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{2}$.
(4)移项,得$2x^{2}+3x=5$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$,
配方,得$x^{2}+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=\frac{5}{2}+(\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{49}{16}$,开平方,得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{7}{4}$,
所以$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{5}{2}$.
(5)移项,得$4x^{2}+8x=-3$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+2x=-\frac{3}{4}$,
配方,得$x^{2}+2x+1=-\frac{3}{4}+1$,即$(x+1)^{2}=\frac{1}{4}$,
开平方,得$x+1=\pm\frac{1}{2}$,
所以$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=-\frac{3}{2}$.
(6)移项,得$-2x^{2}+2\sqrt{2}x=-1$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-\sqrt{2}x=\frac{1}{2}$,
配方,得$x^{2}-\sqrt{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$,
即$(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=1$,开平方,得$x-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$,
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$；
(2)$x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=1,x_2=-\frac{7}{2}$；
(4)$x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}$；
(5)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(6)$x_1=\frac{\sqrt{2}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的基本性质
【点评】
本组题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了不同初始形式的一元二次方程，熟练掌握固定解题步骤即可顺利求解，解题时需注意配方时不要漏加等号右侧的常数项，一次项系数一半的平方计算要准确。
【难度系数】
0.7
6. 用配方法解下列方程时，有错误的是 （
A.$4y^2 + 4y -1 =0$ 化为 $(y+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$
B.$2x^2 -7x -4=0$ 化为 $(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
C.$2t^2 -3t -2=0$ 化为 $(t-\frac{2}{3})^2=\frac{25}{16}$
D.$3y^2 -4y +1=0$ 化为 $(y-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$
C
）A.$4y^2 + 4y -1 =0$ 化为 $(y+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$
B.$2x^2 -7x -4=0$ 化为 $(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
C.$2t^2 -3t -2=0$ 化为 $(t-\frac{2}{3})^2=\frac{25}{16}$
D.$3y^2 -4y +1=0$ 化为 $(y-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$
答案
6.C
解析
【分析】
这道题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路是逐个对每个选项的方程按照配方法的标准步骤演算，再和选项给出的配方结果对比，找出错误的选项。配方法的核心步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右边；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，合并右边的常数后对比结果即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证各选项：
选项A：$4y^2 + 4y -1 =0$
二次项系数化为1，两边同除以4得：$y^2 + y - \frac{1}{4}=0$
移项得：$y^2 + y = \frac{1}{4}$
配方，两边加$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，左边化为$(y+\frac{1}{2})^2$，右边为$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，即$(y+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$，A正确，不符合题意。
选项B：$2x^2 -7x -4=0$
二次项系数化为1，两边同除以2得：$x^2 - \frac{7}{2}x -2=0$
移项得：$x^2 - \frac{7}{2}x =2$
配方，两边加$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，左边化为$(x-\frac{7}{4})^2$，右边为$2+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，B正确，不符合题意。
选项C：$2t^2 -3t -2=0$
二次项系数化为1，两边同除以2得：$t^2 - \frac{3}{2}t -1=0$
移项得：$t^2 - \frac{3}{2}t =1$
配方，两边加$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，左边化为$(t-\frac{3}{4})^2$，右边为$1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，即$(t-\frac{3}{4})^2=\frac{25}{16}$，和选项给出的$(t-\frac{2}{3})^2=\frac{25}{16}$不符，C错误，符合题意。
选项D：$3y^2 -4y +1=0$
二次项系数化为1，两边同除以3得：$y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{1}{3}=0$
移项得：$y^2 - \frac{4}{3}y = -\frac{1}{3}$
配方，两边加$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，左边化为$(y-\frac{2}{3})^2$，右边为$-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$，即$(y-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$，D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题主要考查配方法的正确应用，解题的关键是牢记配方法的步骤，特别注意在二次项系数化为1后，配方时添加的常数是一次项系数一半的平方，避免因计算一次项系数的一半出错而失分。
【难度系数】
0.7
这道题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路是逐个对每个选项的方程按照配方法的标准步骤演算，再和选项给出的配方结果对比，找出错误的选项。配方法的核心步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右边；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，合并右边的常数后对比结果即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证各选项：
选项A：$4y^2 + 4y -1 =0$
二次项系数化为1，两边同除以4得：$y^2 + y - \frac{1}{4}=0$
移项得：$y^2 + y = \frac{1}{4}$
配方，两边加$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，左边化为$(y+\frac{1}{2})^2$，右边为$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，即$(y+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$，A正确，不符合题意。
选项B：$2x^2 -7x -4=0$
二次项系数化为1，两边同除以2得：$x^2 - \frac{7}{2}x -2=0$
移项得：$x^2 - \frac{7}{2}x =2$
配方，两边加$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，左边化为$(x-\frac{7}{4})^2$，右边为$2+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，B正确，不符合题意。
选项C：$2t^2 -3t -2=0$
二次项系数化为1，两边同除以2得：$t^2 - \frac{3}{2}t -1=0$
移项得：$t^2 - \frac{3}{2}t =1$
配方，两边加$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，左边化为$(t-\frac{3}{4})^2$，右边为$1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，即$(t-\frac{3}{4})^2=\frac{25}{16}$，和选项给出的$(t-\frac{2}{3})^2=\frac{25}{16}$不符，C错误，符合题意。
选项D：$3y^2 -4y +1=0$
二次项系数化为1，两边同除以3得：$y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{1}{3}=0$
移项得：$y^2 - \frac{4}{3}y = -\frac{1}{3}$
配方，两边加$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，左边化为$(y-\frac{2}{3})^2$，右边为$-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$，即$(y-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$，D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题主要考查配方法的正确应用，解题的关键是牢记配方法的步骤，特别注意在二次项系数化为1后，配方时添加的常数是一次项系数一半的平方，避免因计算一次项系数的一半出错而失分。
【难度系数】
0.7
7.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a,b,c$是常数，$a≠0$)配方后为$(x-2)^2=d$($d$是常数)，则$\frac{b}{a}=$（
A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$-2$
D.$-4$
D
）A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$-2$
D.$-4$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时可以利用配方法的原理，有两种思路：一是将配方后的式子展开为二次项系数为1的一元二次方程，再将原方程也转化为二次项系数为1的形式，对比两个方程的一次项系数即可求出$\frac{b}{a}$；二是直接回忆一元二次方程配方后括号内的常数与原方程一次项系数、二次项系数的对应关系，直接代入计算。解题时优先选择自己熟悉的方法，注意符号不要出错。
【解析】
方法1：展开配方式对比系数
将$(x-2)^2=d$展开整理，得：
$x^2 - 4x + 4 - d = 0$
将原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）两边同时除以$a$，得：
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
因为两个方程是同一个方程，对应一次项系数相等，因此$\frac{b}{a}=-4$。
方法2：利用配方法公式直接推导
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）配方的步骤为：
① 二次项系数化为1：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
② 两边加一次项系数一半的平方：$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
即配方结果为$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
已知题目中配方结果为$(x-2)^2=d$，对比可得$\frac{b}{2a}=-2$，解得$\frac{b}{a}=-4$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，一元二次方程系数关系
【点评】
本题考查配方法的核心原理，解题关键是明确配方前后方程系数的对应关系，只要熟练掌握配方法的操作步骤，就能快速得出结果，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.7
解题时可以利用配方法的原理，有两种思路：一是将配方后的式子展开为二次项系数为1的一元二次方程，再将原方程也转化为二次项系数为1的形式，对比两个方程的一次项系数即可求出$\frac{b}{a}$；二是直接回忆一元二次方程配方后括号内的常数与原方程一次项系数、二次项系数的对应关系，直接代入计算。解题时优先选择自己熟悉的方法，注意符号不要出错。
【解析】
方法1：展开配方式对比系数
将$(x-2)^2=d$展开整理，得：
$x^2 - 4x + 4 - d = 0$
将原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）两边同时除以$a$，得：
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
因为两个方程是同一个方程，对应一次项系数相等，因此$\frac{b}{a}=-4$。
方法2：利用配方法公式直接推导
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）配方的步骤为：
① 二次项系数化为1：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
② 两边加一次项系数一半的平方：$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
即配方结果为$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
已知题目中配方结果为$(x-2)^2=d$，对比可得$\frac{b}{2a}=-2$，解得$\frac{b}{a}=-4$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，一元二次方程系数关系
【点评】
本题考查配方法的核心原理，解题关键是明确配方前后方程系数的对应关系，只要熟练掌握配方法的操作步骤，就能快速得出结果，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.7
8.若关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 6x + c = 0$配方后得到方程$(x + a)^2 = 1$，则$a + c$的值为
4
。答案
8.4
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们要对给定的一元二次方程按照配方法的标准步骤进行变形，先把二次项系数化为1，再移项、配方，得到$(x+m)^2=n$的形式，再和题目给出的配方后方程$(x+a)^2=1$进行对应，就能求出$a$的值，同时得到关于$c$的方程，解出$c$后，代入计算$a+c$的值即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 + 6x + c = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 + 3x + \frac{c}{2} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 3x = -\frac{c}{2}$
3. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{c}{2} + \frac{9}{4}$
左侧写成完全平方式：$(x+\frac{3}{2})^2 = -\frac{c}{2} + \frac{9}{4}$
已知配方后得到方程$(x+a)^2=1$，对比两个式子可得：
$a=\frac{3}{2}$，且$-\frac{c}{2} + \frac{9}{4} = 1$
解关于$c$的方程：
$-\frac{c}{2} = 1 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4}$
两边同乘$-2$得：$c=\frac{5}{2}$
因此$a+c=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 代数式求值
【点评】
本题重点考查配方法的应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，要注意当二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行后续配方操作，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先我们要对给定的一元二次方程按照配方法的标准步骤进行变形，先把二次项系数化为1，再移项、配方，得到$(x+m)^2=n$的形式，再和题目给出的配方后方程$(x+a)^2=1$进行对应，就能求出$a$的值，同时得到关于$c$的方程，解出$c$后，代入计算$a+c$的值即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 + 6x + c = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 + 3x + \frac{c}{2} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 3x = -\frac{c}{2}$
3. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{c}{2} + \frac{9}{4}$
左侧写成完全平方式：$(x+\frac{3}{2})^2 = -\frac{c}{2} + \frac{9}{4}$
已知配方后得到方程$(x+a)^2=1$，对比两个式子可得：
$a=\frac{3}{2}$，且$-\frac{c}{2} + \frac{9}{4} = 1$
解关于$c$的方程：
$-\frac{c}{2} = 1 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4}$
两边同乘$-2$得：$c=\frac{5}{2}$
因此$a+c=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 代数式求值
【点评】
本题重点考查配方法的应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，要注意当二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行后续配方操作，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
