9. 用配方法解下列方程：
(1)$3x^2 - 6x + 1 = 0$；
(2)$2x^2 - 8x + 3 = 0$；
(3)$2x^2 - 12x + 5 = 0$；
(4)$2x^2 + \sqrt{2}x - 30 = 0$；
(5)$3x^2 - 6x - 1 = 0$；
(6)$-2x^2 - 3x + 2 = 0$。

9.解:(1)原方程变形为$3(x^{2}-2x)=-1$,
配方,得$3(x^{2}-2x+1-1)=-1$,
即$3(x-1)^{2}=-1+3$,
解这个方程,得$x-1=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$,
所以$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3},x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
(2)原方程变形为$x^{2}-4x=-\frac{3}{2}$,
配方,得$x^{2}-4x+4=-\frac{3}{2}+4$,即$(x-2)^{2}=\frac{5}{2}$,
解这个方程,得$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
所以$x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
(3)移项,得$2x^{2}-12x=-5$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-6x=-\frac{5}{2}$,
配方,得$x^{2}-6x+9=-\frac{5}{2}+9$,即$(x-3)^{2}=\frac{13}{2}$,
解这个方程,得$x-3=\pm\frac{\sqrt{26}}{2}$,
所以$x_{1}=3+\frac{\sqrt{26}}{2},x_{2}=3-\frac{\sqrt{26}}{2}$.
(4)移项,得$2x^{2}+\sqrt{2}x=30$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x=15$,
配方,得$x^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=15+(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{121}{8}$,
解这个方程,得$x+\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{11\sqrt{2}}{4}$,
所以$x_{1}=-3\sqrt{2},x_{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(5)二次项系数化为1,得$x^{2}-2x-\frac{1}{3}=0$,
配方,得$x^{2}-2x+1=\frac{1}{3}+1$,即$(x-1)^{2}=\frac{4}{3}$,
解这个方程,得$x-1=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以$x_{1}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_{2}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
(6)二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{3}{2}x-1=0$,
配方,得$x^{2}+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=1+(\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{25}{16}$,
解这个方程,得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}$,
所以$x_{1}=-2,x_{2}=\frac{1}{2}$.

【分析】
用配方法解一元二次方程遵循固定通用步骤：①移项：将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②二次项系数化为1：等号两边同时除以二次项系数，将二次项系数变为1；③配方：等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④开方求解：若等号右侧为非负数，直接开平方转化为一元一次方程求解，同时注意结果中的二次根式要化为最简形式。本题6个小题均按该步骤依次计算即可。
【解析】
(1)原方程变形为$3(x^{2}-2x)=-1$,
配方,得$3(x^{2}-2x+1-1)=-1$,
即$3(x-1)^{2}=-1+3$,
解这个方程,得$x-1=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$,
所以$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3},x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
(2)原方程变形为$x^{2}-4x=-\frac{3}{2}$,
配方,得$x^{2}-4x+4=-\frac{3}{2}+4$,即$(x-2)^{2}=\frac{5}{2}$,
解这个方程,得$x-2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
所以$x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
(3)移项,得$2x^{2}-12x=-5$,
二次项系数化为1,得$x^{2}-6x=-\frac{5}{2}$,
配方,得$x^{2}-6x+9=-\frac{5}{2}+9$,即$(x-3)^{2}=\frac{13}{2}$,
解这个方程,得$x-3=\pm\frac{\sqrt{26}}{2}$,
所以$x_{1}=3+\frac{\sqrt{26}}{2},x_{2}=3-\frac{\sqrt{26}}{2}$.
(4)移项,得$2x^{2}+\sqrt{2}x=30$,
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x=15$,
配方,得$x^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=15+(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{121}{8}$,
解这个方程,得$x+\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{11\sqrt{2}}{4}$,
所以$x_{1}=-3\sqrt{2},x_{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(5)二次项系数化为1,得$x^{2}-2x-\frac{1}{3}=0$,
配方,得$x^{2}-2x+1=\frac{1}{3}+1$,即$(x-1)^{2}=\frac{4}{3}$,
解这个方程,得$x-1=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以$x_{1}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_{2}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
(6)二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{3}{2}x-1=0$,
配方,得$x^{2}+\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=1+(\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{25}{16}$,
解这个方程,得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}$,
所以$x_{1}=-2,x_{2}=\frac{1}{2}$.
【答案】
(1)$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3},x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$；
(2)$x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$；
(3)$x_{1}=3+\frac{\sqrt{26}}{2},x_{2}=3-\frac{\sqrt{26}}{2}$；
(4)$x_{1}=-3\sqrt{2},x_{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
(5)$x_{1}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_{2}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$；
(6)$x_{1}=-2,x_{2}=\frac{1}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方法的固定步骤，解题时需注意配方时要保证等式两边同时加相同的数，最终结果要化为最简二次根式，熟练掌握步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.7

10.已知关于$x$的方程$(a^2 -4a +5)x^2 +2ax +4=0$.
(1)试说明无论$a$取何实数,这个方程都是一元二次方程;
(2)当$a=2$时,解这个方程.

10.解:(1)$a^{2}-4a+5=(a^{2}-4a+4)+1=(a-2)^{2}+1$.
$\because (a-2)^{2}≥0,\therefore (a-2)^{2}+1≠0$,
$\therefore$无论$a$取何实数,关于$x$的方程$(a^{2}-4a+5)x^{2}+2ax+4=0$都是一元二次方程.
(2)当$a=2$时,原方程变为$x^{2}+4x+4=0$,
解得$x_{1}=x_{2}=-2$.

【分析】
(1)要证明无论a取何实数该方程都是一元二次方程，依据一元二次方程的定义，只需证明二次项系数$a^2 -4a +5$恒不为0即可。我们可以通过配方法将二次项系数变形为含完全平方的式子，再利用平方的非负性推导其取值范围。(2)第二问只需将$a=2$代入原方程，化简得到标准的一元二次方程，再用配方法或因式分解法求解即可。
【解析】
(1)对二次项系数进行配方：
$a^{2}-4a+5=(a^{2}-4a+4)+1=(a-2)^{2}+1$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(a-2)^{2}≥0$
$\therefore (a-2)^{2}+1 ≥ 1 ＞ 0$，即$a^2 -4a +5$恒不等于0
$\therefore$ 无论$a$取何实数，这个方程都是一元二次方程。
(2)当$a=2$时，代入原方程得：
$(2^2 -4×2 +5)x^2 +2×2 x +4=0$
化简得$x^2 +4x +4=0$
配方得$(x+2)^2=0$
开方得$x+2=0$
解得$x_{1}=x_{2}=-2$
【答案】
(1)无论$a$取何实数，该方程都是一元二次方程；
(2)$x_{1}=x_{2}=-2$
【知识点】
1.一元二次方程的判定
2.配方法的应用
3.解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程的基础知识点展开，第一问需要结合配方法和平方的非负性完成证明，侧重代数变形能力的考察，第二问是基础的代入求值解方程问题，整体对基础知识点的掌握要求较高，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

11.用配方法不仅可以解一元二次方程,还可以解决很多问题.例如,因为$3a^2≥0$,所以$3a^2+1≥1$,即$3a^2+1$有最小值1,只有当$a=0$时,才能得到这个式子的最小值1.同样,因为$-3a^2≤0$,所以$-3a^2+1≤1$,即$-3a^2+1$有最大值1,只有当$a=0$时,才能得到这个式子的最大值1.
(1)当$x=$时,代数式$3(x+3)^2+4$有最(填“大”或“小”)值,为;
(2)如图,矩形花园的一面靠墙(足够长),另外三面栅栏的总长度是16 m,当花园与墙垂直的边长为多少米时,花园的面积最大?最大面积是多少?

11.(1)$-3$ 小 $4$
(2)解:设矩形花园与墙垂直的边长为$x$ m,则平行于墙的边长为$(16-2x)\mathrm{m}$.
花园的面积$S=x(16-2x)=-2x^{2}+16x=-2(x^{2}-8x+16)+32=-2(x-4)^{2}+32$,
当$x=4$时,$S$有最大值,为$32$.
答:当花园与墙垂直的边长为$4$ m时,花园的面积最大,最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
（1）对于形如$a(x-h)^2+k$的代数式，根据平方的非负性可知$(x-h)^2≥0$：当$a＞0$时，$a(x-h)^2≥0$，因此代数式有最小值$k$，取最小值时$x=h$。本题中$3＞0$，只需令$(x+3)^2=0$，即可求出对应$x$的取值和代数式的最小值。
（2）求解花园面积最大值问题时，先设与墙垂直的边长为未知数，用该未知数表示出平行于墙的边长，再根据矩形面积公式列出面积的代数式，最后用配方法将代数式化为顶点式，结合平方的非负性即可求出最大值和对应未知数的取值。
【解析】
（1）$\because (x+3)^2≥0$，
$\therefore 3(x+3)^2≥0$，
$\therefore 3(x+3)^2+4≥4$，
当且仅当$x+3=0$，即$x=-3$时等号成立，
因此代数式有最小值，为$4$。
（2）解：设矩形花园与墙垂直的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(16-2x)\mathrm{m}$，
花园面积$S=x(16-2x)$，
整理得：$S=-2x^2+16x$，
配方得：$S=-2(x^2-8x+16)+32=-2(x-4)^2+32$，
$\because -2＜0$，$\therefore -2(x-4)^2≤0$，因此$S≤32$，
当$x=4$时，$S$取得最大值$32$。
答：当花园与墙垂直的边长为$4$ m时，花园的面积最大，最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $-3$，小，$4$
(2) 当花园与墙垂直的边长为$4\ \mathrm{m}$时，花园的面积最大，最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平方的非负性，配方法，最值应用
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，既考查了代数式最值的直接判断，又结合实际场景考查了利用配方法求解实际问题最值的能力，解题时要注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.75