登录
8. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $P$ 是 $BC$ 边上一动点(不与 $B$，$C$ 重合)，连接 $AP$，作 $AP$ 的垂直平分线 $EF$，分别交 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$.
(1) 如图 $1$，当点 $P$ 是 $BC$ 中点，且 $AB = 4$ 时，求 $DF$ 的长；
(2) 如图 $2$，当点 $P$ 不是 $BC$ 中点时，试判断线段 $AE$，$BP$，$DF$ 之间的数量关系，并说明理由.
(1) 如图 $1$，当点 $P$ 是 $BC$ 中点，且 $AB = 4$ 时，求 $DF$ 的长；
(2) 如图 $2$，当点 $P$ 不是 $BC$ 中点时，试判断线段 $AE$，$BP$，$DF$ 之间的数量关系，并说明理由.
答案
8. (1) 在正方形$ABCD$中，$AB=4，$$P$是$BC$中点，则$BP=2，$
设$AE=PE=x，$则$BE=4-x，$
在$\mathrm{Rt}△ PBE$中，由勾股定理得：
$PE^2=BE^2+BP^2，$
即$x^2=(4-x)^2+2^2，$
解得$x=\frac{5}{2}，$
过$F$作$FN⊥ AB$于$N，$易证$△ ABP≌△ FNE，$
可得$FN=AB=4，$$NE=BP=2，$
则$AN=AE-NE=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}，$
∵四边形$ANFD$是矩形，
∴$DF=AN=\frac{1}{2}，$即$DF$的长为$\frac{1}{2}。$
(2) $AE=BP+DF，$理由如下：
过$F$作$FG⊥ AB$于$G，$则四边形$AGFD$是矩形，
∴$DF=AG，$$FG=AD=AB，$
∵$EF$垂直平分$AP，$
∴$∠ AEF+∠ EAP=90°，$
又$∠ APB+∠ EAP=90°，$
∴$∠ AEF=∠ APB，$
在$△ ABP$和$△ FGA$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ AGF\\AB=FG\\∠ APB=∠ AEF\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ FGA$（ASA），
∴$BP=AG=DF，$
∵$AE=AG+GE=BP+DF，$
∴$AE=BP+DF。$
9. 如图，四边形 $ABCD$，$DEFG$ 都是正方形，连接 $AE$，$CG$.
(1) 求证：$AE = CG$.
(2) 观察图形，猜想 $AE$ 与 $CG$ 之间的位置关系，并证明.
(1) 求证：$AE = CG$.
(2) 观察图形，猜想 $AE$ 与 $CG$ 之间的位置关系，并证明.
答案
9. (1) 证明：
∵四边形$ABCD$和$DEFG$都是正方形，
∴$AD=CD，$$DE=DG，$$∠ ADC=∠ EDG=90°，$
∴$∠ ADC+∠ ADG=∠ EDG+∠ ADG，$
即$∠ CDG=∠ ADE，$
在$△ ADE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases}AD=CD\\∠ ADE=∠ CDG\\DE=DG\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDG$（SAS），
∴$AE=CG。$
(2) $AE⊥ CG，$证明如下：
延长$AE$交$CG$于点$H，$
由
(1)知$△ ADE≌△ CDG，$
∴$∠ DAE=∠ DCG，$
∵$∠ DAE+∠ AED=90°，$$∠ AED=∠ CEH，$
∴$∠ DCG+∠ CEH=90°，$
∴$∠ CHE=180°-(∠ DCG+∠ CEH)=90°，$
∴$AE⊥ CG，$
即$AE$与$CG$的位置关系是$AE⊥ CG。$
正方形的判定方法：
(1)有一组邻边 的矩形是正方形；
(2)对角线 的矩形是正方形；
(3)有一个角是 的菱形是正方形；
(4)对角线 的菱形是正方形；
(5)四条边都 ，四个角都 的四边形是正方形；
(6)对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角的四边形是正方形.
(1)有一组邻边 的矩形是正方形；
(2)对角线 的矩形是正方形；
(3)有一个角是 的菱形是正方形；
(4)对角线 的菱形是正方形；
(5)四条边都 ，四个角都 的四边形是正方形；
(6)对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角的四边形是正方形.
答案
(1)相等
(2)互相垂直
(3)直角
(4)相等
(5)相等 直角
(2)互相垂直
(3)直角
(4)相等
(5)相等 直角
