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7. 根据要求画图、填空。
(1) 过点$O$画直线$CD// MN$。
(2) 连接$OM$，$ON$。
(3) 过点$O$画$MN$的垂线，垂足为$E$。
(4) 过点$M$分别画$ON$，$CD$的垂线，垂足分别为$F$，$G$。
(5) 在上面的条件下，$OE$
(1) 过点$O$画直线$CD// MN$。
(2) 连接$OM$，$ON$。
(3) 过点$O$画$MN$的垂线，垂足为$E$。
(4) 过点$M$分别画$ON$，$CD$的垂线，垂足分别为$F$，$G$。
(5) 在上面的条件下，$OE$
＜
$GM$，$OF$＜
$OM$。(均填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)答案
(1) 过点$O$画直线$CD // MN$（图略）。
(2) 连接$OM$，$ON$（图略）。
(3) 过点$O$画$MN$的垂线，垂足为$E$（图略）。
(4) 过点$M$分别画$ON$，$CD$的垂线，垂足分别为$F$，$G$（图略）。
(5) $OE ＜ GM$，$OF ＜ OM$。
(2) 连接$OM$，$ON$（图略）。
(3) 过点$O$画$MN$的垂线，垂足为$E$（图略）。
(4) 过点$M$分别画$ON$，$CD$的垂线，垂足分别为$F$，$G$（图略）。
(5) $OE ＜ GM$，$OF ＜ OM$。
8. 点$O$在直线$AB$上，射线$OC$垂直于射线$OD$。若$∠ AOC = 40^{\circ}$，则$∠ BOD$的度数是
$50^{\circ}$或$130^{\circ}$
。答案
8. $50^{\circ}$或$130^{\circ}$
解析
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OC、OD在直线AB同侧时：
因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，
又点O在直线AB上，∠AOC=40°，
则∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-40°-90°=50°；
2. 当射线OC、OD在直线AB异侧时：
因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，
则∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-40°=50°，
所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-50°=130°。
综上，∠BOD的度数是50°或130°。
【答案】
$50^{\circ}$或$130^{\circ}$
【知识点】
垂线的性质，平角的定义，角的计算
【点评】
本题需分类讨论射线OD的位置，避免漏解，考查了角的基本运算及分类讨论思想。
分两种情况讨论：
1. 当射线OC、OD在直线AB同侧时：
因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，
又点O在直线AB上，∠AOC=40°，
则∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-40°-90°=50°；
2. 当射线OC、OD在直线AB异侧时：
因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，
则∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-40°=50°，
所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-50°=130°。
综上，∠BOD的度数是50°或130°。
【答案】
$50^{\circ}$或$130^{\circ}$
【知识点】
垂线的性质，平角的定义，角的计算
【点评】
本题需分类讨论射线OD的位置，避免漏解，考查了角的基本运算及分类讨论思想。
9. 如图，已知$AB// DE$，$∠ ABC = 71^{\circ}$，$∠ CDE = 144^{\circ}$，则$∠ BCD$的度数是
$35^{\circ}$
。答案
9. $35^{\circ}$
解析
【解析】
过点$ C $作$ CF// AB $，
因为$ AB// DE $，所以$ CF// DE $，
由$ AB// CF $，根据“两直线平行，内错角相等”，得$ ∠ BCF=∠ ABC=71^{\circ} $，
由$ CF// DE $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$ ∠ CDE+∠ DCF=180^{\circ} $，
因为$ ∠ CDE=144^{\circ} $，所以$ ∠ DCF=180^{\circ}-144^{\circ}=36^{\circ} $，
因此$ ∠ BCD=∠ BCF-∠ DCF=71^{\circ}-36^{\circ}=35^{\circ} $。
【答案】
$ 35^{\circ} $
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，通过作辅助线构造平行线，将未知角转化为已知角的和差关系，是解决折线类角度计算问题的常用技巧，需熟练掌握平行线的相关性质。
过点$ C $作$ CF// AB $，
因为$ AB// DE $，所以$ CF// DE $，
由$ AB// CF $，根据“两直线平行，内错角相等”，得$ ∠ BCF=∠ ABC=71^{\circ} $，
由$ CF// DE $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$ ∠ CDE+∠ DCF=180^{\circ} $，
因为$ ∠ CDE=144^{\circ} $，所以$ ∠ DCF=180^{\circ}-144^{\circ}=36^{\circ} $，
因此$ ∠ BCD=∠ BCF-∠ DCF=71^{\circ}-36^{\circ}=35^{\circ} $。
【答案】
$ 35^{\circ} $
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，通过作辅助线构造平行线，将未知角转化为已知角的和差关系，是解决折线类角度计算问题的常用技巧，需熟练掌握平行线的相关性质。
10. 如图，$AB// EF$，$∠ 1 = ∠ 2$，$BE$，$CE$分别平分$∠ ABC$和$∠ BCD$，求证$BE⊥ CE$。
答案
10. 证明：$\because CE$平分$∠ BCD$(已知)，
$\therefore ∠ 2 = ∠ ECD = \dfrac{1}{2}∠ BCD$(角平分线的定义).
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$(已知)，$\therefore ∠ 1 = ∠ ECD$.
$\therefore EF// CD$(内错角相等，两直线平行).
又$\because AB// EF$(已知)，$\therefore ∠ ABE = ∠ BEF$(两直线平行，内错角相等).
$\therefore AB// CD$(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 180^{\circ}$(两直线平行，同旁内角互补).
又$\because BE$平分$∠ ABC$(已知)，$\therefore ∠ ABE = \dfrac{1}{2}∠ ABC$(角平分线的定义).
$\therefore ∠ ABE + ∠ ECD = \dfrac{1}{2}∠ ABC + \dfrac{1}{2}∠ BCD = \dfrac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 90^{\circ}$.
$\therefore ∠ BEC = ∠ BEF + ∠ 1 = ∠ ABE + ∠ ECD = 90^{\circ}$(等量代换).
$\therefore BE⊥ CE$(垂直的定义).
$\therefore ∠ 2 = ∠ ECD = \dfrac{1}{2}∠ BCD$(角平分线的定义).
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$(已知)，$\therefore ∠ 1 = ∠ ECD$.
$\therefore EF// CD$(内错角相等，两直线平行).
又$\because AB// EF$(已知)，$\therefore ∠ ABE = ∠ BEF$(两直线平行，内错角相等).
$\therefore AB// CD$(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 180^{\circ}$(两直线平行，同旁内角互补).
又$\because BE$平分$∠ ABC$(已知)，$\therefore ∠ ABE = \dfrac{1}{2}∠ ABC$(角平分线的定义).
$\therefore ∠ ABE + ∠ ECD = \dfrac{1}{2}∠ ABC + \dfrac{1}{2}∠ BCD = \dfrac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 90^{\circ}$.
$\therefore ∠ BEC = ∠ BEF + ∠ 1 = ∠ ABE + ∠ ECD = 90^{\circ}$(等量代换).
$\therefore BE⊥ CE$(垂直的定义).
11. 如图①，在五边形$ABCDE$中，$AE// BC$，$∠ A = ∠ C$。
(1) 猜想$AB$与$CD$之间的位置关系，并说明理由。
(2) 如图②，延长$DE$至点$F$，连接$BE$，若$∠ 1 = ∠ 3$，$∠ AEF = 2∠ 2$，求证$∠ AED = ∠ C$。
(1) 猜想$AB$与$CD$之间的位置关系，并说明理由。
(2) 如图②，延长$DE$至点$F$，连接$BE$，若$∠ 1 = ∠ 3$，$∠ AEF = 2∠ 2$，求证$∠ AED = ∠ C$。
答案
11. (1)猜想：$AB// CD$.理由如下：
$\because AE// BC$，$\therefore ∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$.
$\because ∠ A = ∠ C$，$\therefore ∠ C + ∠ B = 180^{\circ}$. $\therefore AB// CD$.
(2)$\because AE// BC$，$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$.
$\because ∠ 1 = ∠ 3$，$\therefore ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$，$∠ ABC = 2∠ 2$.
$\because ∠ AEF = 2∠ 2$，$\therefore ∠ ABC = ∠ AEF$.
$\because ∠ ABC + ∠ C = 180^{\circ}$，$∠ AEF + ∠ AED = 180^{\circ}$，$\therefore ∠ AED = ∠ C$.
$\because AE// BC$，$\therefore ∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$.
$\because ∠ A = ∠ C$，$\therefore ∠ C + ∠ B = 180^{\circ}$. $\therefore AB// CD$.
(2)$\because AE// BC$，$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$.
$\because ∠ 1 = ∠ 3$，$\therefore ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$，$∠ ABC = 2∠ 2$.
$\because ∠ AEF = 2∠ 2$，$\therefore ∠ ABC = ∠ AEF$.
$\because ∠ ABC + ∠ C = 180^{\circ}$，$∠ AEF + ∠ AED = 180^{\circ}$，$\therefore ∠ AED = ∠ C$.
