1. 设 $x_{1}$，$x_{2}$ 是方程 $x(x - 1) + 3(x - 1) = 0$ 的两个根，则 $|x_{1} - x_{2}| =$。

1. 4

【解析】
先对原方程进行因式分解：
$\begin{aligned}x(x - 1) + 3(x - 1) &= 0\\(x - 1)(x + 3) &= 0\end{aligned}$
解得方程的两个根为 $x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
则 $|x_1 - x_2| = |1 - (-3)| = 4$。
【答案】
4
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，绝对值运算
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及绝对值的计算，通过因式分解法可快速求出方程的根，再代入计算绝对值即可，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2} + x + k^{2} - 1 = 0$ 的一个根是 $0$，则 $k =$。

2. -1

【解析】
将$x=0$代入方程$(k - 1)x^{2} + x + k^{2} - 1 = 0$，得：
$k^2 - 1 = 0$，
解得$k = 1$或$k = -1$。
又因为原方程是一元二次方程，二次项系数$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，
所以$k = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的相关知识，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

3. 已知 $a$，$b$，$c$ 分别是 $△ ABC$ 三边的长，根据下列关系式判断 $△ ABC$ 的形状。
(1) $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} = 0$，$△ ABC$ 是三角形。
(2) $(a - b)(b - c)(c - a) = 0$，$△ ABC$ 是三角形。
(3) $c^{2} = (a - b)(a + b)$，$△ ABC$ 是三角形。
(4) $(a - b)(b - c)(c - a)(a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0$，$△ ABC$ 是三角形。

3. (1) 等边 (2) 等腰或等边 (3) 直角 (4) 等腰或直角

【解析】
(1) 由于平方数具有非负性，若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，因此$a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$，即$a = b = c$，故$△ ABC$是等边三角形。
(2) 若多个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即$a - b = 0$或$b - c = 0$或$c - a = 0$，可得$a = b$或$b = c$或$c = a$，所以$△ ABC$是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此表述为等腰或等边三角形。
(3) 对等式右边展开得$c^2 = a^2 - b^2$，移项后为$a^2 = b^2 + c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
(4) 因式乘积为0，则至少一个因式为0，即$a - b = 0$或$b - c = 0$或$c - a = 0$（此时为等腰或等边三角形），或$a^2 + b^2 - c^2 = 0$（此时为直角三角形），故$△ ABC$是等腰或直角三角形。
【答案】
(1) 等边 (2) 等腰或等边 (3) 直角 (4) 等腰或直角
【知识点】
1. 非负数的性质 2. 等腰（等边）三角形判定 3. 勾股定理逆定理
【点评】
本题考查三角形形状的判定，需熟练运用非负数性质、等腰（等边）三角形判定条件及勾股定理逆定理，注意特殊三角形的包含关系，如等边三角形属于特殊的等腰三角形。
【难度系数】
0.6

4. 若关于 $x$ 的方程 $kx^{2} - (k + 1)x + 1 = 0$ 的根是整数，则满足条件的整数 $k$ 为。

4. 0 或 $ \pm 1 $

【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ k=0 $时，方程化为$ -x + 1 = 0 $，解得$ x=1 $，是整数，符合条件；
2. 当$ k ≠ 0 $时，方程为一元二次方程，对左边因式分解得：$ (kx - 1)(x - 1) = 0 $，解得$ x_1=1 $，$ x_2=\frac{1}{k} $。
因为方程的根是整数，且$ k $为整数，所以$ \frac{1}{k} $为整数，即$ k = \pm1 $。
综上，满足条件的整数$ k $为0或$ \pm1 $。
【答案】
0或$ \pm1 $
【知识点】
分类讨论思想、一元二次方程因式分解法、整数根的判定
【点评】
本题考查含参数的方程整数根问题，需分类讨论参数为0和不为0的情况，避免遗漏一次方程的情形，着重考查分类讨论的数学思想及对根的整数性分析能力。
【难度系数】
0.4

5. 填表：

5. 1 $ (x - 1)^2 $ $ \sqrt{3} $ $ -\sqrt{3} $ $ (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) $ 0 4 $ x(x - 4) $ $ a(x - x_1)(x - x_2) $

【解析】
1. 对于方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，由完全平方公式得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$，因式分解结果为$(x - 1)^2$。
2. 对于方程$x^2 - 3 = 0$，移项得$x^2=3$，开方得$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$，由平方差公式，因式分解结果为$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$。
3. 对于方程$x^2 - 4x = 0$，提取公因式$x$得$x(x-4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$，因式分解结果为$x(x - 4)$。
4. 对于一般式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则因式分解结果为$a(x - x_1)(x - x_2)$。
【答案】
1；$(x - 1)^2$；$\sqrt{3}$；$-\sqrt{3}$；$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$；0；4；$x(x - 4)$；$a(x - x_1)(x - x_2)$
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解；根与因式关系
【点评】
本题考查一元二次方程求解与因式分解的对应关系，需熟练掌握常见因式分解方法，理解方程根与因式分解的联系。
【难度系数】
0.7

6. 我们知道：当一个数的立方等于它本身时，这个数为。请你用方程的方法解决这个问题。

6. 0 或 $ \pm 1 $。设这个数为 $ x $，则 $ x^3 = x $，解得 $ x_1 = 0 $，$ x_2 = 1 $，$ x_3 = -1 $

7. 已知实数 $x$，$y$ 满足 $(x^{2} + y^{2})(x^{2} + y^{2} - 1) = 2$，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值。
小贴士：$x^{2} - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b)$($a$，$b$ 为常数)。