3. 下列一元二次方程中，根为无理数的是()。

A.$(x - 1)(x + 3) = 0$
B.$x^{2} = 2$
C.$3x^{2} + 5x = 0$
D.$(x + 2)^{2} = 1$

3. B

【解析】
分别求解各选项的方程：
选项A：$(x - 1)(x + 3) = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，均为有理数；
选项B：$x^{2}=2$，解得$x=\pm\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，故根为无理数；
选项C：$3x^{2}+5x=0$，提取公因式得$x(3x+5)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{5}{3}$，均为有理数；
选项D：$(x + 2)^{2}=1$，开方得$x+2=\pm1$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$，均为有理数。
因此根为无理数的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法，无理数的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的求解及无理数的判断，需熟练掌握因式分解法、直接开平方法等一元二次方程的解法，明确无理数的概念，通过计算各方程的根进行判断。
【难度系数】
0.7

4. 若一个方程的两个根为 $-1$，$2$，则这个方程可能是()。

A.$(x - 1)(x + 2) = 0$
B.$(x + 1)(x - 2) = 0$
C.$(x - 1)(x - 2) = 0$
D.$(x + 1)(x + 2) = 0$

4. B

【解析】
根据一元二次方程根与因式的关系，若方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=2$，则该方程可表示为$(x - x_1)(x - x_2)=0$，代入得$(x + 1)(x - 2)=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根与因式关系
【点评】
本题考查一元二次方程根与因式的关系，通过已知根反推原方程，属于基础题型，侧重对基础知识的理解与应用。
【难度系数】
0.9

5. 方程 $x^{2} = 9$ 的两根为，；方程 $x^{2} = 9x$ 的两根为，。

5. $ x_1 = 3 $ $ x_2 = -3 $ $ x_1 = 0 $ $ x_2 = 9 $

【解析】
1. 对于方程$x^{2}=9$，直接开平方可得：
$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$，即两根为$x_1=3$，$x_2=-3$；
2. 对于方程$x^{2}=9x$，移项得$x^{2}-9x=0$，因式分解为$x(x-9)=0$，
则$x=0$或$x-9=0$，解得$x_1=0$，$x_2=9$。
【答案】
$x_1 = 3$，$x_2 = -3$；$x_1 = 0$，$x_2 = 9$
【知识点】
直接开平方法解方程，因式分解法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法，解第二个方程时注意不能直接两边除以$x$，否则会丢失$x=0$这个根，需通过移项因式分解求解，避免漏根。
【难度系数】
0.9

6. 有下列方程：① $x^{2} + x + 1 = 0$，② $x^{2} + 2x + 1 = 0$，③ $x^{2} + 2x + 3 = 0$，④ $(x - 1)^{2} - x + 1 = 0$。其中可以用因式分解法解的有。(填序号)

6. ②④

【解析】
逐个分析各方程：
① $x^{2} + x + 1 = 0$，判别式$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，且实数范围内无法因式分解，不能用因式分解法；
② $x^{2} + 2x + 1 = 0$，可变形为$(x+1)^2=0$，能用因式分解法；
③ $x^{2} + 2x + 3 = 0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，无实数根，实数范围内无法因式分解，不能用因式分解法；
④ $(x - 1)^{2} - x + 1 = 0$，整理得$(x-1)^2-(x-1)=0$，提取公因式$(x-1)$得$(x-1)(x-2)=0$，能用因式分解法。
综上，可用因式分解法解的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、完全平方公式、提取公因式法
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的判断，需掌握常见的因式分解方法，同时可通过判别式辅助判断方程是否有实根，进而确定能否用因式分解法求解。
【难度系数】
0.7

7. 如果代数式 $3x^{2} - 7$ 的值为 $5$，那么 $x$ 的值是。

7. $ \pm 2 $

【解析】
根据题意列方程：
$3x^{2} - 7 = 5$
移项得：$3x^{2}=5+7$
计算得：$3x^{2}=12$
两边同时除以3：$x^{2}=4$
开平方得：$x=\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题考查根据代数式的值构建方程并求解，解题关键是掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解。
【难度系数】
0.9

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 5x + p^{2} - 2p + 5 = 0$ 的一个根为 $1$，则实数 $p$ 的值是。

8. 1

【解析】
将$x=1$代入原方程$x^{2} - 5x + p^{2} - 2p + 5 = 0$，得：
$1^2 - 5×1 + p^2 - 2p + 5 = 0$
化简得：$p^2 - 2p + 1 = 0$
即$(p-1)^2 = 0$
解得$p=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的应用，将已知根代入方程，转化为关于$p$的一元二次方程求解即可，运算过程需细心。
【难度系数】
0.8

9. 用因式分解法解下列方程：
(1) $3x^{2} - 7x = 0$。
(2) $4x^{2} = 9$。
(3) $2x(x + 3) = 6(x + 3)$。
(4) $(x - 3)^{2} + 4(x - 3) = -4$。

10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + mx + n = 0$ 的一个根是 $2$，另一个根是方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$ 的根，求 $m$，$n$ 的值。