10. 如图，在△ABE 中，AB = AE，AC = AD，∠D = ∠C = 90°，BC，DE 相交于点 O。△OBE 是等腰三角形吗？请说明理由。

10. 解：$△ OBE$是等腰三角形。理由如下：
$\because AB=AE,\therefore ∠ ABE=∠ AEB$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，$\because \{\begin{array}{l} AB=AE,\\ AC=AD,\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ ABC=∠ AED$。
$\therefore ∠ ABE-∠ ABC=∠ AEB-∠ AED,$
即$∠ OBE=∠ OEB$。
$\therefore △ OBE$是等腰三角形。

知识点一 线段垂直平分线的性质定理
线段上的点到这条线段两个端点的相等。

知识点一 垂直平分线 距离

垂直平分线；距离

知识点二 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点相等的点，在上。

知识点二 距离 这条线段的垂直平分线

例1
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点F，垂足为点D。若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。

$\begin{aligned} \mathrm{解}: &\because DE \mathrm{是} AB \mathrm{的垂直平分线，} \\ &\therefore AF = BF \mathrm{。} \\ &\mathrm{又} \because AC = 6\mathrm{cm}, BC = 4\mathrm{cm}, \\ &\therefore △ BCF \mathrm{的周长} = BC + CF + FB \\ &\quad= BC + CF + FA \\ &\quad= BC + AC \\ &\quad= 4 + 6 \\ &\quad= 10 \mathrm{。} \end{aligned}$

解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AF=BF。
又
∵AC=6，BC=4，
∴△BCF的周长=BC+CF+FB
=BC+CF+FA
=BC+AC
=4+6
=10。

【变式训练1】如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线。若AB=5，△BCE的周长为9，则BC=。

变式训练1    4

证明：
∵ED为△ABC的边AC的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵△BCE的周长为9，
∴BC+CE+BE=9，
∴BC+AE+BE=9，
∵AE+BE=AB=5，
∴BC+5=9，
∴BC=4。