4. 在△ABC 和△MNP 中，已知 AB = MN，∠A = ∠M = 90°。要使△ABC ≌ △MNP，应添加的一个条件是。

4. 答案不唯一，如$BC=NP$

5. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD = AC，DE ⊥ AB 交 BC 于点 E。若∠B = 28°，则∠AEC 的度数是。

5. $59^{\circ }$

证明：在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°-∠B=62°.
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°.
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
$\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ AE=AE,\end{array} $
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL).
∴∠CAE=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=31°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°-∠CAE=90°-31°=59°.
故∠AEC的度数是$59^{\circ }$.

6. 如图，点 D 为 Rt△ABC 中斜边 BC 上的一点，且 BD = AB。过点 D 作 BC 的垂线，交 AC 于点 E。若 AE = 12 cm，则 DE = cm。

6. 12

证明：连接BE。
∵ED⊥BC，∠A=90°，
∴∠EDB=∠A=90°。
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
∵AB=DB，BE=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）。
∴DE=AE=12cm。
12

7. 如图，点 C 为线段 AB 的中点，分别过点 A，B 作 AB 的垂线 AM，BN，点 D，E 分别是 AM，BN 上的点(点 D，E 在 AB 的同侧)，连接 CD，CE。若 CD = CE，求证：△ACD ≌ △BCE。

7. 证明：
∵点C为线段AB的中点，
$\therefore AC=BC$。
$\because AD⊥ AB,BE⊥ AB,$
$\therefore ∠ DAC=90^{\circ },∠ EBC=90^{\circ }$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$与$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because \{\begin{array}{l} AC=BC,\\ CD=CE,\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌ \mathrm{Rt}△ BCE(\mathrm{HL})$。

8. 如图，AC = BC，AE ⊥ CD 于点 E，BD ⊥ CD 于点 D，且 AE = CD。若 AE = 7，BD = 2，求 DE 的长。

8. 解：在$\mathrm{Rt}△ AEC$与$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$\because \{\begin{array}{l} AC=BC,\\ AE=CD,\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC≌ \mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$。
$\therefore CE=BD=2,CD=AE=7$。
$\therefore DE=CD-CE=7-2=5$。

9. 如图，将一块含 45°角的直角三角板的直角顶点放在平面直角坐标系中的点 C 处，三角板的两个锐角的顶点分别落在 x 轴、y 轴的点 A，B 处。已知点 C(3，3)，求 OA + OB 的值。

9. 解：如图，过点C作$CD⊥ x$轴于点D，作$CE⊥ y$轴于点E，则$∠ CDA=∠ CEB=90^{\circ }$。

$\because$点$C(3,3)$，$\therefore CD=CE=OE=OD=3$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90^{\circ },$
$\therefore AC=BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because \{\begin{array}{l} CD=CE,\\ AC=BC,\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌ \mathrm{Rt}△ BCE(\mathrm{HL})$。
$\therefore AD=BE,$
$\therefore OA+OB=OA+BE+OE=OA+AD+OE=OD+OE=3+3=6$。