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例2
如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C，D。求证：OP是线段CD的垂直平分线。
如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C，D。求证：OP是线段CD的垂直平分线。
答案
∵点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，
∴PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°。
∴点P在CD的垂直平分线上。
在Rt△POC和Rt△POD中，
∵PC=PD，OP=OP，
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)。
∴OC=OD。
∴点O在CD的垂直平分线上。
∴OP是线段CD的垂直平分线。
【变式训练2】如图，已知AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是(
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
B
)A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
答案
变式训练2 B
解析
证明：
∵AC=AD，
∴点A在CD的垂直平分线上。
∵BC=BD，
∴点B在CD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴AB垂直平分CD。
结论：B
∵AC=AD，
∴点A在CD的垂直平分线上。
∵BC=BD，
∴点B在CD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴AB垂直平分CD。
结论：B
1. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，点D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD=(
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
B
)A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
答案
1. B
解析
解：在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-20°=110°.
∵点D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°-20°=30°.
答案：B
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-20°=110°.
∵点D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°-20°=30°.
答案：B
2. 如图，线段AB外有C，D两点(在AB同侧)，且CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=(
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
C
)A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
答案
2. C
解析
证明：
∵CA=CB，DA=DB，
∴点C、D均在线段AB的垂直平分线上，即CD垂直平分AB，设垂足为M。
在△ADB中，DA=DB，∠ADB=80°，
∴∠DAB=∠DBA=(180°-80°)/2=50°。
∵∠CAD=10°，
∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=50°-10°=40°。
在△ACB中，CA=CB，
∴∠ACB=180°-2∠CAB=180°-2×40°=100°。
答案：C
∵CA=CB，DA=DB，
∴点C、D均在线段AB的垂直平分线上，即CD垂直平分AB，设垂足为M。
在△ADB中，DA=DB，∠ADB=80°，
∴∠DAB=∠DBA=(180°-80°)/2=50°。
∵∠CAD=10°，
∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=50°-10°=40°。
在△ACB中，CA=CB，
∴∠ACB=180°-2∠CAB=180°-2×40°=100°。
答案：C
3. 如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AB=12 cm，BC=10 cm，则△BCD的周长为(
A.22 cm
B.16 cm
C.26 cm
D.25 cm
A
)A.22 cm
B.16 cm
C.26 cm
D.25 cm
答案
3. A
解析
证明：
∵DE是边AC的垂直平分线，
∴CD=AD。
∵AB=12cm，BC=10cm，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=10+12=22cm。
A
∵DE是边AC的垂直平分线，
∴CD=AD。
∵AB=12cm，BC=10cm，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=10+12=22cm。
A
4. 如图，已知∠BAC=130°，MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ=
80°
。答案
4. 80°
解析
证明：
∵MP垂直平分AB，
∴PA=PB，∠PAB=∠B。
∵QN垂直平分AC，
∴QA=QC，∠QAC=∠C。
在△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°。
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=50°。
∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=130°-50°=80°。
80°
∵MP垂直平分AB，
∴PA=PB，∠PAB=∠B。
∵QN垂直平分AC，
∴QA=QC，∠QAC=∠C。
在△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°。
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=50°。
∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=130°-50°=80°。
80°
5. 如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC。若∠A=70°，则∠BPC的度数是
140°
。答案
5. 140°
解析
证明：连接PA。
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
同理，PA=PC，
∴PB=PC，∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA。
∵∠BAC=∠PAB+∠PAC=70°，
∴∠PBA+∠PCA=70°。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB-(∠PBA+∠PCA)=110°-70°=40°。
在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-40°=140°。
140°
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
同理，PA=PC，
∴PB=PC，∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA。
∵∠BAC=∠PAB+∠PAC=70°，
∴∠PBA+∠PCA=70°。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB-(∠PBA+∠PCA)=110°-70°=40°。
在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-40°=140°。
140°
