登录
1. 多项式 $12a^{3}b-8ab^{2}c$ 的公因式是(
A. $4a^{2}$
B. $4abc$
C. $2a^{2}$
D. $4ab$
D
)。A. $4a^{2}$
B. $4abc$
C. $2a^{2}$
D. $4ab$
答案
1. D
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需分两步思考：首先找各项系数的最大公约数，其次找各项中相同字母的最低次幂。先看系数12和8，它们的最大公约数是4；再看字母部分，多项式两项都含有字母a和b，a的最低次数是1，b的最低次数是1，而字母c只在第二项中出现，不是两项共有的，所以公因式是4ab，对应选项D。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：12和8的最大公约数为4；
2. 找相同字母的最低次幂：多项式两项共有的字母是a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1；
3. 组合系数与字母部分，得到公因式为$4ab$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查公因式的确定方法，解题核心是遵循“系数取最大公约数，相同字母取最低次幂”的原则，注意仅在单个项中出现的字母不能纳入公因式。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需分两步思考：首先找各项系数的最大公约数，其次找各项中相同字母的最低次幂。先看系数12和8，它们的最大公约数是4；再看字母部分，多项式两项都含有字母a和b，a的最低次数是1，b的最低次数是1，而字母c只在第二项中出现，不是两项共有的，所以公因式是4ab，对应选项D。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：12和8的最大公约数为4；
2. 找相同字母的最低次幂：多项式两项共有的字母是a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1；
3. 组合系数与字母部分，得到公因式为$4ab$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查公因式的确定方法，解题核心是遵循“系数取最大公约数，相同字母取最低次幂”的原则，注意仅在单个项中出现的字母不能纳入公因式。
【难度系数】
0.9
2. 下列变形从左到右是因式分解且因式分解正确的是(
A. $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$
B. $x^{2}+2x+1=x(x+2)+1$
C. $-2x^{2}-2y^{2}=-2x(x-y)$
D. $x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}$
D
)。A. $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$
B. $x^{2}+2x+1=x(x+2)+1$
C. $-2x^{2}-2y^{2}=-2x(x-y)$
D. $x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，才是因式分解。接下来我们逐个分析选项：
1. 先看选项A，它是把两个整式的乘积转化为多项式，这是整式乘法，和因式分解的过程相反，不符合要求；
2. 选项B的右边是“整式乘积+常数”的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义；
3. 选项C，左边提取公因式应该是$-2(x^2+y^2)$，而选项中的式子展开后和左边不相等，属于分解错误；
4. 选项D，$x^2-12x+36$是完全平方式，转化为$(x-6)^2$，是把多项式化成了整式的积的形式，且变形正确，符合因式分解的定义。
【解析】
选项A：$(x+1)(x-1)=x^2-1$是整式乘法运算，是将整式的积化为多项式，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：$x^2+2x+1=x(x+2)+1$的右边不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：$-2x^2-2y^2=-2(x^2+y^2)$，而$-2x(x-y)=-2x^2+2xy$，与原式左边不相等，因式分解错误，故C错误；
选项D：$x^2-12x+36=(x-6)^2$，是将多项式化为整式的积的形式，且变形正确，符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，完全平方公式因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的核心定义及因式分解的正确性，解题时需紧扣“多项式转化为几个整式的积”这一关键，同时要注意验证分解后的式子与原式是否相等，避免出现变形错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，才是因式分解。接下来我们逐个分析选项：
1. 先看选项A，它是把两个整式的乘积转化为多项式，这是整式乘法，和因式分解的过程相反，不符合要求；
2. 选项B的右边是“整式乘积+常数”的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义；
3. 选项C，左边提取公因式应该是$-2(x^2+y^2)$，而选项中的式子展开后和左边不相等，属于分解错误；
4. 选项D，$x^2-12x+36$是完全平方式，转化为$(x-6)^2$，是把多项式化成了整式的积的形式，且变形正确，符合因式分解的定义。
【解析】
选项A：$(x+1)(x-1)=x^2-1$是整式乘法运算，是将整式的积化为多项式，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：$x^2+2x+1=x(x+2)+1$的右边不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：$-2x^2-2y^2=-2(x^2+y^2)$，而$-2x(x-y)=-2x^2+2xy$，与原式左边不相等，因式分解错误，故C错误；
选项D：$x^2-12x+36=(x-6)^2$，是将多项式化为整式的积的形式，且变形正确，符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，完全平方公式因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的核心定义及因式分解的正确性，解题时需紧扣“多项式转化为几个整式的积”这一关键，同时要注意验证分解后的式子与原式是否相等，避免出现变形错误。
【难度系数】
0.7
3. 若 $a+b=0,ab=-11$,则 $a^{2}+ab+b^{2}$ 的值为(
A. 11
B. $-11$
C. $-33$
D. 33
A
)。A. 11
B. $-11$
C. $-33$
D. 33
答案
3. A
解析
【分析】
要计算$a^{2}+ab+b^{2}$的值，已知$a+b=0$和$ab=-11$，直接求解$a$、$b$的值较为繁琐，可利用完全平方公式的变形进行整体代入计算。首先将$a^{2}+ab+b^{2}$转化为包含$(a+b)$和$ab$的形式，即通过$a^{2}+b^{2}=(a+b)^2-2ab$进行变形，再代入已知条件即可求出结果。
【解析】
$\begin{aligned}a^{2}+ab+b^{2}&=(a^{2}+b^{2})+ab\\&=(a+b)^2-2ab+ab\\&=(a+b)^2-ab\end{aligned}$
将$a+b=0$，$ab=-11$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=0^2-(-11)\\&=0+11\\&=11\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，通过对所求代数式进行变形，利用整体代入的方法简化计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值，体现了代数运算中转化思想的应用，有助于提升学生的运算技巧。
【难度系数】
0.8
要计算$a^{2}+ab+b^{2}$的值，已知$a+b=0$和$ab=-11$，直接求解$a$、$b$的值较为繁琐，可利用完全平方公式的变形进行整体代入计算。首先将$a^{2}+ab+b^{2}$转化为包含$(a+b)$和$ab$的形式，即通过$a^{2}+b^{2}=(a+b)^2-2ab$进行变形，再代入已知条件即可求出结果。
【解析】
$\begin{aligned}a^{2}+ab+b^{2}&=(a^{2}+b^{2})+ab\\&=(a+b)^2-2ab+ab\\&=(a+b)^2-ab\end{aligned}$
将$a+b=0$，$ab=-11$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=0^2-(-11)\\&=0+11\\&=11\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，通过对所求代数式进行变形，利用整体代入的方法简化计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值，体现了代数运算中转化思想的应用，有助于提升学生的运算技巧。
【难度系数】
0.8
4. 已知 $a-2b=-3$,那么 $a(a-4b)+4b^{2}$ 的值为(
A. $-9$
B. 9
C. $-6$
D. 6
B
)。A. $-9$
B. 9
C. $-6$
D. 6
答案
4. B
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，考虑先对其化简。先展开式子中的乘法部分，再合并同类项，发现可转化为完全平方形式，正好能利用已知条件$a-2b=-3$进行整体代入求值。具体思路：先展开$a(a-4b)$，再与$4b^2$合并，转化为$(a-2b)^2$，最后代入已知值计算。
【解析】
$\begin{aligned}a(a-4b)+4b^2&=a^2-4ab+4b^2\\&=(a-2b)^2\end{aligned}$
已知$a-2b=-3$，将其代入上式：
$(a-2b)^2=(-3)^2=9$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查代数式化简求值，关键是通过完全平方公式将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，运用整体代入思想简化计算，体现了转化思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，考虑先对其化简。先展开式子中的乘法部分，再合并同类项，发现可转化为完全平方形式，正好能利用已知条件$a-2b=-3$进行整体代入求值。具体思路：先展开$a(a-4b)$，再与$4b^2$合并，转化为$(a-2b)^2$，最后代入已知值计算。
【解析】
$\begin{aligned}a(a-4b)+4b^2&=a^2-4ab+4b^2\\&=(a-2b)^2\end{aligned}$
已知$a-2b=-3$，将其代入上式：
$(a-2b)^2=(-3)^2=9$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查代数式化简求值，关键是通过完全平方公式将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，运用整体代入思想简化计算，体现了转化思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 若 $a^{2}+(m-3)a+4$ 能用完全平方公式进行因式分解,则常数 $m$ 的值是(
A. 1或5
B. 1
C. $-1$
D. 7或$-1$
D
)。A. 1或5
B. 1
C. $-1$
D. 7或$-1$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其对应的二次三项式中，首末两项是两个数（或式）的平方，中间项是这两个数（或式）乘积的2倍（正负两种情况）。
题目中的式子$a^{2}+(m-3)a+4$是二次三项式，符合完全平方式的形式，因此先确定常数项4是某个数的平方，得到这个数为$\pm2$，再根据中间项系数与这两个数的关系列出关于$m$的方程，最后解方程即可求出$m$的所有可能值。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于$a^{2}+(m-3)a+4$：
1. 确定平方项：二次项$a^2$是$a$的平方，常数项$4=(\pm2)^2$，即$b=\pm2$；
2. 建立系数关系：中间项系数应满足$m-3=\pm2×1×2$；
当$m-3=2×1×2=4$时，解得$m=4+3=7$；
当$m-3=-2×1×2=-4$时，解得$m=-4+3=-1$；
因此，常数$m$的值为7或$-1$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，解题关键是牢记完全平方公式的两种形式（和的平方、差的平方），避免因只考虑一种情况而漏解，属于基础题型，注重对公式概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需紧扣完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其对应的二次三项式中，首末两项是两个数（或式）的平方，中间项是这两个数（或式）乘积的2倍（正负两种情况）。
题目中的式子$a^{2}+(m-3)a+4$是二次三项式，符合完全平方式的形式，因此先确定常数项4是某个数的平方，得到这个数为$\pm2$，再根据中间项系数与这两个数的关系列出关于$m$的方程，最后解方程即可求出$m$的所有可能值。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于$a^{2}+(m-3)a+4$：
1. 确定平方项：二次项$a^2$是$a$的平方，常数项$4=(\pm2)^2$，即$b=\pm2$；
2. 建立系数关系：中间项系数应满足$m-3=\pm2×1×2$；
当$m-3=2×1×2=4$时，解得$m=4+3=7$；
当$m-3=-2×1×2=-4$时，解得$m=-4+3=-1$；
因此，常数$m$的值为7或$-1$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，解题关键是牢记完全平方公式的两种形式（和的平方、差的平方），避免因只考虑一种情况而漏解，属于基础题型，注重对公式概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
6. 将下列多项式因式分解,结果中不含因式$(x+2)$的是(
A. $2x^{2}+4x$
B. $3x^{2}-12$
C. $x^{2}+x-6$
D. $(x-2)^{2}+8(x-2)+16$
C
)。A. $2x^{2}+4x$
B. $3x^{2}-12$
C. $x^{2}+x-6$
D. $(x-2)^{2}+8(x-2)+16$
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们的思路是：对每个选项中的多项式进行因式分解，然后判断分解结果中是否含有因式$(x+2)$，最终选出不含该因式的选项。具体来说，我们需要根据每个多项式的特点，选择合适的因式分解方法（如提取公因式法、公式法、十字相乘法等）进行分解，再逐一排查。
【解析】
对各选项逐一因式分解：
选项A：$2x^{2}+4x$，提取公因式$2x$，可得$2x^{2}+4x=2x(x+2)$，结果中含有因式$(x+2)$；
选项B：$3x^{2}-12$，先提取公因式$3$，得到$3(x^{2}-4)$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$x^2-4$，可得$3(x+2)(x-2)$，结果中含有因式$(x+2)$；
选项C：$x^{2}+x-6$，利用十字相乘法，将$-6$分解为$3×(-2)$，且$3+(-2)=1$，可得$x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$，结果中不含因式$(x+2)$；
选项D：$(x-2)^{2}+8(x-2)+16$，把$(x-2)$看作一个整体，利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=(x-2)$，$b=4$，可得$[(x-2)+4]^2=(x+2)^2$，结果中含有因式$(x+2)$。
综上，只有选项C的分解结果不含因式$(x+2)$。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法、公式法、十字相乘法
【点评】
本题考查因式分解的多种方法的综合应用，需要学生熟练掌握提取公因式法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法的适用条件和操作步骤，通过逐一分析选项培养严谨的逻辑判断能力，属于基础题型，有助于巩固因式分解的核心知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们的思路是：对每个选项中的多项式进行因式分解，然后判断分解结果中是否含有因式$(x+2)$，最终选出不含该因式的选项。具体来说，我们需要根据每个多项式的特点，选择合适的因式分解方法（如提取公因式法、公式法、十字相乘法等）进行分解，再逐一排查。
【解析】
对各选项逐一因式分解：
选项A：$2x^{2}+4x$，提取公因式$2x$，可得$2x^{2}+4x=2x(x+2)$，结果中含有因式$(x+2)$；
选项B：$3x^{2}-12$，先提取公因式$3$，得到$3(x^{2}-4)$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$x^2-4$，可得$3(x+2)(x-2)$，结果中含有因式$(x+2)$；
选项C：$x^{2}+x-6$，利用十字相乘法，将$-6$分解为$3×(-2)$，且$3+(-2)=1$，可得$x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$，结果中不含因式$(x+2)$；
选项D：$(x-2)^{2}+8(x-2)+16$，把$(x-2)$看作一个整体，利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=(x-2)$，$b=4$，可得$[(x-2)+4]^2=(x+2)^2$，结果中含有因式$(x+2)$。
综上，只有选项C的分解结果不含因式$(x+2)$。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法、公式法、十字相乘法
【点评】
本题考查因式分解的多种方法的综合应用，需要学生熟练掌握提取公因式法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法的适用条件和操作步骤，通过逐一分析选项培养严谨的逻辑判断能力，属于基础题型，有助于巩固因式分解的核心知识点。
【难度系数】
0.8
7. 面积为 $12a^{3}b+6a^{2}b^{2}$ 的长方形的长为$2ab$,则宽为
$6a^{2}+3ab$
。答案
7. $6a^{2}+3ab$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积 = 长 × 宽，因此宽 = 面积 ÷ 长。已知面积是多项式$12a^{3}b+6a^{2}b^{2}$，长是单项式$2ab$，所以需要用多项式除以单项式的法则来计算。具体思路是：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时要注意系数的除法和同底数幂的除法运算规则。
【解析】
根据长方形面积公式，宽 = 面积 ÷ 长，代入已知条件可得：
宽 = $(12a^{3}b + 6a^{2}b^{2}) ÷ 2ab$
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$12a^{3}b ÷ 2ab = (12÷2) × (a^{3}÷ a) × (b÷ b) = 6a^{2}$
$6a^{2}b^{2} ÷ 2ab = (6÷2) × (a^{2}÷ a) × (b^{2}÷ b) = 3ab$
将两个商相加，得到宽为$6a^{2} + 3ab$。
【答案】
$6a^{2}+3ab$
【知识点】
多项式除以单项式、长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考察多项式除以单项式的运算，属于基础整式运算题。解题时需熟练掌握多项式除以单项式的法则，注意系数的计算和同底数幂的除法运算（底数不变，指数相减），避免出现系数计算错误或幂的指数运算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积 = 长 × 宽，因此宽 = 面积 ÷ 长。已知面积是多项式$12a^{3}b+6a^{2}b^{2}$，长是单项式$2ab$，所以需要用多项式除以单项式的法则来计算。具体思路是：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时要注意系数的除法和同底数幂的除法运算规则。
【解析】
根据长方形面积公式，宽 = 面积 ÷ 长，代入已知条件可得：
宽 = $(12a^{3}b + 6a^{2}b^{2}) ÷ 2ab$
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$12a^{3}b ÷ 2ab = (12÷2) × (a^{3}÷ a) × (b÷ b) = 6a^{2}$
$6a^{2}b^{2} ÷ 2ab = (6÷2) × (a^{2}÷ a) × (b^{2}÷ b) = 3ab$
将两个商相加，得到宽为$6a^{2} + 3ab$。
【答案】
$6a^{2}+3ab$
【知识点】
多项式除以单项式、长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考察多项式除以单项式的运算，属于基础整式运算题。解题时需熟练掌握多项式除以单项式的法则，注意系数的计算和同底数幂的除法运算（底数不变，指数相减），避免出现系数计算错误或幂的指数运算失误。
【难度系数】
0.8
8. 因式分解:
$6ab^{2}-8ab-2b=$
$-x^{2}-y^{2}+2xy=$
$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m=$
$-2xy^{2}+8x(y-1)=$
$6ab^{2}-8ab-2b=$
$2b(3ab-4a-1)$
;$-x^{2}-y^{2}+2xy=$
$-(x-y)^{2}$
;$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m=$
$m(a+1)^{2}$
;$-2xy^{2}+8x(y-1)=$
$-2x(y-2)^{2}$
。答案
8. $2b(3ab-4a-1)$ $-(x-y)^{2}$ $m(a+1)^{2}$
$-2x(y-2)^{2}$
$-2x(y-2)^{2}$
解析
【分析】
这是四道因式分解题，解题思路为：先观察式子是否存在公因式，优先提取公因式；提取公因式后，再看剩余部分是否符合公式（如完全平方公式），进行进一步分解：
1. 对于$6ab^{2}-8ab-2b$，先找各项公因式，系数最大公约数是2，各项都含字母b且最低次幂为1，提取公因式$2b$后整理剩余部分即可。
2. 对于$-x^{2}-y^{2}+2xy$，先调整式子顺序，提取负号后，剩余部分符合完全平方公式的形式，再用完全平方公式分解。
3. 对于$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m$，先提取公因式$m$，把$(a+2)$看作一个整体，剩余部分是完全平方形式，再利用完全平方公式分解。
4. 对于$-2xy^{2}+8x(y-1)$，先提取公因式$-2x$，展开括号内式子并整理后，发现其符合完全平方公式，再进行分解。
【解析】
1. 分解$6ab^{2}-8ab-2b$：
提取公因式$2b$，可得：
$6ab^{2}-8ab-2b=2b(3ab - 4a - 1)$
2. 分解$-x^{2}-y^{2}+2xy$：
先变形为$-(x^{2} - 2xy + y^{2})$，
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=y$），可得：
$-x^{2}-y^{2}+2xy=-(x - y)^{2}$
3. 分解$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m$：
提取公因式$m$，可得：
$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m=m[(a+2)^{2} - 2(a+2) + 1]$
将$(a+2)$看作整体，根据完全平方公式，可得：
$m[(a+2)-1]^{2}=m(a+1)^{2}$
4. 分解$-2xy^{2}+8x(y-1)$：
提取公因式$-2x$，可得：
$-2xy^{2}+8x(y-1)=-2x[y^{2} - 4(y - 1)]$
展开括号内的式子并整理：
$-2x(y^{2} - 4y + 4)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=y$，$b=2$），可得：
$-2xy^{2}+8x(y-1)=-2x(y - 2)^{2}$
【答案】
$2b(3ab-4a-1)$；$-(x-y)^{2}$；$m(a+1)^{2}$；$-2x(y-2)^{2}$
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提取公因式法和完全平方公式的应用，分解时要注意分解彻底，对于含括号的式子可将括号内整体看作一个变量简化过程，同时要重视符号的正确处理。
【难度系数】
0.6
这是四道因式分解题，解题思路为：先观察式子是否存在公因式，优先提取公因式；提取公因式后，再看剩余部分是否符合公式（如完全平方公式），进行进一步分解：
1. 对于$6ab^{2}-8ab-2b$，先找各项公因式，系数最大公约数是2，各项都含字母b且最低次幂为1，提取公因式$2b$后整理剩余部分即可。
2. 对于$-x^{2}-y^{2}+2xy$，先调整式子顺序，提取负号后，剩余部分符合完全平方公式的形式，再用完全平方公式分解。
3. 对于$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m$，先提取公因式$m$，把$(a+2)$看作一个整体，剩余部分是完全平方形式，再利用完全平方公式分解。
4. 对于$-2xy^{2}+8x(y-1)$，先提取公因式$-2x$，展开括号内式子并整理后，发现其符合完全平方公式，再进行分解。
【解析】
1. 分解$6ab^{2}-8ab-2b$：
提取公因式$2b$，可得：
$6ab^{2}-8ab-2b=2b(3ab - 4a - 1)$
2. 分解$-x^{2}-y^{2}+2xy$：
先变形为$-(x^{2} - 2xy + y^{2})$，
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=y$），可得：
$-x^{2}-y^{2}+2xy=-(x - y)^{2}$
3. 分解$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m$：
提取公因式$m$，可得：
$m(a+2)^{2}-2m(a+2)+m=m[(a+2)^{2} - 2(a+2) + 1]$
将$(a+2)$看作整体，根据完全平方公式，可得：
$m[(a+2)-1]^{2}=m(a+1)^{2}$
4. 分解$-2xy^{2}+8x(y-1)$：
提取公因式$-2x$，可得：
$-2xy^{2}+8x(y-1)=-2x[y^{2} - 4(y - 1)]$
展开括号内的式子并整理：
$-2x(y^{2} - 4y + 4)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=y$，$b=2$），可得：
$-2xy^{2}+8x(y-1)=-2x(y - 2)^{2}$
【答案】
$2b(3ab-4a-1)$；$-(x-y)^{2}$；$m(a+1)^{2}$；$-2x(y-2)^{2}$
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提取公因式法和完全平方公式的应用，分解时要注意分解彻底，对于含括号的式子可将括号内整体看作一个变量简化过程，同时要重视符号的正确处理。
【难度系数】
0.6
9. 多项式 $x^{2}-kx+6$ 因式分解后有一个因式为 $x-2$,则 $k$ 的值为
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从因式分解与多项式的关系入手。已知多项式$x^2 - kx + 6$有一个因式为$x-2$，根据因式定理：如果多项式$f(x)$有因式$x-a$，那么$f(a)=0$，所以当$x=2$时，该多项式的值为0，代入后可得到关于$k$的一元一次方程，解这个方程就能求出$k$的值；也可以用待定系数法，设另一个因式为$x+a$，将$(x-2)(x+a)$展开后与原多项式对比系数，进而求出$k$。
【解析】
方法一：利用因式定理
因为$x-2$是多项式$x^2 - kx + 6$的因式，所以当$x=2$时，$x^2 - kx + 6=0$。
将$x=2$代入多项式得：
$2^2 - k×2 + 6 = 0$
计算得：$4 - 2k + 6 = 0$
合并同类项：$10 - 2k = 0$
移项解得：$2k = 10$，即$k=5$。
方法二：待定系数法
设多项式$x^2 - kx + 6$的另一个因式为$x+a$，则：
$x^2 - kx + 6 = (x-2)(x+a)$
展开右边得：$x^2 + (a-2)x - 2a$
对比左右两边多项式的系数：
常数项：$-2a = 6$，解得$a=-3$；
一次项系数：$a-2 = -k$，将$a=-3$代入得：$-3 - 2 = -k$，即$-5 = -k$，解得$k=5$。
【答案】
5
【知识点】
因式定理，待定系数法
【点评】
本题主要考查因式分解相关知识，通过因式定理或待定系数法建立方程求解参数$k$，体现了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题思路灵活，需要学生理解因式与多项式根的联系，掌握基本的代数运算技巧。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以从因式分解与多项式的关系入手。已知多项式$x^2 - kx + 6$有一个因式为$x-2$，根据因式定理：如果多项式$f(x)$有因式$x-a$，那么$f(a)=0$，所以当$x=2$时，该多项式的值为0，代入后可得到关于$k$的一元一次方程，解这个方程就能求出$k$的值；也可以用待定系数法，设另一个因式为$x+a$，将$(x-2)(x+a)$展开后与原多项式对比系数，进而求出$k$。
【解析】
方法一：利用因式定理
因为$x-2$是多项式$x^2 - kx + 6$的因式，所以当$x=2$时，$x^2 - kx + 6=0$。
将$x=2$代入多项式得：
$2^2 - k×2 + 6 = 0$
计算得：$4 - 2k + 6 = 0$
合并同类项：$10 - 2k = 0$
移项解得：$2k = 10$，即$k=5$。
方法二：待定系数法
设多项式$x^2 - kx + 6$的另一个因式为$x+a$，则：
$x^2 - kx + 6 = (x-2)(x+a)$
展开右边得：$x^2 + (a-2)x - 2a$
对比左右两边多项式的系数：
常数项：$-2a = 6$，解得$a=-3$；
一次项系数：$a-2 = -k$，将$a=-3$代入得：$-3 - 2 = -k$，即$-5 = -k$，解得$k=5$。
【答案】
5
【知识点】
因式定理，待定系数法
【点评】
本题主要考查因式分解相关知识，通过因式定理或待定系数法建立方程求解参数$k$，体现了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题思路灵活，需要学生理解因式与多项式根的联系，掌握基本的代数运算技巧。
【难度系数】
0.8
10. 如图①是一个长为 $2a$,宽为 $2b$ 的长方形,若把它按图中的虚线均分为四个小长方形,然后按图乙的形状拼成一个中空的正方形(图②)。我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用图形的面积来解释其正确性。试根据图②,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式:
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
。答案
10. $(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
解析
【分析】
我们可以通过两种方式表示图②中空正方形的面积：
1. 直接观察大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，大正方形的面积为$(a+b)^2$；
2. 将大正方形拆分为中间空白小正方形与四个阴影小长方形，中间空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，四个阴影小长方形的总面积与图①的面积相等，即$4ab$，因此大正方形的面积也可表示为$(a-b)^2 + 4ab$。
由于两种方式表示的是同一个图形的面积，由此可推导出对应的代数恒等式。
【解析】
1. 直接计算图②大正方形的面积：
大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$。
2. 用分割法计算图②的面积：
中间空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；四个阴影小长方形的总面积等于图①的面积，即$\boldsymbol{4ab}$，因此图②的面积可表示为$\boldsymbol{(a-b)^2 + 4ab}$。
3. 因为两种方式表示的是同一个图形的面积，所以可得：
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
【答案】
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
【知识点】
完全平方公式的几何意义；数形结合思想
【点评】
本题借助图形面积的不同表达形式，验证了完全平方相关的代数恒等式，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们从几何角度理解代数公式的本质，加深对整式乘法公式的认识。
【难度系数】
0.7
我们可以通过两种方式表示图②中空正方形的面积：
1. 直接观察大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，大正方形的面积为$(a+b)^2$；
2. 将大正方形拆分为中间空白小正方形与四个阴影小长方形，中间空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，四个阴影小长方形的总面积与图①的面积相等，即$4ab$，因此大正方形的面积也可表示为$(a-b)^2 + 4ab$。
由于两种方式表示的是同一个图形的面积，由此可推导出对应的代数恒等式。
【解析】
1. 直接计算图②大正方形的面积：
大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$。
2. 用分割法计算图②的面积：
中间空白小正方形的边长为$a-b$，面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；四个阴影小长方形的总面积等于图①的面积，即$\boldsymbol{4ab}$，因此图②的面积可表示为$\boldsymbol{(a-b)^2 + 4ab}$。
3. 因为两种方式表示的是同一个图形的面积，所以可得：
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
【答案】
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
【知识点】
完全平方公式的几何意义；数形结合思想
【点评】
本题借助图形面积的不同表达形式，验证了完全平方相关的代数恒等式，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们从几何角度理解代数公式的本质，加深对整式乘法公式的认识。
【难度系数】
0.7
三、解答题(3个小题,共40分)
11.(12分)因式分解:
(1)$6(x-y)^{2}+3(y-x)^{3}$;
(2)$(a+1)^{2}-9(a-1)^{2}$;
(3)$a^{4}-81b^{4}$;
(4)$16x^{4}-8x^{2}+1$。
11.(12分)因式分解:
(1)$6(x-y)^{2}+3(y-x)^{3}$;
(2)$(a+1)^{2}-9(a-1)^{2}$;
(3)$a^{4}-81b^{4}$;
(4)$16x^{4}-8x^{2}+1$。
答案
11.解:(1)原式$=3(y-x)^{2}(2+y-x);$
(2)原式$=-4(2a-1)(a-2);$
(3)原式$=(a+3b)(a-3b)(a^{2}+9b^{2});$
(4)原式$=(2x+1)^{2}(2x-1)^{2}$。
(2)原式$=-4(2a-1)(a-2);$
(3)原式$=(a+3b)(a-3b)(a^{2}+9b^{2});$
(4)原式$=(2x+1)^{2}(2x-1)^{2}$。
解析
【分析】
本题是因式分解的综合题，需根据不同式子的特点选择合适的因式分解方法：
1. 第(1)小题，先利用$(x-y)^2=(y-x)^2$统一底数，再提取公因式即可完成分解；
2. 第(2)小题可将式子变形为平方差形式，利用平方差公式分解后，提取公因式化简；
3. 第(3)小题是两次平方差的形式，先利用平方差分解出$(a^2+9b^2)(a^2-9b^2)$，再对$a^2-9b^2$再次使用平方差公式；
4. 第(4)小题先利用完全平方公式分解，再对分解后的式子使用平方差公式，最终分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) $6(x-y)^{2}+3(y-x)^{3}$
$=6(y-x)^{2}+3(y-x)^{3}$（因为$(x-y)^2=(y-x)^2$）
$=3(y-x)^2[2+(y-x)]$（提取公因式$3(y-x)^2$）
$=3(y-x)^{2}(2+y-x)$
(2) $(a+1)^{2}-9(a-1)^{2}$
$=(a+1)^2-[3(a-1)]^2$（将$9(a-1)^2$转化为平方形式）
$=[(a+1)+3(a-1)][(a+1)-3(a-1)]$（利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）
$=(a+1+3a-3)(a+1-3a+3)$
$=(4a-2)(-2a+4)$
$=2(2a-1)×(-2)(a-2)$（分别提取公因式）
$=-4(2a-1)(a-2)$
(3) $a^{4}-81b^{4}$
$=(a^2)^2-(9b^2)^2$（转化为平方差形式）
$=(a^2+9b^2)(a^2-9b^2)$（利用平方差公式）
$=(a^2+9b^2)(a+3b)(a-3b)$（对$a^2-9b^2$再次使用平方差公式）
(4) $16x^{4}-8x^{2}+1$
$=(4x^2)^2-2×4x^2×1+1^2$（转化为完全平方形式）
$=(4x^2-1)^2$（利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$）
$=[(2x+1)(2x-1)]^2$（对$4x^2-1$使用平方差公式）
$=(2x+1)^{2}(2x-1)^{2}$
【答案】
(1)$3(y-x)^{2}(2+y-x)$；
(2)$-4(2a-1)(a-2)$；
(3)$(a+3b)(a-3b)(a^{2}+9b^{2})$；
(4)$(2x+1)^{2}(2x-1)^{2}$。
【知识点】
1. 提取公因式法；
2. 平方差公式；
3. 完全平方公式。
【点评】
本题考查因式分解多种方法的综合运用，解题关键是根据式子特征选择合适的分解方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止，同时要准确处理$(x-y)$与$(y-x)$的符号转化。
【难度系数】
0.6
本题是因式分解的综合题，需根据不同式子的特点选择合适的因式分解方法：
1. 第(1)小题，先利用$(x-y)^2=(y-x)^2$统一底数，再提取公因式即可完成分解；
2. 第(2)小题可将式子变形为平方差形式，利用平方差公式分解后，提取公因式化简；
3. 第(3)小题是两次平方差的形式，先利用平方差分解出$(a^2+9b^2)(a^2-9b^2)$，再对$a^2-9b^2$再次使用平方差公式；
4. 第(4)小题先利用完全平方公式分解，再对分解后的式子使用平方差公式，最终分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) $6(x-y)^{2}+3(y-x)^{3}$
$=6(y-x)^{2}+3(y-x)^{3}$（因为$(x-y)^2=(y-x)^2$）
$=3(y-x)^2[2+(y-x)]$（提取公因式$3(y-x)^2$）
$=3(y-x)^{2}(2+y-x)$
(2) $(a+1)^{2}-9(a-1)^{2}$
$=(a+1)^2-[3(a-1)]^2$（将$9(a-1)^2$转化为平方形式）
$=[(a+1)+3(a-1)][(a+1)-3(a-1)]$（利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）
$=(a+1+3a-3)(a+1-3a+3)$
$=(4a-2)(-2a+4)$
$=2(2a-1)×(-2)(a-2)$（分别提取公因式）
$=-4(2a-1)(a-2)$
(3) $a^{4}-81b^{4}$
$=(a^2)^2-(9b^2)^2$（转化为平方差形式）
$=(a^2+9b^2)(a^2-9b^2)$（利用平方差公式）
$=(a^2+9b^2)(a+3b)(a-3b)$（对$a^2-9b^2$再次使用平方差公式）
(4) $16x^{4}-8x^{2}+1$
$=(4x^2)^2-2×4x^2×1+1^2$（转化为完全平方形式）
$=(4x^2-1)^2$（利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$）
$=[(2x+1)(2x-1)]^2$（对$4x^2-1$使用平方差公式）
$=(2x+1)^{2}(2x-1)^{2}$
【答案】
(1)$3(y-x)^{2}(2+y-x)$；
(2)$-4(2a-1)(a-2)$；
(3)$(a+3b)(a-3b)(a^{2}+9b^{2})$；
(4)$(2x+1)^{2}(2x-1)^{2}$。
【知识点】
1. 提取公因式法；
2. 平方差公式；
3. 完全平方公式。
【点评】
本题考查因式分解多种方法的综合运用，解题关键是根据式子特征选择合适的分解方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止，同时要准确处理$(x-y)$与$(y-x)$的符号转化。
【难度系数】
0.6
