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12.(14分)【观察】
$(2+3)^{2}-2^{2}=(2+3+2)(2+3-2)=7×3$,
$(4+3)^{2}-4^{2}=(4+3+4)(4+3-4)=11×3$,
$(6+3)^{2}-6^{2}=(6+3+6)(6+3-6)=15×3$,……
【猜想】
比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除。
【验证】
(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3整除;
(2)若设这个偶数为 $2n$,试说明比 $2n$ 大3的数与 $2n$ 的平方差能否被3整除;
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除。
$(2+3)^{2}-2^{2}=(2+3+2)(2+3-2)=7×3$,
$(4+3)^{2}-4^{2}=(4+3+4)(4+3-4)=11×3$,
$(6+3)^{2}-6^{2}=(6+3+6)(6+3-6)=15×3$,……
【猜想】
比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除。
【验证】
(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3整除;
(2)若设这个偶数为 $2n$,试说明比 $2n$ 大3的数与 $2n$ 的平方差能否被3整除;
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除。
答案
12.解:(1)$13^{2}-10^{2}=(13+10)(13-10)=69$。
$69÷3=23$,所以13和10的平方差能被3整除。
(2)$(2n+3)^{2}-(2n)^{2}=(2n+3+2n)(2n+3-2n)$
$=3(4n+3)$,所以比2n大3的数与2n的平方差能被3
整除；
(3)设这个数为n,比n大9的数为$n+9$。
$(n+9)^{2}-n^{2}=(n+9+n)(n+9-n)=9(2n+9)$,所以
比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9
整除。
$69÷3=23$,所以13和10的平方差能被3整除。
(2)$(2n+3)^{2}-(2n)^{2}=(2n+3+2n)(2n+3-2n)$
$=3(4n+3)$,所以比2n大3的数与2n的平方差能被3
整除；
(3)设这个数为n,比n大9的数为$n+9$。
$(n+9)^{2}-n^{2}=(n+9+n)(n+9-n)=9(2n+9)$,所以
比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9
整除。
解析
【分析】
1. 第(1)问：直接根据题目要求，利用平方差公式计算13与10的平方差，再判断结果是否能被3整除即可；
2. 第(2)问：先根据题意表示出比偶数$2n$大3的数为$2n+3$，再对这两个数的平方差运用平方差公式展开化简，观察结果是否含因数3，以此判断能否被3整除；
3. 第(3)问：类比前两问思路，设任意整数为$n$，写出比它大9的数$n+9$，对平方差运用平方差公式展开，看结果是否含因数9，进而判断能否被9整除。
【解析】
(1) 计算13和10的平方差：
$\begin{aligned}13^2 - 10^2&=(13+10)(13-10)\\&=23×3\\&=69\end{aligned}$
因为$69÷3=23$，商为整数，所以13和10的平方差能被3整除。
(2) 设这个偶数为$2n$，比$2n$大3的数为$2n+3$，计算平方差：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - (2n)^2&=(2n+3+2n)(2n+3-2n)\\&=(4n+3)×3\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
由于化简结果含有因数3，因此比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
(3) 设任意整数为$n$，比$n$大9的数为$n+9$，计算平方差：
$\begin{aligned}(n+9)^2 - n^2&=(n+9+n)(n+9-n)\\&=(2n+9)×9\\&=9(2n+9)\end{aligned}$
因为化简结果含有因数9，所以比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【答案】
(1) 13和10的平方差能被3整除；
(2) 比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除；
(3) 比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【知识点】
平方差公式应用、整式化简、整除判定
【点评】
本题从特殊例子出发猜想规律，再通过代数运算验证规律并延伸拓展，考查了平方差公式的灵活运用，渗透了从特殊到一般的数学思想，能有效提升学生的归纳推理与代数运算能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：直接根据题目要求，利用平方差公式计算13与10的平方差，再判断结果是否能被3整除即可；
2. 第(2)问：先根据题意表示出比偶数$2n$大3的数为$2n+3$，再对这两个数的平方差运用平方差公式展开化简，观察结果是否含因数3，以此判断能否被3整除；
3. 第(3)问：类比前两问思路，设任意整数为$n$，写出比它大9的数$n+9$，对平方差运用平方差公式展开，看结果是否含因数9，进而判断能否被9整除。
【解析】
(1) 计算13和10的平方差：
$\begin{aligned}13^2 - 10^2&=(13+10)(13-10)\\&=23×3\\&=69\end{aligned}$
因为$69÷3=23$，商为整数，所以13和10的平方差能被3整除。
(2) 设这个偶数为$2n$，比$2n$大3的数为$2n+3$，计算平方差：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 - (2n)^2&=(2n+3+2n)(2n+3-2n)\\&=(4n+3)×3\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
由于化简结果含有因数3，因此比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
(3) 设任意整数为$n$，比$n$大9的数为$n+9$，计算平方差：
$\begin{aligned}(n+9)^2 - n^2&=(n+9+n)(n+9-n)\\&=(2n+9)×9\\&=9(2n+9)\end{aligned}$
因为化简结果含有因数9，所以比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【答案】
(1) 13和10的平方差能被3整除；
(2) 比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除；
(3) 比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除。
【知识点】
平方差公式应用、整式化简、整除判定
【点评】
本题从特殊例子出发猜想规律，再通过代数运算验证规律并延伸拓展，考查了平方差公式的灵活运用，渗透了从特殊到一般的数学思想，能有效提升学生的归纳推理与代数运算能力。
【难度系数】
0.7
13.(14分)先阅读下面的解题过程,然后完成后面的题目:
因式分解:$x^{4}+4$。
解:$x^{4}+4$
$=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}$
$=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}$
$=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$
以上解法中,在 $x^{4}+4$ 的中间加上一项,使得三项组成一个完全平方式,为了保持式子的值不变,必须减去同样的一项。
按照这个思路,试把多项式 $x^{4}+64y^{4}$ 因式分解。
因式分解:$x^{4}+4$。
解:$x^{4}+4$
$=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}$
$=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}$
$=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$
以上解法中,在 $x^{4}+4$ 的中间加上一项,使得三项组成一个完全平方式,为了保持式子的值不变,必须减去同样的一项。
按照这个思路,试把多项式 $x^{4}+64y^{4}$ 因式分解。
答案
13.解:$x^{4}+64y^{4}$
$=x^{4}+16x^{2}y^{2}+64y^{4}-16x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+8y^{2})^{2}-16x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+8y^{2}+4xy)(x^{2}+8y^{2}-4xy)$。
$=x^{4}+16x^{2}y^{2}+64y^{4}-16x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+8y^{2})^{2}-16x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+8y^{2}+4xy)(x^{2}+8y^{2}-4xy)$。
解析
【分析】
首先参考题目给出的示例解法，核心思路是运用添项法：通过添加一项让原式的部分构成完全平方式，同时减去相同的项保证式子的值不变，再借助平方差公式完成因式分解。对于多项式$x^{4}+64y^{4}$，$x^{4}=(x^{2})^{2}$，$64y^{4}=(8y^{2})^{2}$，根据完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，可确定需要添加的中间项为$2× x^{2}×8y^{2}=16x^{2}y^{2}$，添加后再减去该项，先组成完全平方式，再用平方差公式分解即可。
【解析】
$\begin{aligned}x^{4}+64y^{4}&=x^{4}+16x^{2}y^{2}+64y^{4}-16x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+8y^{2})^{2}-(4xy)^{2}\\&=(x^{2}+8y^{2}+4xy)(x^{2}+8y^{2}-4xy)\end{aligned}$
【答案】
$(x^{2}+8y^{2}+4xy)(x^{2}+8y^{2}-4xy)$
【知识点】
添项法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解中添项法与公式法的综合运用，关键是精准找到需添加的项，将原式转化为可利用公式分解的形式，培养了学生对因式分解方法的灵活运用能力及转化思想。
【难度系数】
0.3
首先参考题目给出的示例解法，核心思路是运用添项法：通过添加一项让原式的部分构成完全平方式，同时减去相同的项保证式子的值不变，再借助平方差公式完成因式分解。对于多项式$x^{4}+64y^{4}$，$x^{4}=(x^{2})^{2}$，$64y^{4}=(8y^{2})^{2}$，根据完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，可确定需要添加的中间项为$2× x^{2}×8y^{2}=16x^{2}y^{2}$，添加后再减去该项，先组成完全平方式，再用平方差公式分解即可。
【解析】
$\begin{aligned}x^{4}+64y^{4}&=x^{4}+16x^{2}y^{2}+64y^{4}-16x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+8y^{2})^{2}-(4xy)^{2}\\&=(x^{2}+8y^{2}+4xy)(x^{2}+8y^{2}-4xy)\end{aligned}$
【答案】
$(x^{2}+8y^{2}+4xy)(x^{2}+8y^{2}-4xy)$
【知识点】
添项法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解中添项法与公式法的综合运用，关键是精准找到需添加的项，将原式转化为可利用公式分解的形式，培养了学生对因式分解方法的灵活运用能力及转化思想。
【难度系数】
0.3
