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概念建构
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
| 位置关系 | 相离 | 相切 | 相交 |
| --- | --- | --- | --- |
| 示意图 | | 图1 | |
| 公共点个数 | 0 | 1 | 2 |
| d与r的关系 | d
A 基础巩固
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
| 位置关系 | 相离 | 相切 | 相交 |
| --- | --- | --- | --- |
| 示意图 | | 图1 | |
| 公共点个数 | 0 | 1 | 2 |
| d与r的关系 | d
＞
r | d=
r | d＜
r |A 基础巩固
答案
＞;=;＜
解析
【分析】
解题时可以结合直线与圆不同位置关系的特点推导d和r的大小关系：①相离时直线与圆没有公共点，说明直线完全在圆外，圆心到直线的距离大于半径；②相切时直线与圆仅有1个公共点，是刚好接触的状态，圆心到直线的距离等于半径；③相交时直线与圆有2个公共点，说明直线穿过圆的内部，圆心到直线的距离小于半径。
【解析】
1. 当直线与圆相离时，无公共点，直线位于圆外，因此圆心到直线的距离$d＞$半径$r$，第一空填“＞”；
2. 当直线与圆相切时，仅有1个公共点，直线与圆刚好接触，因此圆心到直线的距离$d＝$半径$r$，第二空填“＝”；
3. 当直线与圆相交时，有2个公共点，直线穿过圆内部，因此圆心到直线的距离$d＜$半径$r$，第三空填“＜”。
【答案】
＞;=;＜
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；圆心到直线距离与半径的比较
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记直线与圆三种位置关系对应的d与r的大小对应规律，这是解决直线与圆相关几何问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题时可以结合直线与圆不同位置关系的特点推导d和r的大小关系：①相离时直线与圆没有公共点，说明直线完全在圆外，圆心到直线的距离大于半径；②相切时直线与圆仅有1个公共点，是刚好接触的状态，圆心到直线的距离等于半径；③相交时直线与圆有2个公共点，说明直线穿过圆的内部，圆心到直线的距离小于半径。
【解析】
1. 当直线与圆相离时，无公共点，直线位于圆外，因此圆心到直线的距离$d＞$半径$r$，第一空填“＞”；
2. 当直线与圆相切时，仅有1个公共点，直线与圆刚好接触，因此圆心到直线的距离$d＝$半径$r$，第二空填“＝”；
3. 当直线与圆相交时，有2个公共点，直线穿过圆内部，因此圆心到直线的距离$d＜$半径$r$，第三空填“＜”。
【答案】
＞;=;＜
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；圆心到直线距离与半径的比较
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记直线与圆三种位置关系对应的d与r的大小对应规律，这是解决直线与圆相关几何问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 新情境 合肥某饭店“光盘行动”的宣传海报如图所示，图中筷子与餐盘可看成直线和圆的位置关系是 （
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
B
）A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确直线与圆三种位置关系的判定标准：根据直线和圆的公共点个数区分，没有公共点是相离，1个公共点是相切，2个公共点是相交。接下来将图中的筷子抽象为直线、餐盘的圆形轮廓抽象为圆，观察二者的公共点数量，对应判定标准即可得出结论。
【解析】
直线与圆的位置关系有三类：
1. 相离：直线与圆没有公共点；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点；
3. 相交：直线与圆有2个公共点。
将题图中的筷子看作直线，餐盘的圆形轮廓看作圆，观察可得该直线与圆有2个公共点，因此二者的位置关系是相交，故选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合“光盘行动”的生活情境出题，将抽象的数学知识和实际生活结合，既考查了基础知识点的掌握情况，也渗透了节约粮食的德育引导，整体考查形式灵活，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确直线与圆三种位置关系的判定标准：根据直线和圆的公共点个数区分，没有公共点是相离，1个公共点是相切，2个公共点是相交。接下来将图中的筷子抽象为直线、餐盘的圆形轮廓抽象为圆，观察二者的公共点数量，对应判定标准即可得出结论。
【解析】
直线与圆的位置关系有三类：
1. 相离：直线与圆没有公共点；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点；
3. 相交：直线与圆有2个公共点。
将题图中的筷子看作直线，餐盘的圆形轮廓看作圆，观察可得该直线与圆有2个公共点，因此二者的位置关系是相交，故选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合“光盘行动”的生活情境出题，将抽象的数学知识和实际生活结合，既考查了基础知识点的掌握情况，也渗透了节约粮食的德育引导，整体考查形式灵活，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.已知$\odot O$的半径为4 cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则直线l与$\odot O$的位置关系为(
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
A
)A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
2.A
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：若d＜r，直线与圆相交；若d=r，直线与圆相切；若d＞r，直线与圆相离。本题已经直接给出了圆的半径和圆心到直线的距离，只需代入数值比较大小，即可对应得出位置关系。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=4\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=3\ \mathrm{cm}$。
比较$d$与$r$的大小：$\because 3\ \mathrm{cm}＜4\ \mathrm{cm}$，即$d＜r$，
$\therefore$根据直线与圆的位置关系判定规则，直线$l$与$\odot O$相交。
故选A。
【答案】A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟记圆心到直线的距离与圆半径的大小关系对应的三种位置关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：若d＜r，直线与圆相交；若d=r，直线与圆相切；若d＞r，直线与圆相离。本题已经直接给出了圆的半径和圆心到直线的距离，只需代入数值比较大小，即可对应得出位置关系。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=4\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=3\ \mathrm{cm}$。
比较$d$与$r$的大小：$\because 3\ \mathrm{cm}＜4\ \mathrm{cm}$，即$d＜r$，
$\therefore$根据直线与圆的位置关系判定规则，直线$l$与$\odot O$相交。
故选A。
【答案】A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟记圆心到直线的距离与圆半径的大小关系对应的三种位置关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. [2025 滁州期中]如图，已知$\odot O$的半径为6，点O到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是（
A.AD
B.AB
C.BC
D.CD
C
）A.AD
B.AB
C.BC
D.CD
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若d＞r则直线与圆相离（无公共点），d=r则相切（1个公共点），d＜r则相交（2个公共点）。本题已知圆半径r=6，点O到目标边的距离为8＞6，说明该边和圆相离，没有公共点，接下来只需观察四条边和圆的公共点情况，找到和圆无公共点的边即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=6$，点O到所求边的距离$d=8$，
$\because 8＞6$，即$d＞r$，
$\therefore$这条边与$\odot O$的位置关系为相离，二者没有公共点。
观察图形中各边与$\odot O$的位置关系：
边AD、AB与$\odot O$都有2个公共点，属于相交，$d＜6$，不符合要求；
边CD与$\odot O$有1个公共点，属于相切，$d=6$，不符合要求；
边BC与$\odot O$没有公共点，属于相离，$d＞6$，符合要求。
因此这条边是BC。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先通过距离和半径的大小关系确定边与圆的位置关系，再结合图形特征判断对应边即可，掌握直线与圆的三类位置关系的判定方法是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直线与圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若d＞r则直线与圆相离（无公共点），d=r则相切（1个公共点），d＜r则相交（2个公共点）。本题已知圆半径r=6，点O到目标边的距离为8＞6，说明该边和圆相离，没有公共点，接下来只需观察四条边和圆的公共点情况，找到和圆无公共点的边即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=6$，点O到所求边的距离$d=8$，
$\because 8＞6$，即$d＞r$，
$\therefore$这条边与$\odot O$的位置关系为相离，二者没有公共点。
观察图形中各边与$\odot O$的位置关系：
边AD、AB与$\odot O$都有2个公共点，属于相交，$d＜6$，不符合要求；
边CD与$\odot O$有1个公共点，属于相切，$d=6$，不符合要求；
边BC与$\odot O$没有公共点，属于相离，$d＞6$，符合要求。
因此这条边是BC。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先通过距离和半径的大小关系确定边与圆的位置关系，再结合图形特征判断对应边即可，掌握直线与圆的三类位置关系的判定方法是解题的前提。
【难度系数】
0.8
4. 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $AC=3\ \mathrm{cm}$, $BC=4\ \mathrm{cm}$, 判断以点 $C$ 为圆心、下列 $r$ 为半径的$\odot C$ 与直线 $AB$ 的位置关系.
(1)$r=2\ \mathrm{cm}$;(2)$r=2.4\ \mathrm{cm}$;(3)$r=3\ \mathrm{cm}$.
(1)$r=2\ \mathrm{cm}$;(2)$r=2.4\ \mathrm{cm}$;(3)$r=3\ \mathrm{cm}$.
答案
4.解: (1)⊙C与直线AB相离.(2)⊙C与直线AB相切.(3)⊙C与直线AB相交.
解析
【分析】
要判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中圆心为点C，直线为AB，因此首先需要求出点C到AB的距离。我们可以先通过勾股定理算出斜边AB的长度，再利用直角三角形的等面积法求出斜边上的高，也就是C到AB的距离d，最后分别将d与三个r比较即可得出结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，即CD为圆心C到直线AB的距离d。
1. 求斜边AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
2. 用等面积法求CD的长度：
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，因此：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4\ \mathrm{cm}$，即$d=2.4\ \mathrm{cm}$。
3. 分别比较d与r的大小判断位置关系：
(1) 当$r=2\ \mathrm{cm}$时，$d=2.4\ \mathrm{cm}＞r$，因此$\odot C$与直线AB相离；
(2) 当$r=2.4\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，因此$\odot C$与直线AB相切；
(3) 当$r=3\ \mathrm{cm}$时，$d=2.4\ \mathrm{cm}＜r$，因此$\odot C$与直线AB相交。
【答案】
(1)⊙C与直线AB相离.(2)⊙C与直线AB相切.(3)⊙C与直线AB相交.
【知识点】
1. 直线与圆位置关系判定
2. 勾股定理
3. 等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题的关键是先准确求出圆心到直线的距离，再通过距离与半径的大小比较得出结论，能很好地考查对基础判定规则的掌握和几何基本计算能力。
【难度系数】
0.8
要判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中圆心为点C，直线为AB，因此首先需要求出点C到AB的距离。我们可以先通过勾股定理算出斜边AB的长度，再利用直角三角形的等面积法求出斜边上的高，也就是C到AB的距离d，最后分别将d与三个r比较即可得出结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，即CD为圆心C到直线AB的距离d。
1. 求斜边AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
2. 用等面积法求CD的长度：
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，因此：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4\ \mathrm{cm}$，即$d=2.4\ \mathrm{cm}$。
3. 分别比较d与r的大小判断位置关系：
(1) 当$r=2\ \mathrm{cm}$时，$d=2.4\ \mathrm{cm}＞r$，因此$\odot C$与直线AB相离；
(2) 当$r=2.4\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，因此$\odot C$与直线AB相切；
(3) 当$r=3\ \mathrm{cm}$时，$d=2.4\ \mathrm{cm}＜r$，因此$\odot C$与直线AB相交。
【答案】
(1)⊙C与直线AB相离.(2)⊙C与直线AB相切.(3)⊙C与直线AB相交.
【知识点】
1. 直线与圆位置关系判定
2. 勾股定理
3. 等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题的关键是先准确求出圆心到直线的距离，再通过距离与半径的大小比较得出结论，能很好地考查对基础判定规则的掌握和几何基本计算能力。
【难度系数】
0.8
5.已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆不同位置关系对应的公共点个数、圆心到直线的距离d与半径r的大小关系：首先由“圆与直线有两个公共点”可判断直线和圆相交，再根据相交的性质得到d＜r，代入已知的d=4，即可得出半径r的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：
∵圆与直线有两个公共点，
∴直线与圆的位置关系为相交，
根据直线与圆相交的性质可知：圆心到直线的距离d ＜ 圆的半径r，
已知圆心到直线的距离d=4，
∴r ＞ 4，
观察选项，只有5满足r＞4，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要牢记直线与圆的三种位置关系对应的公共点个数、d与r的大小关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直线与圆不同位置关系对应的公共点个数、圆心到直线的距离d与半径r的大小关系：首先由“圆与直线有两个公共点”可判断直线和圆相交，再根据相交的性质得到d＜r，代入已知的d=4，即可得出半径r的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：
∵圆与直线有两个公共点，
∴直线与圆的位置关系为相交，
根据直线与圆相交的性质可知：圆心到直线的距离d ＜ 圆的半径r，
已知圆心到直线的距离d=4，
∴r ＞ 4，
观察选项，只有5满足r＞4，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要牢记直线与圆的三种位置关系对应的公共点个数、d与r的大小关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 分类讨论思想 如图，位置固定的圆形铁环(⊙O)的半径为3 cm，水平方向的直线l到圆心O的距离为5 cm，将l直线l沿竖直方向向上平移.若直线l与⊙O相切，则平移的距离为. 
答案
6.2 cm 或 8 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中直线沿竖直方向向上平移，要考虑直线和圆相切的两种位置情况：一是直线平移到圆心下方时和圆相切，二是直线平移到圆心上方时和圆相切，分别计算两种情况的平移距离即可，注意不要漏解。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\mathrm{cm}$，初始状态下直线$l$到圆心$O$的距离为$5\mathrm{cm}$。
当直线$l$与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离等于半径，即距离为$3\mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 直线$l$向上平移至圆心$O$的下方与$\odot O$相切：
此时平移的距离 = 初始距离 - 半径 = $5-3=2(\mathrm{cm})$；
2. 直线$l$向上平移至圆心$O$的上方与$\odot O$相切：
此时平移的距离 = 初始距离 + 半径 = $5+3=8(\mathrm{cm})$。
综上，直线$l$平移的距离为$2\mathrm{cm}$或$8\mathrm{cm}$。
【答案】
2 cm 或 8 cm
【知识点】
直线与圆相切的性质、分类讨论思想、平移的性质
【点评】
本题重点考查直线和圆相切的判定条件，易错点是容易忽略直线平移到圆心上方相切的情况，解题时要结合平移方向全面考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中直线沿竖直方向向上平移，要考虑直线和圆相切的两种位置情况：一是直线平移到圆心下方时和圆相切，二是直线平移到圆心上方时和圆相切，分别计算两种情况的平移距离即可，注意不要漏解。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\mathrm{cm}$，初始状态下直线$l$到圆心$O$的距离为$5\mathrm{cm}$。
当直线$l$与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离等于半径，即距离为$3\mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 直线$l$向上平移至圆心$O$的下方与$\odot O$相切：
此时平移的距离 = 初始距离 - 半径 = $5-3=2(\mathrm{cm})$；
2. 直线$l$向上平移至圆心$O$的上方与$\odot O$相切：
此时平移的距离 = 初始距离 + 半径 = $5+3=8(\mathrm{cm})$。
综上，直线$l$平移的距离为$2\mathrm{cm}$或$8\mathrm{cm}$。
【答案】
2 cm 或 8 cm
【知识点】
直线与圆相切的性质、分类讨论思想、平移的性质
【点评】
本题重点考查直线和圆相切的判定条件，易错点是容易忽略直线平移到圆心上方相切的情况，解题时要结合平移方向全面考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
