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7.已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^2 - 4x + 4 = 0$的解，且点O到直线AB的距离为2，则$\odot O$与直线AB的位置关系为（
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
B
）A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
7.B
解析
【分析】
要判断圆与直线的位置关系，需先求出圆的半径，再将半径与圆心到直线的距离作比较。解题思路为：①先解给定的一元二次方程，得到⊙O的半径r；②回忆直线与圆位置关系的判定规则：圆心到直线的距离d＜r时直线与圆相交，d=r时相切，d＞r时相离；③把已知的距离d=2和求出的r对比，就能得出位置关系。
【解析】
第一步求解一元二次方程$x^2 - 4x + 4 = 0$：
利用完全平方公式因式分解得$(x-2)^2=0$，
解得方程的解为$x_1=x_2=2$，即$\odot O$的半径$r=2$。
已知点O到直线AB的距离$d=2$，因此$d=r$，
根据直线与圆的位置关系判定规则，此时$\odot O$与直线AB相切。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求解、直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础考察题，结合了一元二次方程求解和直线与圆位置关系判定两个核心知识点，考察内容都是基础概念，只要掌握相关知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断圆与直线的位置关系，需先求出圆的半径，再将半径与圆心到直线的距离作比较。解题思路为：①先解给定的一元二次方程，得到⊙O的半径r；②回忆直线与圆位置关系的判定规则：圆心到直线的距离d＜r时直线与圆相交，d=r时相切，d＞r时相离；③把已知的距离d=2和求出的r对比，就能得出位置关系。
【解析】
第一步求解一元二次方程$x^2 - 4x + 4 = 0$：
利用完全平方公式因式分解得$(x-2)^2=0$，
解得方程的解为$x_1=x_2=2$，即$\odot O$的半径$r=2$。
已知点O到直线AB的距离$d=2$，因此$d=r$，
根据直线与圆的位置关系判定规则，此时$\odot O$与直线AB相切。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求解、直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础考察题，结合了一元二次方程求解和直线与圆位置关系判定两个核心知识点，考察内容都是基础概念，只要掌握相关知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.9
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=4,AB=5$,以点$C$为圆心、$R$为半径作圆.若$\odot C$与边$AB$只有一个公共点,则$R$的取值范围是 (
A.$R=\dfrac{12}{5}$
B.$3≤ R≤ 4$
C.$0＜R＜3$或$R＞4$
D.$3＜R≤ 4$或$R=\dfrac{12}{5}$
D
)A.$R=\dfrac{12}{5}$
B.$3≤ R≤ 4$
C.$0＜R＜3$或$R＞4$
D.$3＜R≤ 4$或$R=\dfrac{12}{5}$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决本题，首先明确题目中“⊙C与边AB只有一个公共点”的含义：此处AB是线段而非直线，因此分两种情形讨论：①圆与直线AB相切，切点落在线段AB上，此时仅1个公共点；②圆与直线AB相交，但仅有1个交点落在线段AB上。解题步骤为：先利用勾股定理求出BC的长度，再用面积法求出AB边上的高（即圆与AB相切时的半径），最后分析相交时仅一个交点在线段AB上的半径范围，合并两类情况即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值计算得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$
分两种情况讨论：
1. 当$\odot C$与直线$AB$相切时，$\odot C$与线段$AB$只有1个公共点，此时半径$R=CD=\frac{12}{5}$；
2. 当$\odot C$与直线$AB$相交时，要使线段$AB$与圆只有1个公共点，需满足点$B$在圆内、点$A$在圆上或圆外，即$3＜R≤4$，此时线段$AB$与圆仅有1个交点。
综上，$R$的取值范围是$3＜R≤4$或$R=\frac{12}{5}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题的易错点是容易将“边AB”误认为是直线AB，漏掉$3＜R≤4$的情况，解题时要注意区分直线和线段的差异，分情况讨论时还要注意端点值的取舍，验证端点处是否符合只有一个公共点的要求。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确题目中“⊙C与边AB只有一个公共点”的含义：此处AB是线段而非直线，因此分两种情形讨论：①圆与直线AB相切，切点落在线段AB上，此时仅1个公共点；②圆与直线AB相交，但仅有1个交点落在线段AB上。解题步骤为：先利用勾股定理求出BC的长度，再用面积法求出AB边上的高（即圆与AB相切时的半径），最后分析相交时仅一个交点在线段AB上的半径范围，合并两类情况即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值计算得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$
分两种情况讨论：
1. 当$\odot C$与直线$AB$相切时，$\odot C$与线段$AB$只有1个公共点，此时半径$R=CD=\frac{12}{5}$；
2. 当$\odot C$与直线$AB$相交时，要使线段$AB$与圆只有1个公共点，需满足点$B$在圆内、点$A$在圆上或圆外，即$3＜R≤4$，此时线段$AB$与圆仅有1个交点。
综上，$R$的取值范围是$3＜R≤4$或$R=\frac{12}{5}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题的易错点是容易将“边AB”误认为是直线AB，漏掉$3＜R≤4$的情况，解题时要注意区分直线和线段的差异，分情况讨论时还要注意端点值的取舍，验证端点处是否符合只有一个公共点的要求。
【难度系数】
0.6
[补充设问]若$\odot C$与边AB有公共点，则R的取值范围是
$\dfrac{12}{5}≤ R≤ 4$
。答案
$\dfrac{12}{5}≤ R≤ 4$
解析
【分析】
要确定⊙C与边AB有公共点时R的取值范围，需分两步找临界半径：1. 找最小半径：圆与AB相切时，半径等于圆心C到直线AB的距离，此时圆与AB刚好有1个公共点，若半径更小则圆与AB相离无交点；2. 找最大半径：线段AB是有限长的，需保证线段上有落在圆上的点，取点C到线段AB两端点距离的较大值为最大临界半径，最后结合两种临界情况即可得到R的取值范围。
【解析】
由本题前置题干已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=3，BC=4，
① 求AB长度：由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
② 求圆心C到AB的距离：过C作$CD⊥ AB$于D，根据三角形面积相等，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数据得$3×4=5CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$，即当$\odot C$与AB相切时，$R=\frac{12}{5}$，为R的最小值；
③ 求最大临界半径：线段AB上离C最远的点为B点，$BC=4$，当$R=4$时，$\odot C$经过点B，仍与AB有公共点，为R的最大值；
综上，R的取值范围是$\frac{12}{5}≤ R≤ 4$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}≤ R≤ 4$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题时要注意区分“圆与直线有公共点”和“圆与线段有公共点”的差异，前者仅需半径大于等于圆心到直线的距离，后者还要结合线段的端点限制确定半径的上限，不要漏判临界情况。
【难度系数】
0.7
要确定⊙C与边AB有公共点时R的取值范围，需分两步找临界半径：1. 找最小半径：圆与AB相切时，半径等于圆心C到直线AB的距离，此时圆与AB刚好有1个公共点，若半径更小则圆与AB相离无交点；2. 找最大半径：线段AB是有限长的，需保证线段上有落在圆上的点，取点C到线段AB两端点距离的较大值为最大临界半径，最后结合两种临界情况即可得到R的取值范围。
【解析】
由本题前置题干已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=3，BC=4，
① 求AB长度：由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
② 求圆心C到AB的距离：过C作$CD⊥ AB$于D，根据三角形面积相等，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数据得$3×4=5CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$，即当$\odot C$与AB相切时，$R=\frac{12}{5}$，为R的最小值；
③ 求最大临界半径：线段AB上离C最远的点为B点，$BC=4$，当$R=4$时，$\odot C$经过点B，仍与AB有公共点，为R的最大值；
综上，R的取值范围是$\frac{12}{5}≤ R≤ 4$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}≤ R≤ 4$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题时要注意区分“圆与直线有公共点”和“圆与线段有公共点”的差异，前者仅需半径大于等于圆心到直线的距离，后者还要结合线段的端点限制确定半径的上限，不要漏判临界情况。
【难度系数】
0.7
9. 能力训练点·逻辑推理与论证 若$\odot O$的半径$r=3$，设圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，$\odot O$上到直线$l$的距离为2的点的个数为$m$，有下列命题：
①若$1＜d＜5$，则$m=3$；
②若$d=5$，则$m=1$；
③若$d＞5$，则$m=0$；
④若$d＜1$，则$m=4$；
⑤若$d=1$，则$m=2$，
其中真命题有
①若$1＜d＜5$，则$m=3$；
②若$d=5$，则$m=1$；
③若$d＞5$，则$m=0$；
④若$d＜1$，则$m=4$；
⑤若$d=1$，则$m=2$，
其中真命题有
3
个。答案
9.3
解析
【分析】要判断圆上到直线距离为2的点的个数，可转化为判断两条与直线l平行、距离为2的直线和圆的交点总个数。首先求出这两条平行线到圆心的距离分别为|d-2|和d+2，再分别将两个距离和半径r=3比较，根据直线和圆的位置关系（距离＜3时相交，有2个交点；距离=3时相切，有1个交点；距离＞3时相离，无交点），即可得到总交点数m，最后逐一验证5个命题的真假即可。
【解析】设与直线l平行且距离为2的两条直线为l₁、l₂，其中l₁位于圆心O和直线l之间，l₂位于直线l远离O的一侧：
则O到l₁的距离为|d-2|，O到l₂的距离为d+2，圆半径r=3。
直线与圆交点个数规则：距离＜r时相交，2个交点；距离=r时相切，1个交点；距离＞r时相离，0个交点。m为两条直线与圆的交点总数，逐一判断命题：
① 当1＜d＜5时：|d-2|＜3，l₁与圆相交得2个交点；d+2＞3，l₂与圆相离得0个交点，故m=2，①错误；
② 当d=5时：|5-2|=3，l₁与圆相切得1个交点；5+2=7＞3，l₂与圆相离得0个交点，故m=1，②正确；
③ 当d＞5时：|d-2|=d-2＞3，d+2＞7＞3，两条直线都和圆相离，故m=0，③正确；
④ 当d＜1时：|d-2|＜3，l₁与圆相交得2个交点；d+2＜3，l₂与圆相交得2个交点，故m=4，④正确；
⑤ 当d=1时：|1-2|=1＜3，l₁与圆相交得2个交点；1+2=3，l₂与圆相切得1个交点，故m=3，⑤错误。
综上，真命题为②③④，共3个。
【答案】3
【知识点】直线与圆的位置关系，平行线间的距离，点到直线的距离
【点评】本题运用转化思想，将圆上点到定直线距离为定值的点的个数问题，转化为两条平行直线和圆的交点个数问题，解题关键是正确求出两条平行线到圆心的距离，结合直线与圆的位置关系判断即可。
【难度系数】0.6
【解析】设与直线l平行且距离为2的两条直线为l₁、l₂，其中l₁位于圆心O和直线l之间，l₂位于直线l远离O的一侧：
则O到l₁的距离为|d-2|，O到l₂的距离为d+2，圆半径r=3。
直线与圆交点个数规则：距离＜r时相交，2个交点；距离=r时相切，1个交点；距离＞r时相离，0个交点。m为两条直线与圆的交点总数，逐一判断命题：
① 当1＜d＜5时：|d-2|＜3，l₁与圆相交得2个交点；d+2＞3，l₂与圆相离得0个交点，故m=2，①错误；
② 当d=5时：|5-2|=3，l₁与圆相切得1个交点；5+2=7＞3，l₂与圆相离得0个交点，故m=1，②正确；
③ 当d＞5时：|d-2|=d-2＞3，d+2＞7＞3，两条直线都和圆相离，故m=0，③正确；
④ 当d＜1时：|d-2|＜3，l₁与圆相交得2个交点；d+2＜3，l₂与圆相交得2个交点，故m=4，④正确；
⑤ 当d=1时：|1-2|=1＜3，l₁与圆相交得2个交点；1+2=3，l₂与圆相切得1个交点，故m=3，⑤错误。
综上，真命题为②③④，共3个。
【答案】3
【知识点】直线与圆的位置关系，平行线间的距离，点到直线的距离
【点评】本题运用转化思想，将圆上点到定直线距离为定值的点的个数问题，转化为两条平行直线和圆的交点个数问题，解题关键是正确求出两条平行线到圆心的距离，结合直线与圆的位置关系判断即可。
【难度系数】0.6
10.如图,在平面直角坐标系中,$\odot A$的圆心A的坐标为$(-2,0)$,半径为2,点P为直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$上的动点,过点P作$\odot A$的切线,切点为Q,则当$AP=$
6
时,切线长PQ的值最小,最小值为$4\sqrt{2}$
.答案
10.6；$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
要找切线长PQ的最小值，首先根据切线的性质可知，切点Q与圆心A的连线AQ垂直于切线PQ，因此△AQP为直角三角形，其中AQ是⊙A的半径，为定值2。由勾股定理可得$PQ=\sqrt{AP^2 - AQ^2}$，因此要使PQ最小，只需让AP最小即可。点A到直线上动点P的最短距离是点A到直线的垂线段长度，因此先求出点A到已知直线的距离得到最小的AP，再代入计算PQ的最小值即可。
【解析】
连接AQ、AP，
∵PQ是⊙A的切线，Q为切点，
∴AQ⊥PQ，即△AQP是直角三角形，且$AQ=r=2$。
根据勾股定理得：$PQ^2 + AQ^2 = AP^2$，
变形得：$PQ=\sqrt{AP^2 - AQ^2}=\sqrt{AP^2 - 4}$，
因此要使PQ最小，需AP取最小值。
点A到直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$的垂线段长度为AP的最小值，将直线整理为一般式：$3x+4y-24=0$，
根据点到直线的距离公式，点A(-2,0)到直线的距离：
$AP_{最小}=\dfrac{|3×(-2)+4×0 -24|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{30}{5}=6$，
将AP=6代入PQ的表达式得：
$PQ_{最小}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
6；$4\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；点到直线的距离
【点评】
本题将切线长最值问题转化为点到直线的距离问题求解，解题核心是明确切线长与AP长度的关系，结合垂线段最短的性质找到AP的最小值，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要找切线长PQ的最小值，首先根据切线的性质可知，切点Q与圆心A的连线AQ垂直于切线PQ，因此△AQP为直角三角形，其中AQ是⊙A的半径，为定值2。由勾股定理可得$PQ=\sqrt{AP^2 - AQ^2}$，因此要使PQ最小，只需让AP最小即可。点A到直线上动点P的最短距离是点A到直线的垂线段长度，因此先求出点A到已知直线的距离得到最小的AP，再代入计算PQ的最小值即可。
【解析】
连接AQ、AP，
∵PQ是⊙A的切线，Q为切点，
∴AQ⊥PQ，即△AQP是直角三角形，且$AQ=r=2$。
根据勾股定理得：$PQ^2 + AQ^2 = AP^2$，
变形得：$PQ=\sqrt{AP^2 - AQ^2}=\sqrt{AP^2 - 4}$，
因此要使PQ最小，需AP取最小值。
点A到直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$的垂线段长度为AP的最小值，将直线整理为一般式：$3x+4y-24=0$，
根据点到直线的距离公式，点A(-2,0)到直线的距离：
$AP_{最小}=\dfrac{|3×(-2)+4×0 -24|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{30}{5}=6$，
将AP=6代入PQ的表达式得：
$PQ_{最小}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
6；$4\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；点到直线的距离
【点评】
本题将切线长最值问题转化为点到直线的距离问题求解，解题核心是明确切线长与AP长度的关系，结合垂线段最短的性质找到AP的最小值，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
11. [2026合肥期末]如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$ 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且$B(4,0),BC=4\sqrt{2}$.
(1)求OC的长度及抛物线的解析式;
(2)D是BC的中点,以点D为圆心、r为半径作$\odot D$.
①当r取什么值时,$\odot D$恰好与两坐标轴相切?
②当r取什么值时,$\odot D$恰好与两坐标轴有3个交点?
(1)求OC的长度及抛物线的解析式;
(2)D是BC的中点,以点D为圆心、r为半径作$\odot D$.
①当r取什么值时,$\odot D$恰好与两坐标轴相切?
②当r取什么值时,$\odot D$恰好与两坐标轴有3个交点?
答案
11.解: (1)$OC=4$,$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + x + 4$.(2)①$r=2$;②$r=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 首先观察到△BOC是直角三角形，已知OB和BC的长度，用勾股定理即可求出OC的长度，得到C点坐标；再将B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出未知系数b、c，就能得到抛物线解析式。
(2) 先根据B、C坐标求出中点D的坐标：① 圆与两坐标轴相切时，圆心到x轴、y轴的距离等于半径，D的横、纵坐标绝对值就是到两轴的距离，据此直接得r的值；② 圆与两坐标轴有3个交点时，说明圆经过原点（此时两坐标轴的交点重合1个），求出D到原点的距离即为r的值。
【解析】
(1)
∵ 点C在y轴上，
∴ ∠BOC=90°
在Rt△BOC中，$OB=4$，$BC=4\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{BC^2 - OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4^2}=\sqrt{32-16}=4$
∴ C点坐标为$(0,4)$
将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +bx +c$，得：
$\begin{cases} -\dfrac{1}{2}×4^2 +4b +c =0 \\ c=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=1 \\ c=4 \end{cases}$
∴ 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +4$
(2)
∵ B(4,0)，C(0,4)，D是BC中点，由中点坐标公式得：
$D(\dfrac{4+0}{2},\dfrac{0+4}{2})$，即$D(2,2)$
① 若⊙D恰好与两坐标轴相切，则圆心D到x轴、y轴的距离均等于半径r
∵ D到x轴距离为2，到y轴距离为2，
∴ $r=2$
② 若⊙D恰好与两坐标轴有3个交点，则⊙D经过原点（此时原点为两坐标轴的公共交点，总交点数为3）
此时半径$r=OD=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$OC=4$，抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +4$；(2)①$r=2$；②$r=2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是二次函数与圆的综合题，考查了基础的坐标计算、解析式求解和直线与圆的位置关系判定，解题时要结合图形特征分析交点个数对应的半径条件，对综合应用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 首先观察到△BOC是直角三角形，已知OB和BC的长度，用勾股定理即可求出OC的长度，得到C点坐标；再将B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出未知系数b、c，就能得到抛物线解析式。
(2) 先根据B、C坐标求出中点D的坐标：① 圆与两坐标轴相切时，圆心到x轴、y轴的距离等于半径，D的横、纵坐标绝对值就是到两轴的距离，据此直接得r的值；② 圆与两坐标轴有3个交点时，说明圆经过原点（此时两坐标轴的交点重合1个），求出D到原点的距离即为r的值。
【解析】
(1)
∵ 点C在y轴上，
∴ ∠BOC=90°
在Rt△BOC中，$OB=4$，$BC=4\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{BC^2 - OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4^2}=\sqrt{32-16}=4$
∴ C点坐标为$(0,4)$
将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +bx +c$，得：
$\begin{cases} -\dfrac{1}{2}×4^2 +4b +c =0 \\ c=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=1 \\ c=4 \end{cases}$
∴ 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +4$
(2)
∵ B(4,0)，C(0,4)，D是BC中点，由中点坐标公式得：
$D(\dfrac{4+0}{2},\dfrac{0+4}{2})$，即$D(2,2)$
① 若⊙D恰好与两坐标轴相切，则圆心D到x轴、y轴的距离均等于半径r
∵ D到x轴距离为2，到y轴距离为2，
∴ $r=2$
② 若⊙D恰好与两坐标轴有3个交点，则⊙D经过原点（此时原点为两坐标轴的公共交点，总交点数为3）
此时半径$r=OD=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$OC=4$，抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +4$；(2)①$r=2$；②$r=2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是二次函数与圆的综合题，考查了基础的坐标计算、解析式求解和直线与圆的位置关系判定，解题时要结合图形特征分析交点个数对应的半径条件，对综合应用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
12.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1,2),以点 A 为圆心、r 为半径画圆.
(1)当$\odot A$与坐标轴有一个公共点时,$r$的值是
(2)当$\odot A$与坐标轴有两个公共点时,$r$的取值范围是
(3)当$\odot A$与坐标轴有三个公共点时,$r$的值是
(4)当$\odot A$与坐标轴有四个公共点时,$r$的取值范围是
(1)当$\odot A$与坐标轴有一个公共点时,$r$的值是
1
;(2)当$\odot A$与坐标轴有两个公共点时,$r$的取值范围是
$1＜r＜2$
;(3)当$\odot A$与坐标轴有三个公共点时,$r$的值是
2 或 $\sqrt{5}$
;(4)当$\odot A$与坐标轴有四个公共点时,$r$的取值范围是
$2＜r＜\sqrt{5}$ 或 $r＞\sqrt{5}$
.答案
12.(1)1 (2)$1＜r＜2$ (3)2 或$\sqrt{5}$ (4)$2＜r＜\sqrt{5}$ 或 $r＞\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题前先明确点A到各坐标轴及原点的距离：点A(1,2)到y轴的距离为1，到x轴的距离为2，到原点的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。再结合直线与圆的位置关系判定规则：当圆心到直线的距离$d＞r$时，直线与圆相离（0个公共点）；$d=r$时相切（1个公共点）；$d＜r$时相交（2个公共点），分情况讨论圆与x轴、y轴的公共点总数即可。
【解析】
(1) 当$\odot A$与坐标轴只有1个公共点时，说明圆仅与y轴相切，且与x轴相离，此时$r$等于点A到y轴的距离，即$r=1$。
(2) 当$\odot A$与坐标轴有2个公共点时，说明圆与y轴相交（2个公共点），且与x轴相离（0个公共点），此时$r$需满足：点A到y轴的距离＜$r$＜点A到x轴的距离，即$1＜r＜2$。
(3) 当$\odot A$与坐标轴有3个公共点时，分两种情况：①圆与x轴相切（1个公共点），且与y轴相交（2个公共点），此时$r=2$；②圆过原点（原点为x轴、y轴的公共交点），此时$r$等于点A到原点的距离$\sqrt{5}$，和x轴、y轴各有2个公共点但原点重合，共3个公共点。综上$r=2$或$r=\sqrt{5}$。
(4) 当$\odot A$与坐标轴有4个公共点时，说明圆与x轴、y轴都相交，且公共点没有重合（即不过原点），此时$r$需满足$r＞2$且$r\ne\sqrt{5}$，即$2＜r＜\sqrt{5}$或$r＞\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{1＜r＜2}$
(3) $\boxed{2}$或$\boxed{\sqrt{5}}$
(4) $\boxed{2＜r＜\sqrt{5}}$或$\boxed{r＞\sqrt{5}}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到坐标轴的距离；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题的关键是先算出圆心到各坐标轴及原点的距离，再结合直线与圆的位置关系逐一分析不同公共点个数对应的$r$取值，注意不要遗漏圆过原点的特殊情况。
【难度系数】
0.6
解题前先明确点A到各坐标轴及原点的距离：点A(1,2)到y轴的距离为1，到x轴的距离为2，到原点的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。再结合直线与圆的位置关系判定规则：当圆心到直线的距离$d＞r$时，直线与圆相离（0个公共点）；$d=r$时相切（1个公共点）；$d＜r$时相交（2个公共点），分情况讨论圆与x轴、y轴的公共点总数即可。
【解析】
(1) 当$\odot A$与坐标轴只有1个公共点时，说明圆仅与y轴相切，且与x轴相离，此时$r$等于点A到y轴的距离，即$r=1$。
(2) 当$\odot A$与坐标轴有2个公共点时，说明圆与y轴相交（2个公共点），且与x轴相离（0个公共点），此时$r$需满足：点A到y轴的距离＜$r$＜点A到x轴的距离，即$1＜r＜2$。
(3) 当$\odot A$与坐标轴有3个公共点时，分两种情况：①圆与x轴相切（1个公共点），且与y轴相交（2个公共点），此时$r=2$；②圆过原点（原点为x轴、y轴的公共交点），此时$r$等于点A到原点的距离$\sqrt{5}$，和x轴、y轴各有2个公共点但原点重合，共3个公共点。综上$r=2$或$r=\sqrt{5}$。
(4) 当$\odot A$与坐标轴有4个公共点时，说明圆与x轴、y轴都相交，且公共点没有重合（即不过原点），此时$r$需满足$r＞2$且$r\ne\sqrt{5}$，即$2＜r＜\sqrt{5}$或$r＞\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{1＜r＜2}$
(3) $\boxed{2}$或$\boxed{\sqrt{5}}$
(4) $\boxed{2＜r＜\sqrt{5}}$或$\boxed{r＞\sqrt{5}}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到坐标轴的距离；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题的关键是先算出圆心到各坐标轴及原点的距离，再结合直线与圆的位置关系逐一分析不同公共点个数对应的$r$取值，注意不要遗漏圆过原点的特殊情况。
【难度系数】
0.6
