找一组都不为0的数$a,b,c,d$，使得$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立（即$a,b,c,d$成比例），由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系。
(1)$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{d}$；
(2)$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$；
(3)$\frac{a+b}{b}$和$\frac{c+d}{d}$；
(4)$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}$（$a≠b,c≠d$）。
多找几组这样的数$a,b,c,d$试一试，猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想。

解：
举例：取$a=2$，$b=4$，$c=3$，$d=6$，满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{1}{2}$，所有数均不为0。
计算各组分式的值：
(1) $\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$，$\frac{b}{d}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，得$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；
(2) $\frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{d}{c}=\frac{6}{3}=2$，得$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$；
(3) $\frac{a+b}{b}=\frac{2+4}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{c+d}{d}=\frac{3+6}{6}=\frac{3}{2}$，得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$；
(4) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{2+4}{2-4}=-3$，$\frac{c+d}{c-d}=\frac{3+6}{3-6}=-3$，得$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。
猜想：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$a,b,c,d$均不为0），则上述四组分式对应相等，证明如下：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$（$k≠0$），则$a=kb$，$c=kd$。
(1) $\frac{a}{c}=\frac{kb}{kd}=\frac{b}{d}$，故$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；
(2) $\frac{b}{a}=\frac{b}{kb}=\frac{1}{k}$，$\frac{d}{c}=\frac{d}{kd}=\frac{1}{k}$，故$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$；
(3) $\frac{a+b}{b}=\frac{kb+b}{b}=k+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{kd+d}{d}=k+1$，故$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$；
(4) 由$a≠ b,c≠ d$得$k≠1$，$\frac{a+b}{a-b}=\frac{kb+b}{kb-b}=\frac{k+1}{k-1}$，$\frac{c+d}{c-d}=\frac{kd+d}{kd-d}=\frac{k+1}{k-1}$，故$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。
综上，四组中的两个分式分别相等。

活动2 探究$x^2+\frac{1}{x^2}$取值的规律
活动目标
1. 通过计算不同$x$的值对应的$x^2+\frac{1}{x^2}$的结果，发现代数式取值的基本规律；
2. 会用代数变形(完全平方公式)证明猜想，理解代数式最值的推导过程；
3. 能利用规律解决相关代数式求值、最值问题，提升归纳推理与代数证明能力.
活动导引
我们已经学习了整式的乘法与完全平方公式，知道$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$. 当$a=x,b=\frac{1}{x}$时，$(x-\frac{1}{x})^2$可以展开为$x^2-2+\frac{1}{x^2}$，整理可得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$. 当$x$取不同的值(正数、负数、互为相反数、互为倒数)时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的结果会有什么规律？它是否存在最小值？我们一起来探究吧！
内容探究
探究一 计算并整理数据
填写下表，分别求出当$x$取$-3,-2,-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.

根据表格数据回答以下问题：
(1)互为倒数的$x$值的对应结果(填“相等”或“不相等”)，互为相反数的$x$值的对应结果(填“相等”或“不相等”).
(2)代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值是否存在最小值？若存在，最小值是多少？对应的$x$值是多少？

填表如下：
| $x$ | -3 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2+\frac{1}{x^2}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | 2 | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | 2 | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ |
(1)相等,相等
(2)存在最小值,最小值为2,对应的$x$值为-1或1.