探究二 提出并验证猜想
猜想1:若$x$和$\frac{1}{x}$互为倒数,则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等;
猜想2:$x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为,当且仅当$x=$时取得最小值.
选择一种猜想完成证明.

2,-1或1.
证明如下：
猜想1:设$x$的倒数为$\frac{1}{x}$,
则$(\frac{1}{x})^2+\frac{1}{(\frac{1}{x})^2}=\frac{1}{x^2}+x^2=x^2+\frac{1}{x^2}$,
因此,若$x$和$\frac{1}{x}$互为倒数,则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等；
猜想2:观察$x^2+\frac{1}{x^2}$的结构,容易联想起完全平方公式
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,
令$a=x,b=\frac{1}{x}$,由完全平方公式可得,
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}$,
由完全平方公式的非负性可得$x^2-2+\frac{1}{x^2}\ge0$,
即$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$,
$\therefore$ 无论$x$取何值时,$x^2+\frac{1}{x^2}$的值总是大于等于2,即最小值为2,当且仅当$x=1$或$x=-1$时取得.

1. 在一堂数学课上，王老师给出了这样一个题目：“已知$x^2 - 3x + 1 = 0$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.”并给出了以下做法：
∵显然当$x=0$时，等式$x^2 -3x +1=0$不成立，∴$x≠0$，
∴给等式两边同时除以$x$，可得$x -3 + \frac{1}{x}=0$，故$x + \frac{1}{x}=3$.
又∵$\frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}$（分子分母同时除以$x^2$）且$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$，
∴原分式的值为$\frac{1}{7}$.
(1)若$x^2 -4x +1=0$，根据王老师的解答过程，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值；
(2)小洁由课堂上的数学活动知道$x^2 + \frac{1}{x^2}≥2x·\frac{1}{x}$恒成立，故$x^2 + \frac{1}{x^2}$的最小值为2，请你根据该规律以及上述解题思路，求$x^2 + \frac{16}{x^2}$的最小值，并求出此时$x$的值.

1. 解:(1)$\because$ 显然当$x=0$时,等式$x^2-4x+1=0$不成立,
$\therefore x\ne0$,
$\therefore$ 给等式两边同时除以$x$,可得$x-4+\frac{1}{x}=0$,
故$x+\frac{1}{x}=4$.
又$\because \frac{x^2}{x^4+1}=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}$(分子分母同时除以$x^2$)且$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=4^2-2=14$,
$\therefore$ 原分式的值为$\frac{1}{14}$.
(2)由材料可知$x^2+\frac{16}{x^2}\ge2x· \frac{4}{x}=8$,
此时$x=\frac{4}{x}$,解得$x=\pm2$,
故$x^2+\frac{16}{x^2}$的最小值是8,此时$x$的值是$\pm2$.