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11. (1) 画出三角形ABC绕点C顺时针旋转$90°$后的图形。
(2) 将三角形ABC按$2:1$的比放大，画出放大后的三角形$A'B'C'$。
(2) 将三角形ABC按$2:1$的比放大，画出放大后的三角形$A'B'C'$。
答案
11. 略
解析
【分析】
本题包含两类图形变换的作图题，解题思路如下：
1. 绕点C顺时针旋转90°的作图：先明确旋转三要素：旋转中心为点C、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°。操作时先找到原三角形除C外的两个顶点A、B，分别确定二者绕点C顺时针旋转90°后的对应点，对应点到C的距离和原顶点到C的距离相等，对应线段与原线段夹角为90°，最后顺次连接三个对应点即可得到旋转后的图形。
2. 按2:1放大的作图：首先明确2:1放大的含义是新图形各边长度是原图形对应边长的2倍，图形角度、形状保持不变。先数出原三角形各边的网格长度，将边长乘2得到放大后的边长，再结合原三角形的直角特征，画出放大后的三角形即可。
【解析】
(1) 旋转作图步骤：
① 确定点B的对应点：原线段CB为竖直向下2格，绕C顺时针旋转90°后变为水平向右2格，标记该点为B₁；
② 确定点A的对应点：保证CA₁和CA长度相等，且∠ACA₁=90°（顺时针），标记该点为A₁；
③ 顺次连接C、B₁、A₁，得到的三角形即为旋转后的图形。
(2) 放大作图步骤：
① 数原三角形参数：AB长4格，BC长2格，∠B为直角；
② 计算放大后边长：A'B'=4×2=8格，B'C'=2×2=4格，∠B'仍为直角；
③ 先画水平线段A'B'长8格，再过B'作A'B'的垂线段B'C'长4格，最后连接A'C'，得到的三角形A'B'C'即为放大后的图形。
【答案】
略
【知识点】
图形的旋转；图形的放大与缩小
【点评】
本题考查图形变换的基础作图能力，解题时要注意牢记旋转三要素，避免出现旋转方向、角度错误；放大图形时要注意边长按比例扩大，同时保持图形形状不变。
【难度系数】
0.7
本题包含两类图形变换的作图题，解题思路如下：
1. 绕点C顺时针旋转90°的作图：先明确旋转三要素：旋转中心为点C、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°。操作时先找到原三角形除C外的两个顶点A、B，分别确定二者绕点C顺时针旋转90°后的对应点，对应点到C的距离和原顶点到C的距离相等，对应线段与原线段夹角为90°，最后顺次连接三个对应点即可得到旋转后的图形。
2. 按2:1放大的作图：首先明确2:1放大的含义是新图形各边长度是原图形对应边长的2倍，图形角度、形状保持不变。先数出原三角形各边的网格长度，将边长乘2得到放大后的边长，再结合原三角形的直角特征，画出放大后的三角形即可。
【解析】
(1) 旋转作图步骤：
① 确定点B的对应点：原线段CB为竖直向下2格，绕C顺时针旋转90°后变为水平向右2格，标记该点为B₁；
② 确定点A的对应点：保证CA₁和CA长度相等，且∠ACA₁=90°（顺时针），标记该点为A₁；
③ 顺次连接C、B₁、A₁，得到的三角形即为旋转后的图形。
(2) 放大作图步骤：
① 数原三角形参数：AB长4格，BC长2格，∠B为直角；
② 计算放大后边长：A'B'=4×2=8格，B'C'=2×2=4格，∠B'仍为直角；
③ 先画水平线段A'B'长8格，再过B'作A'B'的垂线段B'C'长4格，最后连接A'C'，得到的三角形A'B'C'即为放大后的图形。
【答案】
略
【知识点】
图形的旋转；图形的放大与缩小
【点评】
本题考查图形变换的基础作图能力，解题时要注意牢记旋转三要素，避免出现旋转方向、角度错误；放大图形时要注意边长按比例扩大，同时保持图形形状不变。
【难度系数】
0.7
12. 市民公园在文化广场正东方向 300 米处，市少年宫在市民公园正北方向 150 米处。在图中表示出市民公园和市少年宫的位置。
答案
300÷100 = 3（厘米）
150÷100 = 1.5（厘米）
答：从文化广场沿正东方向量取3厘米，该点标注为市民公园；从市民公园沿正北方向量取1.5厘米，该点标注为市少年宫。
150÷100 = 1.5（厘米）
答：从文化广场沿正东方向量取3厘米，该点标注为市民公园；从市民公园沿正北方向量取1.5厘米，该点标注为市少年宫。
解析
【分析】
解题时首先要明确图中线段比例尺的含义：图上1厘米代表实际距离100米。我们需要分两步确定两个地点的位置：第一步先计算市民公园相对于文化广场的图上距离，根据正东方向确定其位置；第二步再计算市少年宫相对于市民公园的图上距离，根据正北方向确定其位置，最后按要求标注即可。
【解析】
1. 确认比例尺：观察图中线段比例尺，可得图上1厘米对应实际距离100米。
2. 计算市民公园的图上距离：
市民公园在文化广场正东方向300米处，图上距离 = 实际距离÷每厘米代表的实际距离，即$300÷100=3$（厘米）。
操作：从文化广场的点出发，沿正东方向（水平向右）量取3厘米，该点就是市民公园的位置，标注名称。
3. 计算市少年宫的图上距离：
市少年宫在市民公园正北方向150米处，同理可得图上距离为$150÷100=1.5$（厘米）。
操作：从市民公园的点出发，沿正北方向（竖直向上）量取1.5厘米，该点就是市少年宫的位置，标注名称。
【答案】
$300÷100 = 3$（厘米）
$150÷100 = 1.5$（厘米）
答：从文化广场沿正东方向量取3厘米，该点标注为市民公园；从市民公园沿正北方向量取1.5厘米，该点标注为市少年宫。
【知识点】
线段比例尺的应用；根据方向和距离确定位置
【点评】
本题重点考查对线段比例尺的理解运用能力，以及结合方向、距离确定物体位置的实践能力，解题的核心是先准确换算出图上距离，再按照给定方向标注对应位置。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确图中线段比例尺的含义：图上1厘米代表实际距离100米。我们需要分两步确定两个地点的位置：第一步先计算市民公园相对于文化广场的图上距离，根据正东方向确定其位置；第二步再计算市少年宫相对于市民公园的图上距离，根据正北方向确定其位置，最后按要求标注即可。
【解析】
1. 确认比例尺：观察图中线段比例尺，可得图上1厘米对应实际距离100米。
2. 计算市民公园的图上距离：
市民公园在文化广场正东方向300米处，图上距离 = 实际距离÷每厘米代表的实际距离，即$300÷100=3$（厘米）。
操作：从文化广场的点出发，沿正东方向（水平向右）量取3厘米，该点就是市民公园的位置，标注名称。
3. 计算市少年宫的图上距离：
市少年宫在市民公园正北方向150米处，同理可得图上距离为$150÷100=1.5$（厘米）。
操作：从市民公园的点出发，沿正北方向（竖直向上）量取1.5厘米，该点就是市少年宫的位置，标注名称。
【答案】
$300÷100 = 3$（厘米）
$150÷100 = 1.5$（厘米）
答：从文化广场沿正东方向量取3厘米，该点标注为市民公园；从市民公园沿正北方向量取1.5厘米，该点标注为市少年宫。
【知识点】
线段比例尺的应用；根据方向和距离确定位置
【点评】
本题重点考查对线段比例尺的理解运用能力，以及结合方向、距离确定物体位置的实践能力，解题的核心是先准确换算出图上距离，再按照给定方向标注对应位置。
【难度系数】
0.8
四、解决问题。
13. 下面是两个形状相同的梯形。量一量，并说说它们有什么关系。
13. 下面是两个形状相同的梯形。量一量，并说说它们有什么关系。
答案
13. 梯形EFGH是梯形ABCD按2:1的比放大的。
解析
【分析】
要判断两个形状相同的梯形的关系，我们可以按照以下思路推导：首先明确形状相同、大小不同的图形属于放大或缩小的关系，第一步先分别测量两个梯形的上底、下底、两条腰这四组对应边的长度；第二步计算大梯形各边和小梯形对应边的比值，验证比值是否统一；最后结合测量、计算结果确定缩放的比例即可。
【解析】
1. 实际测量可得：梯形ABCD的上底长1cm、下底长1.5cm、两腰各长约1.2cm；梯形EFGH的上底长2cm、下底长3cm、两腰各长约2.4cm。
2. 计算对应边的比值：$\frac{EH}{AD}=\frac{2}{1}=2$，$\frac{FG}{BC}=\frac{3}{1.5}=2$，$\frac{EF}{AB}=\frac{2.4}{1.2}=2$，$\frac{GH}{CD}=\frac{2.4}{1.2}=2$，所有对应边的比均为$2:1$，且两个梯形对应角相等、形状完全相同。
因此可得出两个梯形的关系。
【答案】
梯形EFGH是梯形ABCD按2:1的比放大的。
【知识点】
图形的放大与缩小；比的应用；梯形的认识
【点评】
本题核心考察图形缩放的规律，通过测量、计算对应边的比值即可判断两个图形的关系，解题时要注意找准对应边，保证测量和计算的准确性，掌握“形状相同的图形对应边比值固定”的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断两个形状相同的梯形的关系，我们可以按照以下思路推导：首先明确形状相同、大小不同的图形属于放大或缩小的关系，第一步先分别测量两个梯形的上底、下底、两条腰这四组对应边的长度；第二步计算大梯形各边和小梯形对应边的比值，验证比值是否统一；最后结合测量、计算结果确定缩放的比例即可。
【解析】
1. 实际测量可得：梯形ABCD的上底长1cm、下底长1.5cm、两腰各长约1.2cm；梯形EFGH的上底长2cm、下底长3cm、两腰各长约2.4cm。
2. 计算对应边的比值：$\frac{EH}{AD}=\frac{2}{1}=2$，$\frac{FG}{BC}=\frac{3}{1.5}=2$，$\frac{EF}{AB}=\frac{2.4}{1.2}=2$，$\frac{GH}{CD}=\frac{2.4}{1.2}=2$，所有对应边的比均为$2:1$，且两个梯形对应角相等、形状完全相同。
因此可得出两个梯形的关系。
【答案】
梯形EFGH是梯形ABCD按2:1的比放大的。
【知识点】
图形的放大与缩小；比的应用；梯形的认识
【点评】
本题核心考察图形缩放的规律，通过测量、计算对应边的比值即可判断两个图形的关系，解题时要注意找准对应边，保证测量和计算的准确性，掌握“形状相同的图形对应边比值固定”的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
14.《印象·日出》是克劳德·莫奈的一幅著名油画，长64厘米，宽48厘米。老师用手机将其拍成照片，全屏预览时，照片相对于原图按1：8的比缩小了；投影到大屏幕时，画面相对于原图按2：1的比放大了。投影到大屏幕上的照片面积是手机上全屏预览时的(
256
)倍。答案
14. 256
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过两种思路推导：一是先分别计算原图面积、手机预览时的画面面积、大屏幕投影的画面面积，再用大屏幕面积除以手机预览面积得到倍数；二是利用图形缩放的规律：图形放大或缩小时，面积的缩放倍数是边长缩放倍数的平方，先分别求出两次缩放后面积相对原图的倍数，再相除得到结果。两种方法都符合学段知识要求，我们可以选择更直观的分步计算法求解。
【解析】
方法1：分步计算各状态的面积
① 先计算原图的面积：
长方形面积=长×宽，原图面积=64×48=3072（平方厘米）
② 计算手机全屏预览时的面积：
照片按1:8缩小，即边长缩小为原来的$\frac{1}{8}$，所以手机预览的长=64÷8=8（厘米），宽=48÷8=6（厘米）
手机预览面积=8×6=48（平方厘米）
③ 计算投影到大屏幕的面积：
画面按2:1放大，即边长放大为原来的2倍，所以投影的长=64×2=128（厘米），宽=48×2=96（厘米）
投影面积=128×96=12288（平方厘米）
④ 计算倍数：$12288÷48=256$
方法2：利用缩放比例规律计算
图形缩放时，面积缩放倍数=边长缩放倍数的平方
手机预览相对原图的面积缩放倍数：$(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}$，即手机面积是原图的$\frac{1}{64}$
投影相对原图的面积缩放倍数：$2^2=4$，即投影面积是原图的4倍
所以投影面积是手机预览面积的倍数：$4÷\frac{1}{64}=256$
【答案】
256
【知识点】
图形的放大与缩小、长方形面积计算、比的应用
【点评】
本题重点考察图形缩放过程中边长与面积的变化规律，既可以通过分步计算各状态面积求解，也可以利用面积缩放比例的规律快速推导，解题时要注意区分边长缩放比和面积缩放比的差异，避免直接用边长缩放比相除的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以通过两种思路推导：一是先分别计算原图面积、手机预览时的画面面积、大屏幕投影的画面面积，再用大屏幕面积除以手机预览面积得到倍数；二是利用图形缩放的规律：图形放大或缩小时，面积的缩放倍数是边长缩放倍数的平方，先分别求出两次缩放后面积相对原图的倍数，再相除得到结果。两种方法都符合学段知识要求，我们可以选择更直观的分步计算法求解。
【解析】
方法1：分步计算各状态的面积
① 先计算原图的面积：
长方形面积=长×宽，原图面积=64×48=3072（平方厘米）
② 计算手机全屏预览时的面积：
照片按1:8缩小，即边长缩小为原来的$\frac{1}{8}$，所以手机预览的长=64÷8=8（厘米），宽=48÷8=6（厘米）
手机预览面积=8×6=48（平方厘米）
③ 计算投影到大屏幕的面积：
画面按2:1放大，即边长放大为原来的2倍，所以投影的长=64×2=128（厘米），宽=48×2=96（厘米）
投影面积=128×96=12288（平方厘米）
④ 计算倍数：$12288÷48=256$
方法2：利用缩放比例规律计算
图形缩放时，面积缩放倍数=边长缩放倍数的平方
手机预览相对原图的面积缩放倍数：$(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}$，即手机面积是原图的$\frac{1}{64}$
投影相对原图的面积缩放倍数：$2^2=4$，即投影面积是原图的4倍
所以投影面积是手机预览面积的倍数：$4÷\frac{1}{64}=256$
【答案】
256
【知识点】
图形的放大与缩小、长方形面积计算、比的应用
【点评】
本题重点考察图形缩放过程中边长与面积的变化规律，既可以通过分步计算各状态面积求解，也可以利用面积缩放比例的规律快速推导，解题时要注意区分边长缩放比和面积缩放比的差异，避免直接用边长缩放比相除的错误。
【难度系数】
0.7
15. 在远距离输电中采用高压输电，可减少线路电能损耗。在比例尺是1：6000000的地图上，水电站到某城市的图上距离是5厘米。已知输送1亿千瓦·时电，每300千米损耗120万千瓦·时。按此损耗比例，从水电站输送2亿千瓦·时电到该城市，一共损耗多少万千瓦·时？
答案
15. $5×6000000=30000000$(厘米)
30000000 厘米=300 千米
$120×2=240$(万千瓦·时)
答:一共损耗240万千瓦·时。
30000000 厘米=300 千米
$120×2=240$(万千瓦·时)
答:一共损耗240万千瓦·时。
解析
【分析】
解题时我们分两步思考：第一步先求出水电站到该城市的实际距离，已知地图比例尺和图上距离，用图上距离乘比例尺后项即可得到实际距离的厘米数，再换算成千米单位；第二步结合损耗标准计算总损耗，题目给出每300千米输送1亿千瓦·时电损耗120万千瓦·时，我们算出的实际距离正好是300千米，现在输送电量是2亿千瓦·时，是标准电量的2倍，因此损耗也为标准损耗的2倍，相乘即可得到结果。
【解析】
首先计算水电站到城市的实际距离：
$5×6000000=30000000$（厘米）
进行单位换算：$30000000$ 厘米$=300$ 千米
已知每300千米输送1亿千瓦·时电损耗120万千瓦·时，现在输送2亿千瓦·时，总损耗为：
$120×2=240$（万千瓦·时）
答：一共损耗240万千瓦·时。
【答案】
240万千瓦·时
【知识点】
比例尺的应用、单位换算、比例问题
【点评】
本题结合远距离输电的实际生活场景命题，既考查了比例尺相关的计算能力，也考查了结合已知比例关系解决实际问题的能力，解题时需注意厘米和千米的单位换算，避免因单位错误导致失分。
【难度系数】
0.75
解题时我们分两步思考：第一步先求出水电站到该城市的实际距离，已知地图比例尺和图上距离，用图上距离乘比例尺后项即可得到实际距离的厘米数，再换算成千米单位；第二步结合损耗标准计算总损耗，题目给出每300千米输送1亿千瓦·时电损耗120万千瓦·时，我们算出的实际距离正好是300千米，现在输送电量是2亿千瓦·时，是标准电量的2倍，因此损耗也为标准损耗的2倍，相乘即可得到结果。
【解析】
首先计算水电站到城市的实际距离：
$5×6000000=30000000$（厘米）
进行单位换算：$30000000$ 厘米$=300$ 千米
已知每300千米输送1亿千瓦·时电损耗120万千瓦·时，现在输送2亿千瓦·时，总损耗为：
$120×2=240$（万千瓦·时）
答：一共损耗240万千瓦·时。
【答案】
240万千瓦·时
【知识点】
比例尺的应用、单位换算、比例问题
【点评】
本题结合远距离输电的实际生活场景命题，既考查了比例尺相关的计算能力，也考查了结合已知比例关系解决实际问题的能力，解题时需注意厘米和千米的单位换算，避免因单位错误导致失分。
【难度系数】
0.75
16. 在一幅比例尺是$1:3000000$的地图上，量得A，B两地的距离是10厘米。甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，相向而行，经过2小时两车相遇。已知甲车行的路程是乙车的$\frac{3}{2}$，甲、乙两车的速度各是多少千米/时？
答案
16. $10×3000000=30000000$(厘米)
30000000 厘米=300 千米
$300÷(3+2)×3=180$(千米)
$300÷(3+2)×2=120$(千米)
$180÷2=90$(千米/时)
$120÷2=60$(千米/时)
答:甲车的速度是90千米/时,乙车的速度是60千米/时。
30000000 厘米=300 千米
$300÷(3+2)×3=180$(千米)
$300÷(3+2)×2=120$(千米)
$180÷2=90$(千米/时)
$120÷2=60$(千米/时)
答:甲车的速度是90千米/时,乙车的速度是60千米/时。
解析
【分析】
解题思路分三步梳理：第一步，根据比例尺的定义，用图上距离乘比例尺后项算出A、B两地的实际距离，注意换算成千米单位；第二步，两车相遇时总路程就是A、B两地实际距离，已知甲路程是乙的$\frac{3}{2}$，可得甲乙路程比为3:2，用按比例分配的方法分别算出两车2小时行驶的路程；第三步，根据“速度=路程÷时间”，用两车各自的行驶路程除以相遇时间2小时，即可求出两车速度。
【解析】
1. 计算A、B两地实际距离：
实际距离 = 图上距离 × 比例尺后项
$10×3000000=30000000$（厘米）
单位换算：30000000 厘米 = 300 千米
2. 按比例分配计算两车行驶路程：
甲路程:乙路程 = $\frac{3}{2}:1=3:2$，总份数为$3+2=5$份
每份路程：$300÷5=60$（千米）
甲车行驶路程：$60×3=180$（千米）
乙车行驶路程：$60×2=120$（千米）
3. 计算两车速度：
甲车速度：$180÷2=90$（千米/时）
乙车速度：$120÷2=60$（千米/时）
【答案】
甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时。
【知识点】
比例尺应用；按比分配；行程问题
【点评】
本题是多知识点结合的实际应用题，解题关键是先求出两地实际总路程，再结合路程比例关系算出两车各自的行驶路程，最后根据路程、时间、速度的关系求解，解题时需要注意单位换算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步梳理：第一步，根据比例尺的定义，用图上距离乘比例尺后项算出A、B两地的实际距离，注意换算成千米单位；第二步，两车相遇时总路程就是A、B两地实际距离，已知甲路程是乙的$\frac{3}{2}$，可得甲乙路程比为3:2，用按比例分配的方法分别算出两车2小时行驶的路程；第三步，根据“速度=路程÷时间”，用两车各自的行驶路程除以相遇时间2小时，即可求出两车速度。
【解析】
1. 计算A、B两地实际距离：
实际距离 = 图上距离 × 比例尺后项
$10×3000000=30000000$（厘米）
单位换算：30000000 厘米 = 300 千米
2. 按比例分配计算两车行驶路程：
甲路程:乙路程 = $\frac{3}{2}:1=3:2$，总份数为$3+2=5$份
每份路程：$300÷5=60$（千米）
甲车行驶路程：$60×3=180$（千米）
乙车行驶路程：$60×2=120$（千米）
3. 计算两车速度：
甲车速度：$180÷2=90$（千米/时）
乙车速度：$120÷2=60$（千米/时）
【答案】
甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时。
【知识点】
比例尺应用；按比分配；行程问题
【点评】
本题是多知识点结合的实际应用题，解题关键是先求出两地实际总路程，再结合路程比例关系算出两车各自的行驶路程，最后根据路程、时间、速度的关系求解，解题时需要注意单位换算的准确性。
【难度系数】
0.7
