一、选择题
1. 下列语句中，是命题的是().

A.在线段AB上取点C
B.作直线AB的垂线
C.垂线段最短吗
D.相等的角是对顶角

1. D

【分析】
要判断一个语句是不是命题，首先要明确命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题，命题需要同时满足两个条件：①是陈述句；②能够判断真假。解题时我们就对照这两个条件，逐一分析每个选项是否符合即可。
【解析】
根据命题的定义逐一判断：
A. “在线段AB上取点C”是作图操作类的指令语句，没有对某件事情作出判断，不属于命题；
B. “作直线AB的垂线”同样是作图指令，没有作出判断，不属于命题；
C. “垂线段最短吗”是疑问句，没有作出明确判断，不属于命题；
D. “相等的角是对顶角”是陈述句，且可以判断真假（该语句是假命题，但假命题也属于命题），符合命题的定义，属于命题。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
命题的定义，命题的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确把握命题的判定标准，要注意：疑问句、祈使句、作图描述类语句都不是命题，不管是真命题还是假命题，只要符合命题的定义都属于命题。
【难度系数】
0.9

2. 下列命题中，正确的有()个.
① 直角三角形的两个锐角互余；
② 三角形的角平分线、中线、高线都在三角形的内部；
③ 三角形的一个外角大于任何一个内角；
④ 三角形的一个外角等于任意两个内角的和.

A.1
B.2
C.3
D.4

2. A

【分析】
本题考查三角形相关性质的命题辨析，解题需逐个验证4个命题的正误，最终统计正确命题的个数即可。首先回忆直角三角形内角特点、三角形角平分线/中线/高线的位置、三角形外角的性质等知识点，逐一排查每个命题的描述是否符合性质要求，注意不要遗漏性质中的限定条件。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
① 三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此两个锐角的和为$180°-90°=90°$，即两个锐角互余，该命题正确。
② 三角形的角平分线、中线都在三角形内部，但高线不一定：钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，因此该命题错误。
③ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，并非大于所有内角，例如钝角的外角是锐角，小于对应的钝角，该命题错误。
④ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并非任意两个内角的和，该命题错误。
综上，只有1个正确命题，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形性质 2. 三角形的三线 3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查三角形相关基础性质的细节记忆，易错点在于忽略高线的位置差异、外角性质中“不相邻”的限定条件，学习时要准确掌握性质的完整表述，避免遗漏关键限定。
【难度系数】
0.7

3. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，反例可以是().

A.$∠α=60°$, $∠α$ 的补角 $∠β=120°$, $∠β＞∠α$
B.$∠α=90°$, $∠α$ 的补角 $∠β=90°$, $∠β=∠α$
C.$∠α=100°$, $∠α$ 的补角 $∠β=80°$, $∠β＜∠α$
D.$∠α=100°$, $∠β=70°$, $∠β＜∠α$

3. C

【分析】首先明确假命题反例的构造要求：一是例子要符合命题的条件，二是例子不满足命题的结论。本题中命题的条件是“两个角互为补角”，结论是“补角的度数不小于原角（即补角≥原角）”，因此反例需要找到一对互为补角的角，且补角的度数小于原角的度数，先排除不符合补角定义的选项，再逐一判断即可。
【解析】根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。原命题“任何一个角的补角都不小于这个角”的含义为：互为补角的两个角中，补角的度数≥原角的度数。要举反例，需找到互为补角且补角＜原角的情况，对各选项逐一分析：
选项A：∠α=60°，补角∠β=120°，∠β＞∠α，符合原命题结论，不是反例；
选项B：∠α=90°，补角∠β=90°，∠β=∠α，满足“不小于”的要求，符合原命题结论，不是反例；
选项C：∠α=100°，补角∠β=180°-100°=80°，∠β=80°＜100°=∠α，满足互为补角的条件，且补角小于原角，可作为反例；
选项D：∠α+∠β=100°+70°=170°≠180°，二者不互为补角，不符合命题的条件，排除。
【答案】C
【知识点】补角的定义；假命题的反例判断
【点评】本题解题的核心是明确反例的判定规则：既要符合命题的条件，又要能推翻命题的结论，同时要熟练掌握补角的定义，避免误选不满足补角关系的选项。
【难度系数】0.8

4. “若三条线段a，b，c的长满足$a+b＞c$，则这三条线段a，b，c一定能组成三角形”，小红举出例子：$a=1$，$b=2$，$c=$，满足$a+b＞c$，但a，b，c不能组成三角形。因此，原命题是假命题。

4. 答案不唯一.如：1

【分析】
要证明原命题是假命题，只需举出满足题设条件$a+b＞c$，但不符合三角形三边关系的反例即可。首先回忆三角形三边关系：三条线段能组成三角形的要求是任意两边之和大于第三边，仅满足$a+b＞c$不足以判定能构成三角形。已知$a=1$，$b=2$，先确定$c$需要满足$a+b＞c$即$c＜3$，再让$c$不满足另外的三边关系条件（比如$a+c≤ b$），即可得到符合要求的$c$的取值。
【解析】
根据三角形三边关系，三条线段能构成三角形的充要条件是：任意两边之和大于第三边，即需同时满足$a+b＞c$、$a+c＞b$、$b+c＞a$。
已知$a=1$，$b=2$，首先要满足题设条件$a+b＞c$，即$c＜1+2=3$；
要使三条线段不能组成三角形，只需不满足上述三个不等式中的任意一个即可，例如令$a+c≤ b$，代入$a=1$，$b=2$得：$1+c≤2$，解得$c≤1$，结合线段长度为正，即$0＜c≤1$。
取$c=1$，此时$a+b=3＞1$，满足题设$a+b＞c$，而$a+c=1+1=2=b$，不满足两边之和大于第三边，因此不能组成三角形，符合要求。（答案不唯一，$c$取$0＜c≤1$的任意值均可）
【答案】
答案不唯一，如：1
【知识点】
三角形三边关系；假命题的判定
【点评】
本题考查对三角形三边关系的掌握和举反例判断假命题的方法，解题关键是明确判断三条线段能否构成三角形必须验证所有两边之和大于第三边的条件，仅满足其中一个条件不能判定可构成三角形。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D.若∠BOC=α，则∠D=.(用含α的代数式表示)

5. $α - 90°$

【分析】
解题时以∠A为中间量建立已知角和待求角的关系：第一步先利用角平分线的定义和三角形内角和定理，推导∠BOC（即α）与∠A的数量关系；第二步利用三角形外角的性质和角平分线定义，推导∠D与∠A的数量关系；最后消去∠A即可得到∠D和α的关系。
【解析】
设BC的延长线为射线CE，∠ACE为△ABC中∠ACB的外角。
1. 推导∠BOC与∠A的关系
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴ $∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BOC中，由三角形内角和为180°得：
$α=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入上式得：
$α=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
整理得：$\frac{1}{2}∠ A=α-90°$ ①
2. 推导∠D与∠A的关系
∵ CD平分∠ACE
∴ $∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$
∵ ∠ACE是△ABC的外角，
∴ $∠ ACE=∠ A+∠ ABC$
代入得：$∠ DCE=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$
∵ ∠DCE是△BCD的外角，
∴ $∠ DCE=∠ D+∠ DBC$
又
∵ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，代入得：
$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ D+\frac{1}{2}∠ ABC$
化简得：$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$ ②
联立①②可得：$∠ D=α-90°$
【答案】
$α-90°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角平分线相关的常规计算题型，核心是通过公共中间量关联已知角和未知角，熟练掌握三角形内外角性质即可快速推导求解。
【难度系数】
0.65

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$I$.
根据下列条件，分别求$∠ BIC$的度数.
（1）若$∠ ABC=60°$，$∠ ACB=40°$，则$∠ BIC=$；
（2）若$∠ ABC+∠ ACB=100°$，则$∠ BIC=$；
（3）若$∠ A=80°$，则$∠ BIC=$；
（4）若$∠ A=n°$，则$∠ BIC=$.（用含$n$的代数式表示）

6. (1) $130°$ (2) $130°$ (3) $130°$ (4) $(90+\dfrac{1}{2}n)°$

【分析】
解题需结合角平分线定义和三角形内角和定理推导∠BIC的计算规律：首先由BI、CI分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，可得∠IBC=1/2∠ABC、∠ICB=1/2∠ACB；再根据△BIC的内角和为180°，可推导出通用公式$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$。若已知∠A的度数，可先通过△ABC的内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再代入公式计算即可。
【解析】
已知BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，根据角平分线的定义得：
$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在$△ BIC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB) \quad ①$
（1）当$∠ ABC=60°$，$∠ ACB=40°$时：
$∠ ABC+∠ ACB=60°+40°=100°$，代入①式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}×100°=130°$
（2）当$∠ ABC+∠ ACB=100°$时，直接代入①式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}×100°=130°$
（3）当$∠ A=80°$时，在$△ ABC$中：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，代入①式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}×100°=130°$
（4）当$∠ A=n°$时，在$△ ABC$中：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-n°$，代入①式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-n°)=(90+\frac{1}{2}n)°$
【答案】
(1) $130°$ (2) $130°$ (3) $130°$ (4) $(90+\dfrac{1}{2}n)°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础典型题，核心是掌握角平分线性质和内角和定理的结合应用，推导得出的三角形内心与顶角的数量关系可作为结论，用于快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.8