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三、解答题
7. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，CE平分∠ACB交AB于点E，FD过点A，∠EAD=2∠CAF. 求证：CE // FD.
7. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，CE平分∠ACB交AB于点E，FD过点A，∠EAD=2∠CAF. 求证：CE // FD.
答案
7. $\because ∠ BAC=90°, ∠ B=30°, \therefore ∠ BCA=60°. \because CE$ 平分 $∠ ACB, \therefore ∠ ECA=\dfrac{1}{2}∠ BCA=30°.$ 由 $∠ EAD=2∠ CAF,$ 且 $∠ CAF+∠ EAD=90°,$ 易得 $∠ CAF=30°. \therefore ∠ ECA=∠ CAF. \therefore CE // FD$
解析
【分析】
要证明CE//FD，可通过证明两直线被AC所截形成的内错角∠ECA和∠CAF相等推导结论。第一步先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再结合角平分线的定义算出∠ECA的度数；第二步根据平角的性质和已知的∠EAD与∠CAF的数量关系，求出∠CAF的度数；最后对比两个角的度数，结合平行线的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴ ∠BCA=180°-90°-30°=60°，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ECA=$\dfrac{1}{2}$∠BCA=30°，
∵ F、A、D共线，∠BAC=90°，
∴ ∠CAF+∠EAD=180°-90°=90°，
又
∵ ∠EAD=2∠CAF，
∴ 3∠CAF=90°，解得∠CAF=30°，
∴ ∠ECA=∠CAF，
∴ CE//FD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$\because ∠ BAC=90°, ∠ B=30°, \therefore ∠ BCA=60°. \because CE$ 平分 $∠ ACB, \therefore ∠ ECA=\dfrac{1}{2}∠ BCA=30°.$ 由 $∠ EAD=2∠ CAF,$ 且 $∠ CAF+∠ EAD=90°,$ 易得 $∠ CAF=30°. \therefore ∠ ECA=∠ CAF. \therefore CE // FD$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角度计算和平行线判定的综合应用，解题核心是找准两条直线被截形成的相等内错角，逻辑链条清晰，有助于巩固基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明CE//FD，可通过证明两直线被AC所截形成的内错角∠ECA和∠CAF相等推导结论。第一步先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再结合角平分线的定义算出∠ECA的度数；第二步根据平角的性质和已知的∠EAD与∠CAF的数量关系，求出∠CAF的度数；最后对比两个角的度数，结合平行线的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴ ∠BCA=180°-90°-30°=60°，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ECA=$\dfrac{1}{2}$∠BCA=30°，
∵ F、A、D共线，∠BAC=90°，
∴ ∠CAF+∠EAD=180°-90°=90°，
又
∵ ∠EAD=2∠CAF，
∴ 3∠CAF=90°，解得∠CAF=30°，
∴ ∠ECA=∠CAF，
∴ CE//FD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$\because ∠ BAC=90°, ∠ B=30°, \therefore ∠ BCA=60°. \because CE$ 平分 $∠ ACB, \therefore ∠ ECA=\dfrac{1}{2}∠ BCA=30°.$ 由 $∠ EAD=2∠ CAF,$ 且 $∠ CAF+∠ EAD=90°,$ 易得 $∠ CAF=30°. \therefore ∠ ECA=∠ CAF. \therefore CE // FD$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角度计算和平行线判定的综合应用，解题核心是找准两条直线被截形成的相等内错角，逻辑链条清晰，有助于巩固基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在四边形 BCED 中,AF 交 DE,CB 的延长线于点 F,A,交 EC,DB 于点 G,H.从①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ C=∠ D$;③$∠ A=∠ F$ 这三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论可以组成三个命题.
(1) 这三个命题中,真命题有
(2) 选择一个真命题,并完成证明过程.
(1) 这三个命题中,真命题有
3
个;(2) 选择一个真命题,并完成证明过程.
答案
8. (1) 3 (2) 略
解析
【分析】
(1) 首先列出从三个条件中选两个作为已知、另一个作为结论可组成的3个命题：①②推③、①③推②、②③推①，结合平行线的判定与性质、对顶角性质逐一推导，可知三个命题都成立，即可得到真命题的个数。
(2) 以选①②作为已知条件、③作为结论为例，解题思路为：先通过对顶角相等将∠1转化为它的对顶角，结合∠1=∠2得到同位角相等，推出DB和EC平行；再由平行线的性质得到∠C与∠ABD相等，结合已知∠C=∠D推出∠D=∠ABD，进而推出DF和AC平行；最后根据平行线的性质得到∠A=∠F。
【解析】
(1) 三个组合得到的命题均可通过平行线的判定与性质证明成立，因此真命题有3个。
(2) 示例：选择①∠1=∠2、②∠C=∠D作为已知条件，求证③∠A=∠F。
证明：
∵ ∠1与∠DHF是对顶角，
∴ ∠1=∠DHF（对顶角相等），
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠DHF=∠2，
∴ DB//EC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠C=∠D，
∴ ∠D=∠ABD，
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
（选择另外两个真命题证明，逻辑正确即可）
【答案】
(1) 3
(2) 略
【知识点】
平行线的判定与性质，对顶角的性质，真假命题判断
【点评】
本题综合考查了命题真假判断和几何证明，需要学生熟练区分平行线的判定定理和性质，灵活进行角的关系转化，对基础逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先列出从三个条件中选两个作为已知、另一个作为结论可组成的3个命题：①②推③、①③推②、②③推①，结合平行线的判定与性质、对顶角性质逐一推导，可知三个命题都成立，即可得到真命题的个数。
(2) 以选①②作为已知条件、③作为结论为例，解题思路为：先通过对顶角相等将∠1转化为它的对顶角，结合∠1=∠2得到同位角相等，推出DB和EC平行；再由平行线的性质得到∠C与∠ABD相等，结合已知∠C=∠D推出∠D=∠ABD，进而推出DF和AC平行；最后根据平行线的性质得到∠A=∠F。
【解析】
(1) 三个组合得到的命题均可通过平行线的判定与性质证明成立，因此真命题有3个。
(2) 示例：选择①∠1=∠2、②∠C=∠D作为已知条件，求证③∠A=∠F。
证明：
∵ ∠1与∠DHF是对顶角，
∴ ∠1=∠DHF（对顶角相等），
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠DHF=∠2，
∴ DB//EC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠C=∠D，
∴ ∠D=∠ABD，
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
（选择另外两个真命题证明，逻辑正确即可）
【答案】
(1) 3
(2) 略
【知识点】
平行线的判定与性质，对顶角的性质，真假命题判断
【点评】
本题综合考查了命题真假判断和几何证明，需要学生熟练区分平行线的判定定理和性质，灵活进行角的关系转化，对基础逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=∠ABD.BE是△ABD的边AD上的高,延长BE交AC于点F.设∠ABC=α,∠ACB=β.
(1)当α=70°时,∠ABF的度数为
(2)求∠AFB的度数;(用含α,β的式子表示)
(3)若∠AFB=∠BAF,求β的值.
(1)当α=70°时,∠ABF的度数为
$50°$
;(2)求∠AFB的度数;(用含α,β的式子表示)
(3)若∠AFB=∠BAF,求β的值.
答案
9. (1) $50°$ (2) $90°-α+β$ (3) $45°$
解析
【分析】
(1) 首先根据已知∠ADB=∠ABD，可得△ABD中两个底角均等于α，利用三角形内角和求出顶角∠BAD的度数；再结合BE是AD边上的高，可得∠AEB=90°，在直角三角形ABE中利用两锐角互余即可求出∠ABF的度数。
(2) 求∠AFB可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AFB是△BFC的外角，因此∠AFB=∠FBC+∠ACB；先求出∠FBC的表达式，代入即可得到用α、β表示的∠AFB。
(3) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAF（即∠BAC）的表达式，再根据∠AFB=∠BAF列等式，化简后即可求出β的值。
【解析】
(1)
∵∠ADB=∠ABD，∠ABC=α=70°，
∴∠ABD=∠ADB=70°，
在△ABD中，$∠ BAD=180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-70°×2=40°$，
∵BE是AD边上的高，
∴$∠ AEB=90°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ ABF=90°-∠ BAD=90°-40°=50°$。
(2)
∵∠ADB=∠ABD=α，
∴$∠ BAD=180°-2α$，
∵BE⊥AD，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ ABF=90°-∠ BAD=90°-(180°-2α)=2α-90°$，
∴$∠ FBC=∠ ABC-∠ ABF=α-(2α-90°)=90°-α$，
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴$∠ AFB=∠ FBC+∠ ACB=90°-α+β$。
(3) 在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-α-β$，即$∠ BAF=180°-α-β$，
由题意知$∠ AFB=∠ BAF$，且$∠ AFB=90°-α+β$，
∴$180°-α-β=90°-α+β$，
化简得：$2β=90°$，解得$β=45°$。
【答案】
(1) $50°$；(2) $90°-α+β$；(3) $45°$
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题主要围绕三角形角的相关性质展开考查，解题时需要梳理清楚各角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导，能够有效检验学生对三角形角的性质的掌握程度和几何推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据已知∠ADB=∠ABD，可得△ABD中两个底角均等于α，利用三角形内角和求出顶角∠BAD的度数；再结合BE是AD边上的高，可得∠AEB=90°，在直角三角形ABE中利用两锐角互余即可求出∠ABF的度数。
(2) 求∠AFB可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AFB是△BFC的外角，因此∠AFB=∠FBC+∠ACB；先求出∠FBC的表达式，代入即可得到用α、β表示的∠AFB。
(3) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAF（即∠BAC）的表达式，再根据∠AFB=∠BAF列等式，化简后即可求出β的值。
【解析】
(1)
∵∠ADB=∠ABD，∠ABC=α=70°，
∴∠ABD=∠ADB=70°，
在△ABD中，$∠ BAD=180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-70°×2=40°$，
∵BE是AD边上的高，
∴$∠ AEB=90°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ ABF=90°-∠ BAD=90°-40°=50°$。
(2)
∵∠ADB=∠ABD=α，
∴$∠ BAD=180°-2α$，
∵BE⊥AD，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ ABF=90°-∠ BAD=90°-(180°-2α)=2α-90°$，
∴$∠ FBC=∠ ABC-∠ ABF=α-(2α-90°)=90°-α$，
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴$∠ AFB=∠ FBC+∠ ACB=90°-α+β$。
(3) 在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-α-β$，即$∠ BAF=180°-α-β$，
由题意知$∠ AFB=∠ BAF$，且$∠ AFB=90°-α+β$，
∴$180°-α-β=90°-α+β$，
化简得：$2β=90°$，解得$β=45°$。
【答案】
(1) $50°$；(2) $90°-α+β$；(3) $45°$
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题主要围绕三角形角的相关性质展开考查，解题时需要梳理清楚各角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导，能够有效检验学生对三角形角的性质的掌握程度和几何推导能力。
【难度系数】
0.7
