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1.计算器显示结果为$\sin^{-1}0.9816=78.9918$的意思正确的是 （
A.计算已知正弦值的对应角度
B.计算已知余弦值的对应角度
C.计算一个角的正弦值
D.计算一个角的余弦值
A
）A.计算已知正弦值的对应角度
B.计算已知余弦值的对应角度
C.计算一个角的正弦值
D.计算一个角的余弦值
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确计算器上三角函数相关符号的含义：$\sin$是正弦运算，输入角度可得到对应正弦值；$\sin^{-1}$是反正弦运算，属于正弦运算的逆运算，作用是输入正弦值，输出对应的角度。我们只需根据这个定义，逐一匹配选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确各运算的功能：
1. $\sin^{-1}$为反正弦运算，是正弦的逆运算，输入值为某角的正弦值，输出值为对应的角度。本题输入正弦值0.9816，输出对应角度78.9918，符合反正弦运算的特征。
2. 逐一分析选项：
A. 计算已知正弦值的对应角度，符合反正弦运算的功能，描述正确；
B. 已知余弦值求对应角度需用$\cos^{-1}$运算，不符合题意，错误；
C. 计算一个角的正弦值需用$\sin$运算，输入为角度、输出为正弦值，与题目情况相反，错误；
D. 计算一个角的余弦值需用$\cos$运算，不符合题意，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反正弦运算含义；三角函数逆运算；计算器三角函数使用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分三角函数正运算和逆运算的功能，只要清晰掌握$\sin$、$\sin^{-1}$等符号的含义，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确计算器上三角函数相关符号的含义：$\sin$是正弦运算，输入角度可得到对应正弦值；$\sin^{-1}$是反正弦运算，属于正弦运算的逆运算，作用是输入正弦值，输出对应的角度。我们只需根据这个定义，逐一匹配选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确各运算的功能：
1. $\sin^{-1}$为反正弦运算，是正弦的逆运算，输入值为某角的正弦值，输出值为对应的角度。本题输入正弦值0.9816，输出对应角度78.9918，符合反正弦运算的特征。
2. 逐一分析选项：
A. 计算已知正弦值的对应角度，符合反正弦运算的功能，描述正确；
B. 已知余弦值求对应角度需用$\cos^{-1}$运算，不符合题意，错误；
C. 计算一个角的正弦值需用$\sin$运算，输入为角度、输出为正弦值，与题目情况相反，错误；
D. 计算一个角的余弦值需用$\cos$运算，不符合题意，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反正弦运算含义；三角函数逆运算；计算器三角函数使用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分三角函数正运算和逆运算的功能，只要清晰掌握$\sin$、$\sin^{-1}$等符号的含义，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2.已知$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$∠ A$为锐角，那么$\sin^2 A + \tan^2 A =$（
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
B
）A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
首先观察已知条件，给出的cosA的值为特殊锐角的三角函数值，且∠A是锐角，因此可以先回忆特殊角的三角函数值，确定∠A的度数；再将对应角度的正弦值、正切值代入待求算式，分别计算平方后求和即可得到结果，该方法简便易操作，符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：
∵$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$∠A$为锐角，
∴$∠A=45°$，
∴$\sin A=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan A=\tan45°=1$，
则$\sin^2 A + \tan^2 A = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊锐角三角函数值的记忆与简单运算，只要熟练掌握30°、45°、60°三类特殊角的三角函数值，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，给出的cosA的值为特殊锐角的三角函数值，且∠A是锐角，因此可以先回忆特殊角的三角函数值，确定∠A的度数；再将对应角度的正弦值、正切值代入待求算式，分别计算平方后求和即可得到结果，该方法简便易操作，符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：
∵$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$∠A$为锐角，
∴$∠A=45°$，
∴$\sin A=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan A=\tan45°=1$，
则$\sin^2 A + \tan^2 A = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊锐角三角函数值的记忆与简单运算，只要熟练掌握30°、45°、60°三类特殊角的三角函数值，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
3.已知$\cos A · \sin 30°=\frac{\sqrt{3}}{4}$，且$∠ A$为锐角，则$∠ A$为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用特殊角的三角函数值得到$\sin30°$的具体数值，代入已知等式求出$\cos A$的值，再结合$∠ A$为锐角的条件，对照特殊锐角的余弦值即可确定$∠ A$的度数。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知$\sin30°=\frac{1}{2}$，
将其代入已知等式$\cos A · \sin 30°=\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得：
$\cos A × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
等式两边同时乘2，解得：
$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
已知$∠ A$是锐角，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ A=30°$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是熟练记忆特殊锐角的三角函数值，代入计算后对应匹配角度即可。
【难度系数】
0.9
解题时先利用特殊角的三角函数值得到$\sin30°$的具体数值，代入已知等式求出$\cos A$的值，再结合$∠ A$为锐角的条件，对照特殊锐角的余弦值即可确定$∠ A$的度数。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知$\sin30°=\frac{1}{2}$，
将其代入已知等式$\cos A · \sin 30°=\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得：
$\cos A × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
等式两边同时乘2，解得：
$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
已知$∠ A$是锐角，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ A=30°$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是熟练记忆特殊锐角的三角函数值，代入计算后对应匹配角度即可。
【难度系数】
0.9
4.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{2}{3}$，则$\tan B$等于（
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C
）A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知一个锐角的余弦值，求另一个锐角正切值的基础题。解题思路如下：第一步，回忆锐角余弦的定义，结合已知的$\cos A$的值，通过设参数的方式表示出角A的邻边和斜边的长度；第二步，利用勾股定理求出直角三角形的第三条直角边的长度；第三步，回忆正切的定义，找准角B的对边和邻边，代入计算后化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{3}$
∴ 可设$AC=2k$，$AB=3k$（$k＞0$）
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(3k)^2 - (2k)^2}=\sqrt{9k^2 - 4k^2}=\sqrt{5}k$
又
∵ $\tan B=\dfrac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\dfrac{AC}{BC}$
∴ 代入边长得：$\tan B=\dfrac{2k}{\sqrt{5}k}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考法，核心是准确掌握各三角函数对应的边的比例关系，设参数表示边长的方法能有效避免具体数值计算的麻烦，是解决这类问题的常用技巧，解题时要注意不要混淆对应角的对边和邻边。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中已知一个锐角的余弦值，求另一个锐角正切值的基础题。解题思路如下：第一步，回忆锐角余弦的定义，结合已知的$\cos A$的值，通过设参数的方式表示出角A的邻边和斜边的长度；第二步，利用勾股定理求出直角三角形的第三条直角边的长度；第三步，回忆正切的定义，找准角B的对边和邻边，代入计算后化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{3}$
∴ 可设$AC=2k$，$AB=3k$（$k＞0$）
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(3k)^2 - (2k)^2}=\sqrt{9k^2 - 4k^2}=\sqrt{5}k$
又
∵ $\tan B=\dfrac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\dfrac{AC}{BC}$
∴ 代入边长得：$\tan B=\dfrac{2k}{\sqrt{5}k}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考法，核心是准确掌握各三角函数对应的边的比例关系，设参数表示边长的方法能有效避免具体数值计算的麻烦，是解决这类问题的常用技巧，解题时要注意不要混淆对应角的对边和邻边。
【难度系数】
0.7
5.如图,工程队拟沿AC方向开山修路,为加快施工进度,需在小山的另一边点E处同时施工.使A,C,E三点在一条直线上,已知DE⊥BE,BD=560米,点E与点D间的距离是358米,则∠D≈
50°
.(参考数据:$\sin50°\approx0.77,\cos50°\approx0.64,\sin55°\approx0.82,\cos55°\approx0.57)$答案
50°
解析
【分析】
首先根据DE⊥BE可判断△BDE是直角三角形，∠BED为直角。要求∠D的度数，已知斜边BD和∠D的邻边DE的长度，可利用余弦的定义求出∠D的余弦值，再对照题目给出的参考数据即可得到∠D的近似值。
【解析】
解：
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，△BED是直角三角形。
在Rt△BED中，根据余弦的定义：$\cos∠ D=\frac{DE}{BD}$，
将BD=560米，DE=358米代入得：
$\cos∠ D=\frac{358}{560}\approx0.64$，
结合参考数据$\cos50°\approx0.64$，可得$∠ D\approx50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
余弦函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题是锐角三角函数在实际施工场景中的应用，解题的核心是结合已知边的关系选择正确的三角函数计算角度，掌握锐角三角函数的基本定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先根据DE⊥BE可判断△BDE是直角三角形，∠BED为直角。要求∠D的度数，已知斜边BD和∠D的邻边DE的长度，可利用余弦的定义求出∠D的余弦值，再对照题目给出的参考数据即可得到∠D的近似值。
【解析】
解：
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，△BED是直角三角形。
在Rt△BED中，根据余弦的定义：$\cos∠ D=\frac{DE}{BD}$，
将BD=560米，DE=358米代入得：
$\cos∠ D=\frac{358}{560}\approx0.64$，
结合参考数据$\cos50°\approx0.64$，可得$∠ D\approx50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
余弦函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题是锐角三角函数在实际施工场景中的应用，解题的核心是结合已知边的关系选择正确的三角函数计算角度，掌握锐角三角函数的基本定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架.图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：
AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm，OE=OF=34 cm.现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32 cm.
(1)求证：AC//BD.
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数.(参考数据：cos 61.9°≈0.471，sin 28.1°≈0.471，tan 25.3°≈0.473，精确到0.1°)
AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm，OE=OF=34 cm.现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32 cm.
(1)求证：AC//BD.
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数.(参考数据：cos 61.9°≈0.471，sin 28.1°≈0.471，tan 25.3°≈0.473，精确到0.1°)
答案
(1)证明:
∵AB,CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
同理可证:∠OBD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
∴∠OAC=∠OBD,
∴AC//BD.
(2)解:在△OEF中,OE=OF=34 cm,EF=32 cm;
过点O作OM⊥EF于点M,则EM=16 cm;
∴cos∠OEF=$\frac{EM}{OE}$=$\frac{16}{34}$=$\frac{8}{17}$≈0.471,
∴∠OEF=61.9°.
∵AB,CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
同理可证:∠OBD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
∴∠OAC=∠OBD,
∴AC//BD.
(2)解:在△OEF中,OE=OF=34 cm,EF=32 cm;
过点O作OM⊥EF于点M,则EM=16 cm;
∴cos∠OEF=$\frac{EM}{OE}$=$\frac{16}{34}$=$\frac{8}{17}$≈0.471,
∴∠OEF=61.9°.
解析
【分析】
(1)要证明AC//BD，可通过证明内错角相等推导。首先AB与CD交于点O，对顶角∠AOC和∠BOD相等；再结合OA=OC、OB=OD（可由已知线段长度计算得到），可知△AOC和△BOD均为等腰三角形，二者顶角相等则底角相等，得到∠OAC=∠OBD，即可证得平行。
(2)要求∠OEF的度数，观察△OEF是等腰三角形（OE=OF），可通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一得到直角边的长度，再根据锐角三角函数的定义求出∠OEF的余弦值，结合参考数据即可得到对应角度。
【解析】
(1)证明:
∵AB,CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠AOC)=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
同理可证:∠OBD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
∴∠OAC=∠OBD,
∴AC//BD。
(2)解:在△OEF中,OE=OF=34 cm,EF=32 cm;
过点O作OM⊥EF于点M，根据等腰三角形三线合一的性质，得EM=$\frac{1}{2}$EF=16 cm;
在Rt△OEM中，cos∠OEF=$\frac{EM}{OE}$=$\frac{16}{34}$=$\frac{8}{17}$≈0.471,
结合参考数据cos 61.9°≈0.471，可得∠OEF=61.9°。
【答案】
(1)AC//BD得证；
(2)∠OEF的度数为61.9°。
【知识点】
平行线的判定，等腰三角形性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题结合生活场景命题，贴近实际，既考察了平行线判定、等腰三角形性质等基础几何知识，也考察了利用锐角三角函数求解角度的能力，解题时需掌握等腰三角形作高构造直角三角形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AC//BD，可通过证明内错角相等推导。首先AB与CD交于点O，对顶角∠AOC和∠BOD相等；再结合OA=OC、OB=OD（可由已知线段长度计算得到），可知△AOC和△BOD均为等腰三角形，二者顶角相等则底角相等，得到∠OAC=∠OBD，即可证得平行。
(2)要求∠OEF的度数，观察△OEF是等腰三角形（OE=OF），可通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一得到直角边的长度，再根据锐角三角函数的定义求出∠OEF的余弦值，结合参考数据即可得到对应角度。
【解析】
(1)证明:
∵AB,CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠AOC)=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
同理可证:∠OBD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD),
∴∠OAC=∠OBD,
∴AC//BD。
(2)解:在△OEF中,OE=OF=34 cm,EF=32 cm;
过点O作OM⊥EF于点M，根据等腰三角形三线合一的性质，得EM=$\frac{1}{2}$EF=16 cm;
在Rt△OEM中，cos∠OEF=$\frac{EM}{OE}$=$\frac{16}{34}$=$\frac{8}{17}$≈0.471,
结合参考数据cos 61.9°≈0.471，可得∠OEF=61.9°。
【答案】
(1)AC//BD得证；
(2)∠OEF的度数为61.9°。
【知识点】
平行线的判定，等腰三角形性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题结合生活场景命题，贴近实际，既考察了平行线判定、等腰三角形性质等基础几何知识，也考察了利用锐角三角函数求解角度的能力，解题时需掌握等腰三角形作高构造直角三角形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
