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5.如图,已知$△ ABC$中,$∠ CAB=20°$,$∠ ABC=30°$,将$△ ABC$绕$A$点逆时针旋转$50°$得到$△ AB'C'$,以下结论:①$BC=B'C'$;②$AC// C'B'$;③$C'B'⊥ BB'$;④$∠ ABB'=∠ ACC'$.正确的是 (
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
（第5题图）
（第6题图）
（第7题图）
B
)A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
（第5题图）（第6题图）
（第7题图）
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等，旋转角相等，再结合三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线判定定理，逐个验证4个结论是否成立。先由全等直接判断结论①；再计算同旁内角的和判断结论②；通过计算∠C'B'B的度数判断结论③；分别计算等腰△ABB'和△ACC'的底角，判断结论④是否成立。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，旋转角∠BAB'=∠CAC'=50°，
∴BC=B'C'，故①正确；
在△ABC中，由三角形内角和得：
∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-20°-30°=130°，
由全等性质得∠AC'B'=∠ACB=130°，
∴∠AC'B' + ∠CAC' =130°+50°=180°，同旁内角互补，
∴AC//C'B'，故②正确；
由旋转性质得AB=AB'，∠BAB'=50°，
∴△ABB'为等腰三角形，∠ABB'=∠AB'B=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
又
∵∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴∠C'B'B=∠AB'B - ∠AB'C'=65°-30°=35°≠90°，
∴C'B'与BB'不垂直，故③错误；
由旋转性质得AC=AC'，∠CAC'=50°，
∴△ACC'为等腰三角形，∠ACC'=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
∴∠ABB'=∠ACC'=65°，故④正确。
综上，①②④正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；平行线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转性质与三角形相关知识点结合考查，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等，旋转角相等，再结合三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线判定定理，逐个验证4个结论是否成立。先由全等直接判断结论①；再计算同旁内角的和判断结论②；通过计算∠C'B'B的度数判断结论③；分别计算等腰△ABB'和△ACC'的底角，判断结论④是否成立。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，旋转角∠BAB'=∠CAC'=50°，
∴BC=B'C'，故①正确；
在△ABC中，由三角形内角和得：
∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-20°-30°=130°，
由全等性质得∠AC'B'=∠ACB=130°，
∴∠AC'B' + ∠CAC' =130°+50°=180°，同旁内角互补，
∴AC//C'B'，故②正确；
由旋转性质得AB=AB'，∠BAB'=50°，
∴△ABB'为等腰三角形，∠ABB'=∠AB'B=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
又
∵∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴∠C'B'B=∠AB'B - ∠AB'C'=65°-30°=35°≠90°，
∴C'B'与BB'不垂直，故③错误；
由旋转性质得AC=AC'，∠CAC'=50°，
∴△ACC'为等腰三角形，∠ACC'=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
∴∠ABB'=∠ACC'=65°，故④正确。
综上，①②④正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；平行线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转性质与三角形相关知识点结合考查，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
6.如图，把$△ ABC$绕点$A$旋转得到$△ ADE$，当点$D$刚好落在$BC$上时，连结$CE$.设$AC$，$DE$相交于点$F$，则图中不全等的相似三角形共有
3
对.答案
6.3
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，旋转角相等。第一步先根据旋转得到的等边和等角，结合两边成比例且夹角相等找到第一组相似三角形；第二步利用旋转得到的对应角相等，结合对顶角相等，用两角对应相等的判定定理找到另外两组相似三角形；注意题目要求是“不全等的相似三角形”，需排除全等的$△ ABC$和$△ ADE$，避免多算。
【解析】
由旋转的性质可得：$△ ABC ≌ △ ADE$，因此$AB=AD$，$AC=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$∠ B=∠ ADE$，$∠ ACB=∠ AED$。
1. 证$△ ABD ∽ △ ACE$：
$\because ∠ BAC=∠ DAE$，$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$（$AB=AD$，$AC=AE$），$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），无全等限制条件，属于不全等相似。
2. 证$△ AFE ∽ △ DFC$：
$\because ∠ AED=∠ ACB$，$∠ AFE=∠ DFC$（对顶角相等），$\therefore △ AFE ∽ △ DFC$（两角对应相等，两三角形相似），无全等限制条件，属于不全等相似。
3. 证$△ AFD ∽ △ EFC$：
由$△ ABD ∽ △ ACE$得$∠ B=∠ ACE$，又$\because ∠ B=∠ ADE$，$\therefore ∠ ADE=∠ ACE$。
$\because ∠ AFD=∠ EFC$（对顶角相等），$\therefore △ AFD ∽ △ EFC$（两角对应相等，两三角形相似），无全等限制条件，属于不全等相似。
综上，不全等的相似三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，解题关键是先梳理旋转带来的边角等量关系，再结合相似三角形的判定定理逐一排查，注意审题，排除全等的特殊情况，避免漏数或多数相似对。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，旋转角相等。第一步先根据旋转得到的等边和等角，结合两边成比例且夹角相等找到第一组相似三角形；第二步利用旋转得到的对应角相等，结合对顶角相等，用两角对应相等的判定定理找到另外两组相似三角形；注意题目要求是“不全等的相似三角形”，需排除全等的$△ ABC$和$△ ADE$，避免多算。
【解析】
由旋转的性质可得：$△ ABC ≌ △ ADE$，因此$AB=AD$，$AC=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$∠ B=∠ ADE$，$∠ ACB=∠ AED$。
1. 证$△ ABD ∽ △ ACE$：
$\because ∠ BAC=∠ DAE$，$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$（$AB=AD$，$AC=AE$），$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），无全等限制条件，属于不全等相似。
2. 证$△ AFE ∽ △ DFC$：
$\because ∠ AED=∠ ACB$，$∠ AFE=∠ DFC$（对顶角相等），$\therefore △ AFE ∽ △ DFC$（两角对应相等，两三角形相似），无全等限制条件，属于不全等相似。
3. 证$△ AFD ∽ △ EFC$：
由$△ ABD ∽ △ ACE$得$∠ B=∠ ACE$，又$\because ∠ B=∠ ADE$，$\therefore ∠ ADE=∠ ACE$。
$\because ∠ AFD=∠ EFC$（对顶角相等），$\therefore △ AFD ∽ △ EFC$（两角对应相等，两三角形相似），无全等限制条件，属于不全等相似。
综上，不全等的相似三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，解题关键是先梳理旋转带来的边角等量关系，再结合相似三角形的判定定理逐一排查，注意审题，排除全等的特殊情况，避免漏数或多数相似对。
【难度系数】
0.6
7.如图,点E在矩形ABCD的边AB上,将$△ ADE$沿DE翻折,点A恰好落在边BC上的点F处.若$CD=3BF$,$BE=4$,则AD的长为 （
A.9
B.12
C.15
D.18
C
）A.9
B.12
C.15
D.18
答案
7.C
解析
【分析】
本题属于矩形与折叠结合的几何计算题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到相等的边和角，即AD=DF、AE=EF、∠DFE=∠A=90°；再结合矩形内角为直角的特征，通过同角的余角相等证明△BEF∽△CFD，得到对应边的比例关系；最后设未知数，结合勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
解：设$BF=x$，由题意得$CD=3BF=3x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=3x$，$∠A=∠B=∠C=90°$，$BC=AD$。
由折叠的性质可知：$AD=DF$，$AE=EF$，$∠DFE=∠A=90°$，
∴$∠EFB + ∠DFC = 90°$，
又
∵$∠EFB + ∠BEF = 90°$，
∴$∠BEF=∠CFD$，
∴$△ BEF ∽ △ CFD$，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{BE}{CF}=\frac{EF}{DF}$。
∵$\frac{BF}{CD}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{1}{3}$，$\frac{EF}{DF}=\frac{1}{3}$。
已知$BE=4$，代入得$CF=3BE=12$，$DF=3EF$。
∵$BC=BF+CF=x+12$，$AD=DF=BC$，
∴$DF=x+12$，则$EF=\frac{1}{3}DF=\frac{x+12}{3}$。
在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：$EF^2=BE^2+BF^2$，
即$(\frac{x+12}{3})^2 = 4^2 + x^2$，
整理得$x^2 +24x +144 = 9x^2 +144$，
化简得$8x^2 -24x=0$，解得$x=3$（$x=0$不符合题意，舍去），
∴$AD=x+12=3+12=15$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形、折叠、相似三角形和勾股定理的相关知识，解题核心是通过角度关系找到相似三角形，结合比例关系和勾股定理建立方程求解，是几何部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.65
本题属于矩形与折叠结合的几何计算题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到相等的边和角，即AD=DF、AE=EF、∠DFE=∠A=90°；再结合矩形内角为直角的特征，通过同角的余角相等证明△BEF∽△CFD，得到对应边的比例关系；最后设未知数，结合勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
解：设$BF=x$，由题意得$CD=3BF=3x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=3x$，$∠A=∠B=∠C=90°$，$BC=AD$。
由折叠的性质可知：$AD=DF$，$AE=EF$，$∠DFE=∠A=90°$，
∴$∠EFB + ∠DFC = 90°$，
又
∵$∠EFB + ∠BEF = 90°$，
∴$∠BEF=∠CFD$，
∴$△ BEF ∽ △ CFD$，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{BE}{CF}=\frac{EF}{DF}$。
∵$\frac{BF}{CD}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{1}{3}$，$\frac{EF}{DF}=\frac{1}{3}$。
已知$BE=4$，代入得$CF=3BE=12$，$DF=3EF$。
∵$BC=BF+CF=x+12$，$AD=DF=BC$，
∴$DF=x+12$，则$EF=\frac{1}{3}DF=\frac{x+12}{3}$。
在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：$EF^2=BE^2+BF^2$，
即$(\frac{x+12}{3})^2 = 4^2 + x^2$，
整理得$x^2 +24x +144 = 9x^2 +144$，
化简得$8x^2 -24x=0$，解得$x=3$（$x=0$不符合题意，舍去），
∴$AD=x+12=3+12=15$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形、折叠、相似三角形和勾股定理的相关知识，解题核心是通过角度关系找到相似三角形，结合比例关系和勾股定理建立方程求解，是几何部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.65
8.(1)模型探究:如图1，D,E,F分别为$△ ABC$三边$BC,AB,AC$上的点，且$∠ B=∠ C=∠ EDF=α$.$△ BDE$与$△ CFD$相似吗？请说明理由.
(2)模型应用:$△ ABC$为等边三角形，其边长为8，$E$为边$AB$上一点，$F$为射线$AC$上一点，将$△ AEF$沿$EF$翻折，使$A$点落在射线$CB$上的点$D$处，且$BD=2$.
①如图2，当点$D$在线段$BC$上时，求$\frac{AE}{AF}$的值.
②如图3，当点$D$落在线段$CB$的延长线上时，求$\frac{AE}{AF}$的值.
(2)模型应用:$△ ABC$为等边三角形，其边长为8，$E$为边$AB$上一点，$F$为射线$AC$上一点，将$△ AEF$沿$EF$翻折，使$A$点落在射线$CB$上的点$D$处，且$BD=2$.
①如图2，当点$D$在线段$BC$上时，求$\frac{AE}{AF}$的值.
②如图3，当点$D$落在线段$CB$的延长线上时，求$\frac{AE}{AF}$的值.
答案
8.解:(1)$△ BDE∽△ CFD$,理由:
$∠ B=∠ C=∠ EDF=α$,可证$∠ BED=∠ CDF$,
又
∵$∠ B=∠ C$,$\therefore △ BDE∽△ CFD$.
(2)①设$AE=x$,$AF=y$,
同(1)可证$△ BDE∽△ CFD$,$\therefore \frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{FD}$,
∵$BE=AB-AE=8-x$,$CF=AC-AF=8-y$,
$CD=BC-BD=6$,$\therefore \frac{2}{8-y}=\frac{8-x}{6}=\frac{x}{y}$,
$\therefore \begin{cases}2y=x(8-y),\\6x=y(8-x),\end{cases}$$\therefore \frac{x}{y}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$,$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{5}{7}$;
②设$AE=x$,$AF=y$,同(1)可证$△ BDE∽△ CFD$,
$\therefore \frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{FD}$,
∵$BE=AB-AE=8-x$,$CF=AF-AC=y-8$,
$CD=BC+BD=10$,$\therefore \frac{2}{y-8}=\frac{8-x}{10}=\frac{x}{y}$,
$\therefore \begin{cases}2y=x(y-8),\\10x=y(8-x),\end{cases}$$\therefore \frac{x}{y}=\frac{1}{3}$.$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{1}{3}$.
$∠ B=∠ C=∠ EDF=α$,可证$∠ BED=∠ CDF$,
又
∵$∠ B=∠ C$,$\therefore △ BDE∽△ CFD$.
(2)①设$AE=x$,$AF=y$,
同(1)可证$△ BDE∽△ CFD$,$\therefore \frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{FD}$,
∵$BE=AB-AE=8-x$,$CF=AC-AF=8-y$,
$CD=BC-BD=6$,$\therefore \frac{2}{8-y}=\frac{8-x}{6}=\frac{x}{y}$,
$\therefore \begin{cases}2y=x(8-y),\\6x=y(8-x),\end{cases}$$\therefore \frac{x}{y}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$,$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{5}{7}$;
②设$AE=x$,$AF=y$,同(1)可证$△ BDE∽△ CFD$,
$\therefore \frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{FD}$,
∵$BE=AB-AE=8-x$,$CF=AF-AC=y-8$,
$CD=BC+BD=10$,$\therefore \frac{2}{y-8}=\frac{8-x}{10}=\frac{x}{y}$,
$\therefore \begin{cases}2y=x(y-8),\\10x=y(8-x),\end{cases}$$\therefore \frac{x}{y}=\frac{1}{3}$.$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要判断两个三角形是否相似，已知$∠ B=∠ C$，只需再证明一组对应角相等即可。利用平角定义和三角形内角和，由$∠ EDF=∠ B$可推出$∠ BED=∠ CDF$，即可用“两角对应相等，两三角形相似”判定。
(2) ① 折叠前后对应边相等，故$AE=DE$，$AF=DF$。沿用(1)的一线三等角相似模型，证$△ BDE∽△ CFD$，设$AE=x$，$AF=y$，把$BE$、$CF$、$CD$用含$x$、$y$的式子表示，代入相似三角形的对应边成比例，得到关于$x$、$y$的方程组，消去常数项即可求出$\frac{x}{y}$即$\frac{AE}{AF}$的比值。
② 点$D$在$CB$延长线上时，注意线段长度的表示变化：$CD=BC+BD$，$CF=AF-AC$，其余思路同①，代入比例式求解即可。
【解析】
(1) $△ BDE ∽ △ CFD$，理由如下：
在$△ BDE$中，$∠ B + ∠ BED + ∠ BDE = 180°$，
又$\because ∠ EDF + ∠ BDE + ∠ CDF = 180°$，且$∠ B = ∠ EDF = α$，
$\therefore ∠ BED = ∠ CDF$，
又$\because ∠ B = ∠ C = α$，
$\therefore △ BDE ∽ △ CFD$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) ① 设$AE=x$，$AF=y$，
由折叠的性质可得：$DE=AE=x$，$DF=AF=y$，$∠ EDF = ∠ A = 60°$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ B = ∠ C = 60°$，
同(1)可证$△ BDE ∽ △ CFD$，
$\therefore \frac{BD}{CF} = \frac{BE}{CD} = \frac{DE}{FD}$，
由题意得：$BE=AB-AE=8-x$，$CF=AC-AF=8-y$，$CD=BC-BD=8-2=6$，
代入比例式得：$\frac{2}{8-y} = \frac{8-x}{6} = \frac{x}{y}$，
可得方程组：$\begin{cases}2y = x(8-y) \\6x = y(8-x) \end{cases}$，
整理两式消去常数项可得$\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$。
② 设$AE=x$，$AF=y$，
同理，由折叠性质得$DE=x$，$DF=y$，$∠ EDF = ∠ A = 60°$，
可证$△ BDE ∽ △ CFD$，则$\frac{BD}{CF} = \frac{BE}{CD} = \frac{DE}{FD}$，
此时$D$在$CB$延长线上，故$CD=BC+BD=8+2=10$，$CF=AF-AC=y-8$，$BE=8-x$，
代入得：$\frac{2}{y-8} = \frac{8-x}{10} = \frac{x}{y}$，
可得方程组：$\begin{cases}2y = x(y-8) \\10x = y(8-x) \end{cases}$，
整理解得$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $△ BDE ∽ △ CFD$，理由见解析；
(2) ① $\frac{5}{7}$；② $\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 折叠的性质
3. 一线三等角相似模型
【点评】
本题围绕一线三等角相似模型展开，先探究模型结论再进行拓展应用，解题时要注意折叠前后对应边、对应角相等的性质，点落在线段延长线上时需准确表示相关线段的长度，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断两个三角形是否相似，已知$∠ B=∠ C$，只需再证明一组对应角相等即可。利用平角定义和三角形内角和，由$∠ EDF=∠ B$可推出$∠ BED=∠ CDF$，即可用“两角对应相等，两三角形相似”判定。
(2) ① 折叠前后对应边相等，故$AE=DE$，$AF=DF$。沿用(1)的一线三等角相似模型，证$△ BDE∽△ CFD$，设$AE=x$，$AF=y$，把$BE$、$CF$、$CD$用含$x$、$y$的式子表示，代入相似三角形的对应边成比例，得到关于$x$、$y$的方程组，消去常数项即可求出$\frac{x}{y}$即$\frac{AE}{AF}$的比值。
② 点$D$在$CB$延长线上时，注意线段长度的表示变化：$CD=BC+BD$，$CF=AF-AC$，其余思路同①，代入比例式求解即可。
【解析】
(1) $△ BDE ∽ △ CFD$，理由如下：
在$△ BDE$中，$∠ B + ∠ BED + ∠ BDE = 180°$，
又$\because ∠ EDF + ∠ BDE + ∠ CDF = 180°$，且$∠ B = ∠ EDF = α$，
$\therefore ∠ BED = ∠ CDF$，
又$\because ∠ B = ∠ C = α$，
$\therefore △ BDE ∽ △ CFD$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) ① 设$AE=x$，$AF=y$，
由折叠的性质可得：$DE=AE=x$，$DF=AF=y$，$∠ EDF = ∠ A = 60°$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ B = ∠ C = 60°$，
同(1)可证$△ BDE ∽ △ CFD$，
$\therefore \frac{BD}{CF} = \frac{BE}{CD} = \frac{DE}{FD}$，
由题意得：$BE=AB-AE=8-x$，$CF=AC-AF=8-y$，$CD=BC-BD=8-2=6$，
代入比例式得：$\frac{2}{8-y} = \frac{8-x}{6} = \frac{x}{y}$，
可得方程组：$\begin{cases}2y = x(8-y) \\6x = y(8-x) \end{cases}$，
整理两式消去常数项可得$\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$。
② 设$AE=x$，$AF=y$，
同理，由折叠性质得$DE=x$，$DF=y$，$∠ EDF = ∠ A = 60°$，
可证$△ BDE ∽ △ CFD$，则$\frac{BD}{CF} = \frac{BE}{CD} = \frac{DE}{FD}$，
此时$D$在$CB$延长线上，故$CD=BC+BD=8+2=10$，$CF=AF-AC=y-8$，$BE=8-x$，
代入得：$\frac{2}{y-8} = \frac{8-x}{10} = \frac{x}{y}$，
可得方程组：$\begin{cases}2y = x(y-8) \\10x = y(8-x) \end{cases}$，
整理解得$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $△ BDE ∽ △ CFD$，理由见解析；
(2) ① $\frac{5}{7}$；② $\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 折叠的性质
3. 一线三等角相似模型
【点评】
本题围绕一线三等角相似模型展开，先探究模型结论再进行拓展应用，解题时要注意折叠前后对应边、对应角相等的性质，点落在线段延长线上时需准确表示相关线段的长度，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
