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1.已知$△ FHB ∽ △ EAD$，它们的周长分别为30和15，且$FH=6$，则$EA$的长为（
A.3
B.2
C.4
D.5
A
）A.3
B.2
C.4
D.5
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，根据相似三角形的性质，明确相似三角形的周长比等于相似比，对应边的比也等于相似比；第二步，先计算两个三角形的周长比，得到相似比；第三步，根据相似三角形的对应关系，找到FH的对应边是EA，结合已知FH的长度，列比例式即可求出EA的长。
【解析】
解：
∵△FHB∽△EAD，且两个三角形的周长分别为30和15
∴相似三角形的周长比等于相似比，即相似比$k=\frac{C_{△FHB}}{C_{△EAD}}=\frac{30}{15}=2$
又
∵相似三角形对应边成比例，FH与EA是对应边
∴$\frac{FH}{EA}=k=2$
已知$FH=6$，代入得$\frac{6}{EA}=2$，解得$EA=3$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长与相似比的关系；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是找准相似三角形的对应边，熟练运用相似三角形周长比等于相似比的性质列式计算，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，根据相似三角形的性质，明确相似三角形的周长比等于相似比，对应边的比也等于相似比；第二步，先计算两个三角形的周长比，得到相似比；第三步，根据相似三角形的对应关系，找到FH的对应边是EA，结合已知FH的长度，列比例式即可求出EA的长。
【解析】
解：
∵△FHB∽△EAD，且两个三角形的周长分别为30和15
∴相似三角形的周长比等于相似比，即相似比$k=\frac{C_{△FHB}}{C_{△EAD}}=\frac{30}{15}=2$
又
∵相似三角形对应边成比例，FH与EA是对应边
∴$\frac{FH}{EA}=k=2$
已知$FH=6$，代入得$\frac{6}{EA}=2$，解得$EA=3$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长与相似比的关系；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是找准相似三角形的对应边，熟练运用相似三角形周长比等于相似比的性质列式计算，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,D,E分别为线段BC,BA的中点.设$△ ABC$的面积为$S_1$,$△ EBD$的面积为$S_2$,则$\frac{S_2}{S_1}=$ (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{7}{8}$
（第2题图）
（第4题图）
（第5题图）
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{7}{8}$
（第2题图）（第4题图）
（第5题图）
答案
2.B
解析
【分析】
解题时可从已知的中点条件切入，有两种常见思路：1. 由中点得到线段的比例关系，结合公共角判定两个三角形相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算比值；2. 利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分的性质，逐步推导两个三角形的面积倍分关系，两种思路均能快速得到结果。
【解析】
解法1（利用相似三角形性质）：
∵E、D分别为BA、BC的中点，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
又
∵∠B是△EBD和△ABC的公共角，
∴△EBD∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），相似比$k=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_2}{S_1}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
解法2（利用中线分面积的性质）：
连接AD，
∵D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_1$，
又
∵E是AB的中点，即ED是△ABD的中线，
∴$S_2=S_{△ EBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_1=\frac{1}{4}S_1$，
∴$\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、三角形中线的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形面积比计算的基础题型，解题方法灵活，核心是抓住中点带来的线段或面积倍分关系，既可以通过相似三角形的性质直接求解，也可以通过中线平分三角形面积的关系逐步推导，容易上手。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知的中点条件切入，有两种常见思路：1. 由中点得到线段的比例关系，结合公共角判定两个三角形相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算比值；2. 利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分的性质，逐步推导两个三角形的面积倍分关系，两种思路均能快速得到结果。
【解析】
解法1（利用相似三角形性质）：
∵E、D分别为BA、BC的中点，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
又
∵∠B是△EBD和△ABC的公共角，
∴△EBD∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），相似比$k=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_2}{S_1}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
解法2（利用中线分面积的性质）：
连接AD，
∵D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_1$，
又
∵E是AB的中点，即ED是△ABD的中线，
∴$S_2=S_{△ EBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_1=\frac{1}{4}S_1$，
∴$\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、三角形中线的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形面积比计算的基础题型，解题方法灵活，核心是抓住中点带来的线段或面积倍分关系，既可以通过相似三角形的性质直接求解，也可以通过中线平分三角形面积的关系逐步推导，容易上手。
【难度系数】
0.8
3.已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,与其相似的另一个三角形的周长为36,则它的最长边的长为 （
A.8
B.12
C.16
D.20
C
）A.8
B.12
C.16
D.20
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，可按如下思路推导：首先先计算已知三角形的周长和最长边，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出两个三角形的相似比，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，就能求出待求三角形的最长边长度。
【解析】
第一步：计算原三角形的周长
原三角形三边长为2、3、4，周长为 $2+3+4=9$
第二步：求两个相似三角形的相似比
已知待求相似三角形的周长为36，根据相似三角形周长比等于相似比，可得相似比（原三角形:待求三角形）为 $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
第三步：计算待求三角形的最长边
原三角形的最长边为4，设待求三角形的最长边为$x$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{4}{x}=\frac{1}{4}$
解得 $x=4×4=16$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形周长性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确求出两个相似三角形的相似比，再结合对应边的比例关系计算即可，掌握相似三角形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可按如下思路推导：首先先计算已知三角形的周长和最长边，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出两个三角形的相似比，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，就能求出待求三角形的最长边长度。
【解析】
第一步：计算原三角形的周长
原三角形三边长为2、3、4，周长为 $2+3+4=9$
第二步：求两个相似三角形的相似比
已知待求相似三角形的周长为36，根据相似三角形周长比等于相似比，可得相似比（原三角形:待求三角形）为 $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
第三步：计算待求三角形的最长边
原三角形的最长边为4，设待求三角形的最长边为$x$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{4}{x}=\frac{1}{4}$
解得 $x=4×4=16$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形周长性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确求出两个相似三角形的相似比，再结合对应边的比例关系计算即可，掌握相似三角形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,D是AB边上的点,$∠ B=∠ ACD$,$AC:AB=1:2$,则$△ ADC$与$△ ACB$的周长比是（
A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$
B
）A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$
答案
4.B
解析
【分析】
首先观察题目给出的角的关系：已知∠ B=∠ ACD，且△ ADC和△ ACB有公共角∠ A，根据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可先证明两个三角形相似。再回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合已知的AC与AB的比值，即可求出两个三角形的周长比。【解析】在△ ADC和△ ACB中：$\begin{cases}$
$∠ A = ∠ A \quad (\mathrm{公共角相等}) \$
$∠ ACD = ∠ B \quad (\mathrm{已知})$
$\end{cases}\therefore △ ADC ∽ △ ACB（$两角分别相等的两个三角形相似$）\because $相似三角形的周长比等于相似比，且已知AC:AB=1:2，即△ ADC与△ ACB的相似比为$1:2\therefore △ ADC$与△ ACB的周长比为1:2
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的核心是先利用角的等量关系证明三角形相似，再结合相似三角形周长比与相似比的关系求解，解题时要注意准确找到两个三角形的对应边，确定相似比。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的角的关系：已知∠ B=∠ ACD，且△ ADC和△ ACB有公共角∠ A，根据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可先证明两个三角形相似。再回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合已知的AC与AB的比值，即可求出两个三角形的周长比。【解析】在△ ADC和△ ACB中：$\begin{cases}$
$∠ A = ∠ A \quad (\mathrm{公共角相等}) \$
$∠ ACD = ∠ B \quad (\mathrm{已知})$
$\end{cases}\therefore △ ADC ∽ △ ACB（$两角分别相等的两个三角形相似$）\because $相似三角形的周长比等于相似比，且已知AC:AB=1:2，即△ ADC与△ ACB的相似比为$1:2\therefore △ ADC$与△ ACB的周长比为1:2
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的核心是先利用角的等量关系证明三角形相似，再结合相似三角形周长比与相似比的关系求解，解题时要注意准确找到两个三角形的对应边，确定相似比。
【难度系数】
0.8
5.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是边$AC$，$AB$的中点，$BD$与$CE$交于点$O$，连结$DE$。下列结论：①$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OC}$；②$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$；③$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ BOC}}=\frac{1}{2}$；④$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DBE}}=\frac{1}{3}$。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.B
解析
【分析】
首先根据D、E分别是AC、AB的中点，可判断DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE与BC的位置和数量关系，进而推出△DOE与△BOC相似，得到相似比，再结合相似三角形的性质、同高三角形面积与底的比例关系，逐个验证4个结论是否正确即可。
【解析】
解：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，故结论②正确；
∵$DE// BC$，
∴$∠ ODE=∠ OBC$，$∠ OED=∠ OCB$，
∴$△ DOE ∽ △ BOC$，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{OE}{OC}=\frac{OD}{OB}$，而非$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OC}$，故结论①错误；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ BOC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故结论③错误；
对于$△ DOE$和$△ BOE$，两个三角形同高（从点E向BD作垂线，高相等），面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ BOE}}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，
设$S_{△ DOE}=x$，则$S_{△ BOE}=2x$，
∴$S_{△ DBE}=S_{△ DOE}+S_{△ BOE}=3x$，
∴$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DBE}}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，故结论④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题的关键是先利用中位线性质得到相似三角形，再结合相似三角形的性质和面积比例关系逐一判断结论，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
首先根据D、E分别是AC、AB的中点，可判断DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE与BC的位置和数量关系，进而推出△DOE与△BOC相似，得到相似比，再结合相似三角形的性质、同高三角形面积与底的比例关系，逐个验证4个结论是否正确即可。
【解析】
解：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，故结论②正确；
∵$DE// BC$，
∴$∠ ODE=∠ OBC$，$∠ OED=∠ OCB$，
∴$△ DOE ∽ △ BOC$，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{OE}{OC}=\frac{OD}{OB}$，而非$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OC}$，故结论①错误；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ BOC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故结论③错误；
对于$△ DOE$和$△ BOE$，两个三角形同高（从点E向BD作垂线，高相等），面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ BOE}}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，
设$S_{△ DOE}=x$，则$S_{△ BOE}=2x$，
∴$S_{△ DBE}=S_{△ DOE}+S_{△ BOE}=3x$，
∴$\frac{S_{△ DOE}}{S_{△ DBE}}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，故结论④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题的关键是先利用中位线性质得到相似三角形，再结合相似三角形的性质和面积比例关系逐一判断结论，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
6.如图所示，线段AB，CD相交于点E，AD//BC.若AE：EB＝1：2，$S_{△ ADE}＝1$，求$△ AEC$的面积.
答案
6.解:
∵AD//BC,
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AEC}}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$,
∵$S_{△ ADE}=1$,
∴$S_{△ AEC}=2$.
∵AD//BC,
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AEC}}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$,
∵$S_{△ ADE}=1$,
∴$S_{△ AEC}=2$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件AD//BC，结合AB、CD相交于E的结构，可联想到平行线分线段成比例定理，得到DE与EC的比值等于AE与EB的比值；接下来观察△ADE和△AEC，两个三角形有共同的顶点A，底边DE、EC在同一条线段DC上，说明二者高相等，根据同高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知△ADE的面积，即可求出△AEC的面积。
【解析】
∵AD//BC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$，
∵△ADE和△AEC同高，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AEC}}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$，
又
∵$S_{△ ADE}＝1$，
∴$S_{△ AEC}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行线分线段成比例，同高三角形面积性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将线段的比例关系转化为三角形的面积比，解题时要注意观察图形中三角形的公共高，灵活运用面积和底高的对应关系求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件AD//BC，结合AB、CD相交于E的结构，可联想到平行线分线段成比例定理，得到DE与EC的比值等于AE与EB的比值；接下来观察△ADE和△AEC，两个三角形有共同的顶点A，底边DE、EC在同一条线段DC上，说明二者高相等，根据同高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知△ADE的面积，即可求出△AEC的面积。
【解析】
∵AD//BC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$，
∵△ADE和△AEC同高，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AEC}}=\frac{DE}{EC}=\frac{1}{2}$，
又
∵$S_{△ ADE}＝1$，
∴$S_{△ AEC}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行线分线段成比例，同高三角形面积性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将线段的比例关系转化为三角形的面积比，解题时要注意观察图形中三角形的公共高，灵活运用面积和底高的对应关系求解。
【难度系数】
0.7
