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1.如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$∠ ADE=∠ EFC$，$AD:BD=5:3$，$CF=6$，则$DE$的长为________。
答案
1.10
解析
【分析】
解题时先从已知的平行条件入手：①由$DE//BC$可得$∠ADE=∠B$，结合已知$∠ADE=∠EFC$，可推出$∠B=∠EFC$，进而得到$AB//EF$，判定四边形$BDEF$是平行四边形，得出$DE=BF$的等量关系；②再由$DE//BC$判定$△ ADE ∽ △ ABC$，结合$AD:BD$的比例得到相似比，最后将$BC$转化为$DE+CF$，代入相似比的比例式列方程即可求解$DE$的长度。
【解析】
1. 由$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ ADE=∠ B$。
2. 已知$∠ ADE=∠ EFC$，因此$∠ B=∠ EFC$，根据“同位角相等，两直线平行”可得$AB// EF$。
3. 因为$DE// BC$且$AB// EF$，所以四边形$BDEF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$DE=BF$。
4. 由$DE// BC$，可判定$△ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似）。
5. 已知$AD:BD=5:3$，则$AD:AB=5:(5+3)=5:8$，根据相似三角形的性质，对应边成比例可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}$。
6. 设$DE=x$，则$BF=x$，又$CF=6$，所以$BC=BF+CF=x+6$，代入比例式得：
$\frac{x}{x+6}=\frac{5}{8}$
7. 解方程：$8x=5(x+6)$，展开得$8x=5x+30$，移项化简得$3x=30$，解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，综合了平行线、平行四边形的相关知识，解题核心是通过角的等量关系推导平行关系，再借助相似三角形的比例性质建立方程求解，能较好地考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的平行条件入手：①由$DE//BC$可得$∠ADE=∠B$，结合已知$∠ADE=∠EFC$，可推出$∠B=∠EFC$，进而得到$AB//EF$，判定四边形$BDEF$是平行四边形，得出$DE=BF$的等量关系；②再由$DE//BC$判定$△ ADE ∽ △ ABC$，结合$AD:BD$的比例得到相似比，最后将$BC$转化为$DE+CF$，代入相似比的比例式列方程即可求解$DE$的长度。
【解析】
1. 由$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ ADE=∠ B$。
2. 已知$∠ ADE=∠ EFC$，因此$∠ B=∠ EFC$，根据“同位角相等，两直线平行”可得$AB// EF$。
3. 因为$DE// BC$且$AB// EF$，所以四边形$BDEF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$DE=BF$。
4. 由$DE// BC$，可判定$△ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似）。
5. 已知$AD:BD=5:3$，则$AD:AB=5:(5+3)=5:8$，根据相似三角形的性质，对应边成比例可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}$。
6. 设$DE=x$，则$BF=x$，又$CF=6$，所以$BC=BF+CF=x+6$，代入比例式得：
$\frac{x}{x+6}=\frac{5}{8}$
7. 解方程：$8x=5(x+6)$，展开得$8x=5x+30$，移项化简得$3x=30$，解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，综合了平行线、平行四边形的相关知识，解题核心是通过角的等量关系推导平行关系，再借助相似三角形的比例性质建立方程求解，能较好地考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2.如图,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,BD,CE交于点O,求证:△ACB∽△AED.
答案
2.证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴$∠ BEC=∠ BDC$,
∵$∠ BOE=∠ COD$,
∴$∠ ABD=∠ ACE$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABD∽△ ACE$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABC∽△ ADE$.
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴$∠ BEC=∠ BDC$,
∵$∠ BOE=∠ COD$,
∴$∠ ABD=∠ ACE$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABD∽△ ACE$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABC∽△ ADE$.
解析
【分析】
要证明△ACB∽△AED，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹∠A的两组对应边成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$即可。我们可以先通过已知的高条件推导第一组相似三角形：BD、CE分别是AC、AB边上的高，可得∠ADB=∠AEC=90°，结合角的等量关系可证明△ABD∽△ACE，从而得到边的比例关系，将比例式变形后结合公共角∠A，即可证明目标三角形相似。
【解析】
证明：
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BOE=∠COD（对顶角相等），
∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），
又
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
又
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴$∠ BEC=∠ BDC$,
∵$∠ BOE=∠ COD$,
∴$∠ ABD=∠ ACE$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABD∽△ ACE$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABC∽△ ADE$.
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，解题核心是找到中间相似三角形作为推导边比例的桥梁，利用高带来的等角关系先证第一组相似，再对比例式合理变形，结合公共角即可完成证明，解题时要注意对应边的匹配，避免比例变形出错。
【难度系数】
0.6
要证明△ACB∽△AED，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹∠A的两组对应边成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$即可。我们可以先通过已知的高条件推导第一组相似三角形：BD、CE分别是AC、AB边上的高，可得∠ADB=∠AEC=90°，结合角的等量关系可证明△ABD∽△ACE，从而得到边的比例关系，将比例式变形后结合公共角∠A，即可证明目标三角形相似。
【解析】
证明：
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BOE=∠COD（对顶角相等），
∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），
又
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
又
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴$∠ BEC=∠ BDC$,
∵$∠ BOE=∠ COD$,
∴$∠ ABD=∠ ACE$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABD∽△ ACE$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∵$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABC∽△ ADE$.
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，解题核心是找到中间相似三角形作为推导边比例的桥梁，利用高带来的等角关系先证第一组相似，再对比例式合理变形，结合公共角即可完成证明，解题时要注意对应边的匹配，避免比例变形出错。
【难度系数】
0.6
3.在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上，且QO=OC，连结CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P的坐标为
$(2,4-2\sqrt{2})$
.答案
3.$(2,4-2\sqrt{2})$
解析
【分析】
首先根据正方形的性质明确各顶点坐标：O(0,0)、C(0,2)、B(2,2)，且对角线OB为第一象限角平分线，其上所有点横纵坐标相等，可设Q点坐标为(t,t)。再结合QO=OC=2的条件，用勾股定理列方程求出t的值，得到Q点坐标。随后用待定系数法求出直线CQ的函数解析式，最后因为点P在AB边上，AB边对应x=2，将x=2代入直线CQ的解析式即可求出P点的纵坐标，得到P点坐标。
【解析】
解：
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OC=2，C(0,2)，B(2,2)，直线OB为第一象限角平分线，解析式为y=x。
设点Q坐标为(t,t)，
∵QO=OC=2，
由勾股定理得：$\sqrt{t^2 + t^2}=2$，即$\sqrt{2}t=2$，解得$t=\sqrt{2}$，
∴Q点坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
设直线CQ的解析式为y=kx+b，将C(0,2)、$Q(\sqrt{2},\sqrt{2})$代入：
代入C(0,2)得b=2，
代入$Q(\sqrt{2},\sqrt{2})$得：$\sqrt{2}=k\sqrt{2}+2$，
解得$k=1-\sqrt{2}$，
∴直线CQ的解析式为$y=(1-\sqrt{2})x + 2$。
∵点P在AB边上，AB边所有点横坐标为2，将x=2代入解析式：
$y=(1-\sqrt{2})×2 + 2=2-2\sqrt{2}+2=4-2\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为$(2,4-2\sqrt{2})$。
【答案】
$(2,4-2\sqrt{2})$
【知识点】
正方形的性质，一次函数解析式求解，勾股定理
【点评】
本题是坐标与几何的综合题，解题核心是用坐标法将几何条件转化为代数计算，先求特殊点Q的坐标，再求直线解析式得到交点坐标，考查了学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质明确各顶点坐标：O(0,0)、C(0,2)、B(2,2)，且对角线OB为第一象限角平分线，其上所有点横纵坐标相等，可设Q点坐标为(t,t)。再结合QO=OC=2的条件，用勾股定理列方程求出t的值，得到Q点坐标。随后用待定系数法求出直线CQ的函数解析式，最后因为点P在AB边上，AB边对应x=2，将x=2代入直线CQ的解析式即可求出P点的纵坐标，得到P点坐标。
【解析】
解：
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OC=2，C(0,2)，B(2,2)，直线OB为第一象限角平分线，解析式为y=x。
设点Q坐标为(t,t)，
∵QO=OC=2，
由勾股定理得：$\sqrt{t^2 + t^2}=2$，即$\sqrt{2}t=2$，解得$t=\sqrt{2}$，
∴Q点坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
设直线CQ的解析式为y=kx+b，将C(0,2)、$Q(\sqrt{2},\sqrt{2})$代入：
代入C(0,2)得b=2，
代入$Q(\sqrt{2},\sqrt{2})$得：$\sqrt{2}=k\sqrt{2}+2$，
解得$k=1-\sqrt{2}$，
∴直线CQ的解析式为$y=(1-\sqrt{2})x + 2$。
∵点P在AB边上，AB边所有点横坐标为2，将x=2代入解析式：
$y=(1-\sqrt{2})×2 + 2=2-2\sqrt{2}+2=4-2\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为$(2,4-2\sqrt{2})$。
【答案】
$(2,4-2\sqrt{2})$
【知识点】
正方形的性质，一次函数解析式求解，勾股定理
【点评】
本题是坐标与几何的综合题，解题核心是用坐标法将几何条件转化为代数计算，先求特殊点Q的坐标，再求直线解析式得到交点坐标，考查了学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平行四边形ABCD中,N为BA延长线上一点,CN分别交BD,AD于点E,F.
(1)请找出一对相似的三角形并证明.
(2)已知$BE=2ED$,若$CN=kEF$,求$k$的值.
(1)请找出一对相似的三角形并证明.
(2)已知$BE=2ED$,若$CN=kEF$,求$k$的值.
答案
4.解:(1)答案不唯一,
比如$△ DEF∽△ BEC$,证明如下:
∵平行四边形ABCD,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ FDE=∠ EBC$,
$∠ DFE=∠ BCE$,$\therefore △ DEF∽△ BEC$.
(2)易证$△ DEF∽△ BEC$,$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{FE}{CE}$,
∵$BE=2ED$,$\therefore CE=2FE$,设$FE=m$,则$CE=2m$,
又易证$△ DCE∽△ BNE$,$\therefore \frac{CE}{NE}=\frac{DE}{BE}$,
∵$BE=2DE$,$\therefore NE=2CE$,$\therefore NE=4m$,$\therefore CN=6m$,
$\therefore CN=6EF$,即$k=6$.
比如$△ DEF∽△ BEC$,证明如下:
∵平行四边形ABCD,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ FDE=∠ EBC$,
$∠ DFE=∠ BCE$,$\therefore △ DEF∽△ BEC$.
(2)易证$△ DEF∽△ BEC$,$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{FE}{CE}$,
∵$BE=2ED$,$\therefore CE=2FE$,设$FE=m$,则$CE=2m$,
又易证$△ DCE∽△ BNE$,$\therefore \frac{CE}{NE}=\frac{DE}{BE}$,
∵$BE=2DE$,$\therefore NE=2CE$,$\therefore NE=4m$,$\therefore CN=6m$,
$\therefore CN=6EF$,即$k=6$.
解析
【分析】
（1）第一问可结合平行四边形对边平行的性质，得到两组内错角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可找出相似三角形，比如AD平行BC时可证△DEF和△BEC相似；
（2）第二问先借助第一问的相似三角形，得到对应边成比例，结合BE=2ED求出CE和EF的数量关系，再根据AB平行CD找到第二组相似三角形△DCE和△BNE，再次利用相似的性质求出NE和CE的关系，最后将CN拆分为NE+CE，用EF表示CN即可求出k的值，计算时可设参数简化运算。
【解析】
(1) 答案不唯一，示例：$△ DEF∽△ BEC$，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠FDE=∠EBC$，$∠DFE=∠BCE$，
∴$△ DEF∽△ BEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 由(1)可知$△ DEF∽△ BEC$，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{FE}{CE}$，
∵$BE=2ED$，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{FE}{CE}=\frac{1}{2}$，
∴$CE=2FE$，设$FE=m$，则$CE=2m$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，即$BN// CD$，
∴$∠DCE=∠N$，$∠CDE=∠NBE$，
∴$△ DCE∽△ BNE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{NE}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴$NE=2CE=4m$，
∴$CN=NE+CE=4m+2m=6m$，
∵$EF=m$，
∴$CN=6EF$，即$k=6$。
【答案】
(1) 示例：$△ DEF∽△ BEC$，证明见解析（答案不唯一）；
(2) $k=6$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型基础题，核心是利用平行四边形的对边平行构造相似三角形的平行型模型，解题时需要熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，通过比例线段建立不同线段之间的数量关系，合理设参数可以简化计算，降低比例运算的出错率。
【难度系数】
0.6
（1）第一问可结合平行四边形对边平行的性质，得到两组内错角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可找出相似三角形，比如AD平行BC时可证△DEF和△BEC相似；
（2）第二问先借助第一问的相似三角形，得到对应边成比例，结合BE=2ED求出CE和EF的数量关系，再根据AB平行CD找到第二组相似三角形△DCE和△BNE，再次利用相似的性质求出NE和CE的关系，最后将CN拆分为NE+CE，用EF表示CN即可求出k的值，计算时可设参数简化运算。
【解析】
(1) 答案不唯一，示例：$△ DEF∽△ BEC$，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠FDE=∠EBC$，$∠DFE=∠BCE$，
∴$△ DEF∽△ BEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 由(1)可知$△ DEF∽△ BEC$，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{FE}{CE}$，
∵$BE=2ED$，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{FE}{CE}=\frac{1}{2}$，
∴$CE=2FE$，设$FE=m$，则$CE=2m$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，即$BN// CD$，
∴$∠DCE=∠N$，$∠CDE=∠NBE$，
∴$△ DCE∽△ BNE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{NE}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴$NE=2CE=4m$，
∴$CN=NE+CE=4m+2m=6m$，
∵$EF=m$，
∴$CN=6EF$，即$k=6$。
【答案】
(1) 示例：$△ DEF∽△ BEC$，证明见解析（答案不唯一）；
(2) $k=6$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型基础题，核心是利用平行四边形的对边平行构造相似三角形的平行型模型，解题时需要熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，通过比例线段建立不同线段之间的数量关系，合理设参数可以简化计算，降低比例运算的出错率。
【难度系数】
0.6
