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例1 A，B两地相距135 km，一辆自行车和一辆汽车从A地出发前往B地，自行车比汽车早出发5 h，汽车比自行车晚到30 min，已知汽车与自行车的速度之比为5：2，求两车的速度。
解：若设汽车的速度为5x km/h，则自行车的速度可表示为
解：若设汽车的速度为5x km/h，则自行车的速度可表示为
2x
km/h，汽车行驶的时间可表示为$\frac{135}{5x}$
h，自行车行驶的时间可表示为$\frac{135}{2x}$
h。根据“自行车比汽车早出发5 h，汽车比自行车晚到30 min”得到等量关系：自行车的行驶时间－5 h $+\frac{1}{2}$
＝汽车的行驶时间。可列方程：$\frac{135}{2x} -5 +\frac{1}{2} =\frac{135}{5x}$
，解得$x=9$
。经检验，$x=9$是所列方程的根
。答：自行车的速度为18
km/h，汽车的速度为45
km/h。答案
2x；$\frac{135}{5x}$；$\frac{135}{2x}$；$+\frac{1}{2}$；$\frac{135}{2x} -5 +\frac{1}{2} =\frac{135}{5x}$；$x=9$；$x=9$是所列方程的根；18；45
解析
【分析】这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：1. 根据两车速度比设未知数，已知汽车与自行车速度比为5:2，若设汽车速度为5x km/h，则自行车速度为2x km/h；2. 利用“时间=路程÷速度”，分别表示出两车行驶全程的时间：汽车行驶时间为$\frac{135}{5x}$ h，自行车行驶时间为$\frac{135}{2x}$ h；3. 分析时间关系：自行车比汽车早出发5h，汽车比自行车晚到30min（即$\frac{1}{2}$h），因此自行车行驶时间减去早出发的5h，再加上晚到的$\frac{1}{2}$h，等于汽车行驶时间；4. 根据等量关系列分式方程，求解并检验，最后计算两车的实际速度。
【解析】设汽车的速度为5x km/h，由速度比得自行车速度为2x km/h；根据时间公式，汽车行驶时间为$\frac{135}{5x}$ h，自行车行驶时间为$\frac{135}{2x}$ h；将30min转化为$\frac{1}{2}$h，根据时间等量关系“自行车行驶时间－5 h +$\frac{1}{2}$h＝汽车行驶时间”，列方程：$\frac{135}{2x} -5 +\frac{1}{2} =\frac{135}{5x}$；解方程得x=9；经检验，x=9是所列方程的根；因此自行车速度为2×9=18 km/h，汽车速度为5×9=45 km/h。
【答案】2x；$\frac{135}{5x}$；$\frac{135}{2x}$；$+\frac{1}{2}$；$\frac{135}{2x} -5 +\frac{1}{2} =\frac{135}{5x}$；$x=9$；$x=9$是所列方程的根；18；45
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，核心是理清两车行驶时间的关系，需注意时间单位的统一（将分钟转化为小时），设未知数时利用速度比简化计算，解题后要检验分式方程的根是否符合实际意义，属于常规中等难度的应用题。
【难度系数】0.5
【解析】设汽车的速度为5x km/h，由速度比得自行车速度为2x km/h；根据时间公式，汽车行驶时间为$\frac{135}{5x}$ h，自行车行驶时间为$\frac{135}{2x}$ h；将30min转化为$\frac{1}{2}$h，根据时间等量关系“自行车行驶时间－5 h +$\frac{1}{2}$h＝汽车行驶时间”，列方程：$\frac{135}{2x} -5 +\frac{1}{2} =\frac{135}{5x}$；解方程得x=9；经检验，x=9是所列方程的根；因此自行车速度为2×9=18 km/h，汽车速度为5×9=45 km/h。
【答案】2x；$\frac{135}{5x}$；$\frac{135}{2x}$；$+\frac{1}{2}$；$\frac{135}{2x} -5 +\frac{1}{2} =\frac{135}{5x}$；$x=9$；$x=9$是所列方程的根；18；45
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，核心是理清两车行驶时间的关系，需注意时间单位的统一（将分钟转化为小时），设未知数时利用速度比简化计算，解题后要检验分式方程的根是否符合实际意义，属于常规中等难度的应用题。
【难度系数】0.5
甲、乙两地相距 48 km，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时 9 h。已知水流的速度为 4 km/h。若设该轮船在静水中的速度为 x km/h，则根据题意列出的方程为
$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=9$
。答案
$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=9$
解析
【分析】首先明确顺流、逆流时轮船的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；再根据“时间=路程÷速度”，分别计算顺流航行时间和逆流航行时间；最后结合总用时9小时，即顺流时间与逆流时间之和为9，列出方程。
【解析】设轮船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为4 km/h，则顺流速度为$(x+4)$ km/h，逆流速度为$(x-4)$ km/h。甲、乙两地相距48 km，因此顺流航行时间为$\frac{48}{x+4}$ h，逆流航行时间为$\frac{48}{x-4}$ h。已知往返共用时9 h，据此可列方程：$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=9$。
【答案】$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=9$
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题考查行程问题中顺流逆流的时间计算，核心是掌握顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，利用总时间建立方程，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设轮船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为4 km/h，则顺流速度为$(x+4)$ km/h，逆流速度为$(x-4)$ km/h。甲、乙两地相距48 km，因此顺流航行时间为$\frac{48}{x+4}$ h，逆流航行时间为$\frac{48}{x-4}$ h。已知往返共用时9 h，据此可列方程：$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=9$。
【答案】$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=9$
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题考查行程问题中顺流逆流的时间计算，核心是掌握顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，利用总时间建立方程，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
例2 某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造。已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积比乙工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积少用3 h，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
解：设乙工程队每小时能完成 $ x \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积，则甲工程队每小时能完成
根据题意列方程，得
解得
经检验，
答：乙工程队每小时能完成
解：设乙工程队每小时能完成 $ x \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积，则甲工程队每小时能完成
2x
$ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积，则甲工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积所需的时间为 $\frac{300}{2x}$
h，乙工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积所需的时间为 $\frac{300}{x}$
h。根据题意列方程，得
$\frac{300}{x}-\frac{300}{2x}=3$
，解得
$x=50$
。经检验，
$x=50$是所列方程的根
。答：乙工程队每小时能完成
50
$ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积。答案
2x；$\frac{300}{2x}$；$\frac{300}{x}$；$\frac{300}{x}-\frac{300}{2x}=3$；$x=50$；$x=50$是所列方程的根；50
解析
【分析】
本题是分式方程在工程问题中的应用，解题时先设乙工程队每小时完成的绿化面积为未知数，根据甲、乙效率的倍数关系表示出甲的效率；再利用“时间=工作量÷工作效率”，分别表示出两队完成300㎡绿化所需的时间；最后根据“甲完成300㎡比乙少用3h”这一等量关系列出分式方程，求解并检验根的合理性，即可得出答案。
【解析】
设乙工程队每小时能完成 $ x \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积，则甲工程队每小时能完成 $ 2x \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积；
甲工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积所需的时间为 $ \frac{300}{2x} \ \mathrm{h} $，乙工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积所需的时间为 $ \frac{300}{x} \ \mathrm{h} $；
根据题意列方程，得 $ \frac{300}{x} - \frac{300}{2x} = 3 $；
解方程：左边通分后为 $ \frac{600 - 300}{2x} = \frac{300}{2x} = \frac{150}{x} $，则 $ \frac{150}{x} = 3 $，解得 $ x = 50 $；
经检验，$ x = 50 $ 是所列方程的根，且符合实际意义；
答：乙工程队每小时能完成 $ 50 \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积。
【答案】
2x；$\frac{300}{2x}$；$\frac{300}{x}$；$\frac{300}{x}-\frac{300}{2x}=3$；$x=50$；$x=50$是所列方程的根；50
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，核心是找准等量关系，正确列出分式方程，需注意解分式方程后必须检验根的合理性，确保符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程在工程问题中的应用，解题时先设乙工程队每小时完成的绿化面积为未知数，根据甲、乙效率的倍数关系表示出甲的效率；再利用“时间=工作量÷工作效率”，分别表示出两队完成300㎡绿化所需的时间；最后根据“甲完成300㎡比乙少用3h”这一等量关系列出分式方程，求解并检验根的合理性，即可得出答案。
【解析】
设乙工程队每小时能完成 $ x \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积，则甲工程队每小时能完成 $ 2x \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积；
甲工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积所需的时间为 $ \frac{300}{2x} \ \mathrm{h} $，乙工程队完成300 $ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积所需的时间为 $ \frac{300}{x} \ \mathrm{h} $；
根据题意列方程，得 $ \frac{300}{x} - \frac{300}{2x} = 3 $；
解方程：左边通分后为 $ \frac{600 - 300}{2x} = \frac{300}{2x} = \frac{150}{x} $，则 $ \frac{150}{x} = 3 $，解得 $ x = 50 $；
经检验，$ x = 50 $ 是所列方程的根，且符合实际意义；
答：乙工程队每小时能完成 $ 50 \ \mathrm{m}^2 $ 的绿化面积。
【答案】
2x；$\frac{300}{2x}$；$\frac{300}{x}$；$\frac{300}{x}-\frac{300}{2x}=3$；$x=50$；$x=50$是所列方程的根；50
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，核心是找准等量关系，正确列出分式方程，需注意解分式方程后必须检验根的合理性，确保符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.6
某公司承接了一条长 420 km 的高速公路施工任务，已知该高速公路施工中有 255 km 是平地施工，其余均为桥梁施工和隧道施工，且桥梁施工里程比隧道施工里程的 3 倍少 15 km。
(1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？
(2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间多 20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多 1 km，求该公司完成隧道施工的时间。
(1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？
(2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间多 20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多 1 km，求该公司完成隧道施工的时间。
答案
(1) 桥梁施工的里程是 120 km，隧道施工的里程是 45 km。
(2) 该公司完成隧道施工的时间是 55 天。
(2) 该公司完成隧道施工的时间是 55 天。
解析
【分析】
第(1)问：先算出桥梁与隧道施工的总里程，再根据两者的数量关系设未知数，通过一元一次方程求解；第(2)问：利用工程问题中“时间=工作量÷工作效率”的关系，结合两施工段的时间差和效率差，设隧道施工时间为未知数，列方程求解。
【解析】
(1) 首先计算桥梁与隧道施工的总里程：$420 - 255 = 165\ \mathrm{km}$。设隧道施工的里程为$x\ \mathrm{km}$，则桥梁施工的里程为$(3x - 15)\ \mathrm{km}$，根据两者总里程列方程：
$x + (3x - 15) = 165$
解得：$4x = 180$，$x = 45$。
则桥梁施工里程为：$3×45 - 15 = 120\ \mathrm{km}$。
(2) 设该公司完成隧道施工的时间为$t$天，则完成桥梁施工的时间为$(1 + 20\%)t = 1.2t$天。
隧道施工每天完成的里程为$\frac{45}{t}\ \mathrm{km}$，桥梁施工每天完成的里程为$\frac{120}{1.2t}\ \mathrm{km}$。根据“每天完成的桥梁施工里程比隧道施工多1km”列方程：
$\frac{120}{1.2t} - \frac{45}{t} = 1$
化简得：$\frac{100}{t} - \frac{45}{t} = 1$，即$\frac{55}{t} = 1$，解得$t = 55$。
【答案】
(1) 桥梁施工的里程是120 km，隧道施工的里程是45 km；(2) 该公司完成隧道施工的时间是55天。
【知识点】
一元一次方程的应用，分式方程的应用
【点评】
本题为实际应用类题目，第(1)问考查和差倍分问题的一元一次方程应用，难度较低；第(2)问结合工程问题的基本数量关系，需理清时间、工作量与效率的关联，设未知数列方程求解，整体难度适中，能有效考查学生分析问题和运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：先算出桥梁与隧道施工的总里程，再根据两者的数量关系设未知数，通过一元一次方程求解；第(2)问：利用工程问题中“时间=工作量÷工作效率”的关系，结合两施工段的时间差和效率差，设隧道施工时间为未知数，列方程求解。
【解析】
(1) 首先计算桥梁与隧道施工的总里程：$420 - 255 = 165\ \mathrm{km}$。设隧道施工的里程为$x\ \mathrm{km}$，则桥梁施工的里程为$(3x - 15)\ \mathrm{km}$，根据两者总里程列方程：
$x + (3x - 15) = 165$
解得：$4x = 180$，$x = 45$。
则桥梁施工里程为：$3×45 - 15 = 120\ \mathrm{km}$。
(2) 设该公司完成隧道施工的时间为$t$天，则完成桥梁施工的时间为$(1 + 20\%)t = 1.2t$天。
隧道施工每天完成的里程为$\frac{45}{t}\ \mathrm{km}$，桥梁施工每天完成的里程为$\frac{120}{1.2t}\ \mathrm{km}$。根据“每天完成的桥梁施工里程比隧道施工多1km”列方程：
$\frac{120}{1.2t} - \frac{45}{t} = 1$
化简得：$\frac{100}{t} - \frac{45}{t} = 1$，即$\frac{55}{t} = 1$，解得$t = 55$。
【答案】
(1) 桥梁施工的里程是120 km，隧道施工的里程是45 km；(2) 该公司完成隧道施工的时间是55天。
【知识点】
一元一次方程的应用，分式方程的应用
【点评】
本题为实际应用类题目，第(1)问考查和差倍分问题的一元一次方程应用，难度较低；第(2)问结合工程问题的基本数量关系，需理清时间、工作量与效率的关联，设未知数列方程求解，整体难度适中，能有效考查学生分析问题和运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
