8. 如图,在$△ ABC$中,$BA=BC$,以AB为直径的$\odot O$分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与$\odot O$的切线AF交于点F。
(1)求证:$∠ ABC=2∠ CAF$。
(2)若$AC=2\sqrt{10},CE:EB=1:4$,求CE的长。

(1)证明:如图,连结 BD。因为 AB 为$\odot O$的直径,所以$∠ ADB = 90°$,所以$∠ DAB + ∠ ABD = 90°$。因为 AF 是$\odot O$的切线,所以$∠ FAB = 90°$,即$∠ DAB + ∠ CAF = 90°$,所以$∠ CAF = ∠ ABD$。因为$BA = BC$,$∠ ADB = 90°$,所以$∠ ABC=2∠ ABD$,所以$∠ ABC=2∠ CAF$。
(2)如图,连结 AE,所以$∠ AEB = 90°$,设$CE = x$,因为$CE:EB = 1:4$,所以$EB = 4x$,$BA = BC = 5x$,$AE = 3x$,在 Rt$△ ACE$ 中,$AC^2 = CE^2 + AE^2$,即$(2\sqrt{10})^2=x^2+(3x)^2$,所以$x = 2$(负值已舍去),所以$CE=2$。

9. 如图，EF是$\odot O$的直径，正方形ABCD的边AB与$\odot O$相切于点E，CD是$\odot O$的弦，且与EF相交于点G，若$FG=4$，则$DG=$。

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10. 如图，$△ AOB$中，$A(-8,0)$，$B(0,\dfrac{32}{3})$，$AC$平分$∠ OAB$，交$y$轴于点$C$，$P$是$x$轴上一点，$\odot P$经过点$A,C$，与$x$轴交于点$D$，过点$C$作$CE ⊥ AB$，垂足为$E$，$EC$的延长线交$x$轴于点$F$。
(1)求证：$EF$为$\odot P$的切线。
(2)求$\odot P$的半径。

(1)证明:如图,连结 CP,因为$AP = CP$,所以$∠ PAC = ∠ PCA$。因为 AC 平分$∠ OAB$,所以$∠ PAC = ∠ EAC$,所以$∠ EAC = ∠ PCA$,所以$PC// AE$。因为$CE⊥ AB$,所以$CP⊥ EF$,即 EF 是$\odot P$的切线。
(2)由(1)知 $PC// AB$,则$△ OPC∽△ OAB$,所以$\frac{PC}{AB}=\frac{OP}{OA}$,因为$A(-8,0)$,$B(0,\frac{32}{3})$,所以$OA=8$,$OB=\frac{32}{3}$,所以$AB=\frac{40}{3}$,所以$\frac{PC}{\frac{40}{3}}=\frac{8-PC}{8}$,所以$8PC=\frac{320}{3}-\frac{40}{3}PC$,所以$64PC=320$,所以$PC=5$,所以$\odot P$的半径为5。

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，D为BA延长线上一点，过点D作$\odot O$的切线，切点为C，过点B作$BE ⊥ DC$交DC的延长线于点E，连结BC。
(1)求证：BC平分$∠ DBE$。
(2)求证：$BC^2 = AB · BE$。
(3)若$BC=4\sqrt{5}$，$\tan D=\dfrac{3}{4}$，求$\odot O$的半径。

(1)证明:如图,连结 OC,因为 CD 是$\odot O$的切线,所以$OC⊥ DE$。因为$DE⊥ BE$,所以$OC// BE$,所以$∠ EBC = ∠ OCB$。又因为$OB = OC$,所以$∠ OBC = ∠ OCB$,所以$∠ OBC = ∠ EBC$,所以 BC 平分$∠ DBE$。
(2)证明:如图,连结 AC,因为 AB 是直径,所以$∠ ACB=90°$。因为$BE⊥ CD$,所以$∠ BED=90°$,由(1)得$∠ ABC = ∠ CBE$,所以$△ ABC∽△ CBE$,所以$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}$,所以$BC^2 = AB· BE$。
(3)设$\odot O$的半径为 r,因为$\tan D=\frac{3}{4}=\frac{CO}{CD}=\frac{r}{CD}$,所以$CD=\frac{4}{3}r$,所以$DO=\sqrt{CD^2+CO^2}=\frac{5}{3}r$,所以$DB=DO+OB=\frac{8}{3}r$。因为$∠ DCO = 90°$,$∠ BED=90°$,所以$△ DCO∽△ DEB$,所以$\frac{CO}{DO}=\frac{BE}{DB}$,即$\frac{r}{\frac{5}{3}r}=\frac{BE}{\frac{8}{3}r}$,所以$BE=\frac{8}{5}r$。因为$AB· BE=80$,所以$2r×\frac{8}{5}r=80$,所以$r_1=5$,$r_2=-5$(舍去),所以$\odot O$的半径为5。