原题1:如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°。若BC＝2√2，则$\overset{\frown}{BC}$的长为（）

A.π
B.√2π
C.2π
D.2√2π
【解析】与垂径定理、圆心角相关的问题，可以连半径。

A 【解析】如图,连结OB,OC。
因为∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−65°−70°=45°,所以∠BOC=90°,因为BC=2√2,所以OB=OC=2,
所以$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{90· π · 2}{180}=π$,故选A。

条件变式:如图,△ABC内接于⊙O,AD//BC交⊙O于点D,DF//AB交BC于点E,交⊙O于点F,连结AF,CF。
(1)求证:AC=AF。
(2)若⊙O的半径为3,∠CAF=30°,求$\overset{\frown}{ADC}$的长(结果保留π)。

(1)证明:因为AD//BC,DF//AB,所以四边形ADEB为平行四边形,所以∠B=∠D。因为∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,所以∠AFC=∠ACF,所以AC=AF。
(2)连结OC,OA,。由(1)得∠AFC=∠ACF,
因为∠AFC=$\frac{180°−30°}{2}$=75°,所以∠AOC=2∠AFC=150°,所以$\overset{\frown}{ADC}$的长为$\frac{150×π×3}{180}=\frac{5π}{2}$。

原题2:一块圆形宣传标志牌如图所示，，点A,B,C在$\odot O$上，CD垂直平分AB于点D。现测得$AB=8\mathrm{dm}$，$DC=2\mathrm{dm}$，则圆形标志牌的半径为（）

A.6dm
B.5dm
C.4dm
D.3dm
【解析】与垂径定理相关的问题，三要素不能缺，即半径、弦心距、半弦长。

B 【解析】连结OA,OD,,因为点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D。AB=8dm,DC=2dm,所以AD=4dm,设圆形标志牌的半径为r,可得:$r^2=4^2+(r−2)^2$,解得r=5,故选B。

原题3:如图1,AD,CE为$\odot O$中的两条弦,AD⊥CE于点F,连结AO并延长,交$\odot O$于点B,连结BC,DE。

(1)求证:$∠ BCE=∠ DEC$。
(2)如图2,在(1)的条件下,连结BE,若$∠ ABE=∠ BCE,DE=1,EC=2\sqrt{2}$,求BE的长。

(1)证明:如图1,连结AE,BE,,由题可知,AB是⊙O的直径,所以∠AEB=90°,即∠BAE+∠ABE=90°,因为∠ABE=∠D,∠BCE=∠BAE,所以∠BCE+∠D=90°,因为AD⊥CE,所以∠DEC+∠D=90°,所以∠BCE=∠DEC。
(2)如图2,连结AE,AC,,因为∠BCE=∠BAE,∠ABE=∠BCE,所以∠BAE=∠ABE,所以BE=AE,因为∠BAE+∠ABE=90°,所以∠BAE=∠ABE=45°,所以∠DEC=∠BCE=∠BAE=45°,∠ACE=∠ABE=45°,因为AD⊥CE,所以△DFE和△AFC为等腰直角三角形,所以FE=FD,CF=AF,在Rt△DFE中,$FE^2+FD^2=DE^2$,则$2FE^2=1$,解得FE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,因为EC=2√2,所以CF=AF=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,在Rt△AFE中,$AE^2=AF^2+FE^2$,则AE=√5,所以BE=AE=√5。

条件变式:如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,若∠CAD=70°,则∠B的度数为 ()
A. $20°$ B. $25°$ C. $30°$ D. $35°$

问题变式:如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E。
(1)求证:BE=CE。
(2)若∠B=70°,求$\overset{\frown}{DE}$的度数。
(3)若BD=2,BE=3,求AC的长。

条件变式:A
问题变式:(1)证明:连结AE,因为AC为直径,所以∠AEC=90°,所以AE⊥BC。因为AB=AC,所以BE=CE。
(2)连结OD,OE,在Rt△ABE中,∠BAE=90°−∠B=90°−70°=20°,所以∠DOE=2∠DAE=40°,所以$\overset{\frown}{DE}$的度数为40°。
(3)连结CD,BC=2BE=6,设AC=x,则AD=x−2。因为AC为直径,所以∠ADC=90°。在Rt△BCD中,$CD^2=BC^2−BD^2=6^2−2^2=32$。在Rt△ADC中,因为$AD^2+CD^2=AC^2$,所以$(x−2)^2+32=x^2$,解得x=9,即AC的长为9。