原题4:如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=3$，点C在$\odot O$上，$∠ CAB=30°$，D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，P是直径AB上一动点，则$PC+PD$的最小值为。

$\frac{3}{2}\sqrt{2}$ 【解析】作点D关于AB的对称点D',连结OC,OD',PD',CD',AD',,则PD=PD',所以PC+PD=PC+PD'≥CD',当C,P,D'共线时,取得最小值CD',因为点C在⊙O上,∠CAB=30°,D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD'}$,所以∠BAD'=$\frac{1}{2}$∠CAB=15°。所以∠CAD'=45°。所以∠COD'=90°。则△COD'是等腰直角三角形。因为OC=OD'=$\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$,所以CD'=$\sqrt{2}OC=\frac{3}{2}\sqrt{2}$。

问题变式:如图,△ABC内接于$\odot O$,$∠B=2∠C$,将$\overset{\frown}{AC}$沿着边AC对折,与边BC交于点D,连结AD。求证:$AB=CD$。

证明:如图,取点D关于AC的对称点D',连结AD',CD',OA,OC,OD',,则∠ACD'=∠ACD,∠AOC=2∠B,∠AOD'=2∠ACD',因为∠B=2∠ACD,所以∠AOC=2∠AOD',所以∠AOD'=∠COD',所以$\overset{\frown}{AD'}=\overset{\frown}{CD'}$,又由折叠得,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD'}$,$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD'}$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,所以AD=CD,所以∠DAC=∠ACD,所以∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠ACD,所以∠B=∠ADB,所以AB=AD,所以AB=CD。

原题5:如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为AD上一动点,O为BD的中点,AF⊥BE于点F,连结OF,则OF的最小值为。

1 【解析】如图,设AB的中点为G,,因为AF⊥BE,所以点F在以AB为直径的⊙G的一段圆弧上运动,因为AB=4,则⊙G的半径为2。因为O为BD的中点,所以GO=$\frac{1}{2}AD=3$,所以当F在GO上时,OF取得最小值,为OG−GF=3−2=1。

原题6:如图,C,D是以AB为直径的半圆周的三等分点,CD=8 cm。求阴影部分的面积。

【解析】本题中△ACD的面积可转化为△OCD的面积,即阴影部分的面积等于扇形COD的面积,求与圆有关的面积,常见考察扇形、弓形、组合图形等。

连结OC,OD,易得△ACD的面积与△COD的面积相等,则阴影部分的面积即扇形COD的面积。由C,D是半圆周的三等分点,知∠COD=60°。而CD=8cm,则OD=8cm。所以$S_{阴影}=S_{扇形COD}=\frac{60π×8^2}{360}=\frac{32}{3}π(cm^2)$。

问题变式:如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上的一点,OD⊥AC,垂足为点D,延长OD与半圆O交于点E。若AB=16,∠CAB=30°,则图中阴影部分的面积为。

$\frac{32}{3}π−8\sqrt{3}$