22.（本小题满分10分）
如图，$∠ AOC$与$∠ BOC$为补角，$∠ BOC$与$∠ BOD$互为余角，且$∠ BOC=4∠ BOD$.
(1)求$∠ BOC$的度数；
(2)若$OE$平分$∠ AOC$，求$∠ BOE$的度数.

22. (1)设$∠BOD=x°$，则$∠BOC=4x°$. 因为$∠BOC+∠BOD = 90°$，所以$x+4x=90$，所以$x=18$，$∠BOC=72°$. (2)由(1)得$∠AOC=180°−72°=108°$. 因为OE平分$∠AOC$，所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=54°$，$∠BOE = ∠BOC+∠COE=54°+72°=126°$.

【分析】
(1)求解∠BOC的度数：首先根据余角的定义，互余的两个角和为90°，已知∠BOC与∠BOD互余，且∠BOC=4∠BOD，我们可以通过设未知数列方程的方法，先求出∠BOD的度数，再计算∠BOC的度数。
(2)求解∠BOE的度数：首先根据补角的定义，互补的两个角和为180°，结合第一问求出的∠BOC的度数，先算出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义，求出∠COE的度数，最后利用角的和的关系，∠BOE=∠BOC+∠COE，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$∠ BOD=x°$，则由$∠ BOC=4∠ BOD$可得$∠ BOC=4x°$。
因为$∠ BOC$与$∠ BOD$互为余角，互余两角之和为$90°$，因此：
$x + 4x = 90$
解得$x=18$，所以$∠ BOC=4×18°=72°$。
(2) 因为$∠ AOC$与$∠ BOC$为补角，互补两角之和为$180°$，结合(1)的结果可得：
$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 72° = 108°$
又因为$OE$平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义，可得：
$∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 108° = 54°$
观察图形可知$∠ BOE = ∠ COE + ∠ BOC$，代入数值计算：
$∠ BOE = 54° + 72° = 126°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{72°}$；(2) $\boldsymbol{126°}$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握余角、补角、角平分线的相关性质，准确梳理图形中各角的数量关系，通过列方程或角度和差运算即可求解，要注意结合图形判断角的和差关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

23.（本小题满分12分）
用A4纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.5元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.2元. 在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费都是0.4元.
（1）在甲复印店用A4纸复印30页时，需付费多少元？
（2）当用A4纸复印多少页时，甲复印店的收费比乙复印店的收费多1元？

23. (1)$20×0.5+(30−20)×0.2=12$(元). 所以在甲复印店用A4纸复印30页时，需付费12元. (2)设用A4纸复印x页. 当$x≤20$时，甲复印店收费$0.5x$元；乙复印店收费$0.4x$元. 依题意得$0.5x−0.4x=1$，解得$x=10$. 当$x＞20$时，甲复印店收费$20×0.5+0.2(x−20)=6+0.2x$元，乙复印店收费$0.4x$元. 依题意得$6+0.2x−0.4x=1$，解得$x=25$. 所以用A4纸复印10或25页时，甲复印店的收费比乙复印店的收费多1元.

【分析】
（1）计算甲复印店30页的复印费时，先明确甲店的分段收费规则：20页以内按每页0.5元收费，超过20页的部分按每页0.2元收费。30页超出20页，因此总费用分为20页的基础费用和超出10页的优惠费用两部分，分别计算后求和即可。
（2）求解甲店收费比乙店多1元的复印页数时，因甲店收费是分段计费，需分两种情况讨论：①复印页数不超过20页时，甲、乙两店均按单页单价乘页数计算收费；②复印页数超过20页时，甲店收费分两段计算，乙店仍按统一单价计算。两种情况均根据“甲店收费-乙店收费=1元”列一元一次方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值范围即可。
【解析】
（1）甲复印店复印30页的总费用为：
$20×0.5+(30-20)×0.2=10+2=12$（元）
（2）设复印$x$页时，甲复印店的收费比乙复印店多1元，分两种情况讨论：
①当$x≤20$时，甲店收费为$0.5x$元，乙店收费为$0.4x$元，依题意得：
$0.5x-0.4x=1$
解得$x=10$，符合$x≤20$的取值要求。
②当$x＞20$时，甲店收费为$20×0.5+0.2(x-20)=0.2x+6$元，乙店收费为$0.4x$元，依题意得：
$(0.2x+6)-0.4x=1$
整理得$-0.2x=-5$，解得$x=25$，符合$x＞20$的取值要求。
【答案】
（1）需付费12元；（2）复印10页或25页时，甲复印店的收费比乙复印店多1元。
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 一元一次方程的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活常见的复印收费场景命题，是分段计费类的典型应用题，解题核心是准确梳理不同区间的收费规则，合理分类建立方程求解，同时要注意检验解是否符合对应区间的取值范围，能有效考查用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

24.（本小题满分14分）
在制作正方体纸盒的实践活动中，某小组利用宽为$m$ cm，长为$n$ cm的长方形纸板制作正方体纸盒，有如下两种设计方案(纸板厚度及接缝处忽略不计)：
方案一：制作无盖正方体纸盒
若$n=m$，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为$x$ cm，再沿虚线折合起来，可以得到一个无盖正方体纸盒.
(1)此时，你发现$x$与$m$之间满足的等量关系是.
方案二：制作有盖正方体纸盒
若$n＞m$，在图2的长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形，剩下部分恰好可以折合成一个有盖的正方体纸盒，其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样.
(2)请在图2中画出你的设计方案. 剪去的小长方形用阴影表示，折痕用虚线表示.
(3)在方案二的条件下，求代数式$5(2m-3n+1)-3(2m-4n-1)$的值.

24. (1)$m=3x$ (2)或 (3)由方案二可得$3n=4m$，因为$5(2m−3n+1)−3(2m−4n−1)=10m−15n+5−6m+12n+3=4m−3n+8$，把$3n=4m$代入，得原式$=8$.

【分析】
(1) 要推导x与m的关系，首先明确折成的是无盖正方体，所有棱长相等。观察图1，原正方形纸板边长为m，左右各剪去1个边长为x的小正方形后，剩余部分的长度是折成正方体的底面边长，为$m-2x$；剪去的小正方形边长x就是正方体的高。根据正方体棱长相等，可得底面边长=高，整理即可得到等量关系。
(2) 方案二制作的是有盖正方体，棱长和方案一相同，即棱长为x，因此展开图包含6个边长为x的正方形。已知$m=3x$，即宽m对应3个棱长的长度，长n对应4个棱长的长度，据此在三个角剪去合适的小长方形、画出折痕即可，共有2种符合要求的设计。
(3) 先对代数式去括号、合并同类项完成化简，再根据方案二中m和n的等量关系代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 折成的无盖正方体棱长相等，底面边长为$m-2x$，高为$x$，因此$m-2x=x$，移项可得$m=3x$。
(2) 设计方案如下：
或
(3) 先化简代数式：
$\begin{aligned}&5(2m-3n+1)-3(2m-4n-1)\\=&10m-15n+5-6m+12n+3\\=&4m-3n+8\end{aligned}$
由方案二可知，有盖正方体棱长仍为x，结合$m=3x$，长方形的长n对应4个棱长长度，即$n=4x$，将$x=\frac{m}{3}$代入得$n=\frac{4m}{3}$，整理可得$3n=4m$，即$4m-3n=0$。
将$4m-3n=0$代入化简后的式子，得原式$=0+8=8$。
【答案】
(1)$m=3x$
(2)或
(3)$8$
【知识点】
正方体展开与折叠，整式的加减运算，代数式求值
【点评】
本题结合手工制作的实际情境，将立体图形的展开折叠知识和整式化简运算相结合，既考查空间想象能力，又考查代数运算能力，需要先从实际操作中提炼出变量之间的等量关系，再代入求解。
【难度系数】
0.6